Lý Thuyết Về Hàm Lũy Thừa Và Phương Pháp Giải Bài Tập

Lý thuyết và các dạng bài tập về hàm lũy thừa là những kiến thức thường gặp trong chương trình Toán Đại số cấp 3. Đồng thời, dạng toán này xuất hiện trong các đề thi đại học khá nhiều, thường từ 4 đến 5 câu hỏi liên quan. Để giúp các em nắm vững kiến thức về hàm lũy thừa gồm định nghĩa, tập xác định và tính chất, Team Marathon Education đã tổng hợp và chia sẻ đến các em bài viết dưới đây.

Lý thuyết về hàm lũy thừa

Đầu tiên, các em cần tìm hiểu kỹ các lý thuyết cơ bản của hàm lũy thừa.

Định nghĩa

Trong chương trình Toán Đại số cấp 3, hàm lũy thừa được định nghĩa là hàm số có dạng y = x^𝛼 (𝛼 ∊ R).

Tập xác định và đạo hàm của hàm lũy thừa

Tập xác định của hàm số y = x^𝛼 tùy thuộc vào giá trị của. Cụ thể:

• Với 𝛼 nguyên dương, tập xác định là D = R.
• Trong trường hợp 𝛼 nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là D = R\{0}.
• Nếu 𝛼 không nguyên, tập xác định là D = (0;+∞).

Đạo hàm của hàm lũy thừa:

• (x^𝛼)’ = 𝛼.x^𝛼-1
• Với u = u(x) → (u^𝛼) = a.u’.u^𝛼-1

Tính chất của hàm lũy thừa

Dưới đây là một số tính chất quan trọng mà các em cần thuộc nằm lòng.

• Sự biến thiên của hàm số y = x^𝛼 trong khoảng (0;+∞) 
  • Với 𝛼 > 0: Hàm số đồng biến trong khoảng (0;+∞)
  • Với 𝛼 < 0: Hàm số nghịch biến trong khoảng (0;+∞)
  • Đồ thị hàm số y = x^𝛼 trong khoảng (0;+∞) luôn đi qua điểm I(1;1)

Phương pháp giải bài tập hàm lũy thừa

Để các em dễ hình dung hơn về phần hàm lũy thừa cũng như biết được các cách giải bài tập liên quan đến phần nãy, Marathon Education chia sẻ đến các em một số ví dụ dưới đây. 

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm lũy thừa

Phương pháp giải: Cho hàm số lũy thừa y = [f(x)^𝛼]:

• Nếu 𝛼 là số nguyên dương thì ta có thể khẳng định hàm số xác định với mọi x ∈ R.
• Nếu α là số nguyên âm hoặc 𝛼 = 0 thì hàm số sẽ xác định với mọi x ≠ 0.
• Trong trường hợp 𝛼 không nguyên thì hàm số xác định với mọi x > 0.

Ví dụ 1: Tìm tập xác định D của hàm số y = (x² – 3x + 2)¹⁰⁰ 

• Ta có, với α là số nguyên dương thì hàm số sẽ xác định với mọi x ∈ R. 
• Do đó, hàm số y = (x² – 3x + 2)¹⁰⁰ xác định với mọi x ∈ R.

Ví dụ 2: Tìm tập xác định D của hàm số y = (x³ – 8)^-100

• Theo lý thuyết, α là số nguyên âm thì hàm số sẽ xác định với mọi x ≠ 0.
• Vậy, ta sẽ suy ra được hàm số y = (x³ – 8)^-100 xác định khi x³ – 8 ≠ 0 ⟺ x ≠ 2.

Dạng 2: Tìm đạo hàm của hàm lũy thừa

Phương pháp giải: 

• Hàm số lũy thừa y = x^α có (α ∈ R) đạo hàm tại mọi điểm x > 0 và (x^α)’ = αx^{α – 1}
• Nếu hàm số u = u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì y = u(x)^α cũng có đạo hàm trên J và (u(x))^α‘=α.u^α-1(x).u'(x).

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số

y=(x^2-4x+10)^\frac14 

Bài giải:

\begin{aligned}
\bull\  y' &= \frac14(x^2-4x+10)^{\frac14-1}(2x-4)\\
&=\frac12(x-2)(x^2-4x+10)^{-\frac34}\\
&=\frac{x-2}{2(x^2-4x+10)^\frac34}\\
&=\frac{x-2}{2\sqrt[4]{(x^2-4x+10)^3}}\\
\end{aligned}

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số

y=\sqrt{3x^2-2x+1}

Bài giải:

\begin{aligned}
&\bull 3x^2-2x+1=(x\sqrt3-\frac{1}{\sqrt3})^2+\frac23>0,\ \forall x\in \R \Rightarrow y=(3x^2-2x+1)^\frac12\\
&\bull y'=(\sqrt{3x^2-2x+1})'=\frac{(3x^2-2x+1)'}{2\sqrt{3x^2-2x+1}}=\frac{6x-2}{2\sqrt{3x^2-2x+1}}=\frac{3x-1}{\sqrt{3x^2-2x+1}}
\end{aligned}

Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education

Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Các khóa học online tại Marathon Education

Hàm lũy thừa và dạng bài tập liên quan là phần kiến thức các em cần nắm vững. Hy vong sau khi đọc xong bài viết, các em sẽ học được thêm nhiều thông tin bổ ích. Chúc các em luôn có những giờ học hiệu quả và đạt điểm số cao.