Hàm Số Liên Tục, Lý Thuyết Và Bài Tập SGK Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao

Trong chương trình Toán học lớp 11, các em sẽ được làm quen khái niệm về hàm số liên tục. Cùng nhiều dạng bài tập liên quan từ cơ bản đến nâng cao. Do vậy, để củng cố hơn phần kiến thức này, hãy cùng team Marathon Education tổng hợp đầy đủ lý thuyết và bài tập về hàm số liên tục. Các em có thể tham khảo làm tài liệu cho các kì kiểm tra sắp tới nhé!

Định nghĩa hàm số liên tục

Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng K và x ∈ K. Hàm số y= f(x) được gọi là hàm số liên tục tại x nếu .

• Hàm số y= f(x) không liên tục tại x hay còn gọi là gián đoạn tại điểm đó.
• Hàm số y= f(x) liên tục trên khoảng nếu hàm số đó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
• Hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và

Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường nối liền trên khoảng đó.

Những định lý cơ bản về hàm số liên tục

Định lý 1

• Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập hợp số thực R.
• Hàm số lượng giác và hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

Định lý 2

Giả sử: Hàm số y= f(x) và y= g(x) là 2 hàm số liên tục tại x. Ta có:

• Các hàm số y= f(x) + g(x), y= f(x) – g(x) và y= f(x). g(x) liên tục tại x;
• Hàm số y = f(x)g(x) liên tục tại điểm x nếu g(x) 0.

Định lý 3

Nếu hàm số y= f(x) liên tục trên đoạn [a;b] bất kì và f(a). f(b) < 0 thì hàm số sẽ tồn tại ít nhất một điểm c (a,b) sao cho f(c) = 0.

Định lý này được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình trên một khoảng và nó còn được phát triển dưới dạng khác như sau:

• Hàm số y= f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a). f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a;b)

Các dạng bài tập SGK về hàm số liên tục

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm xo

Phương pháp giải

• Bước 1: Tính f(x)
• Bước 2: Tính
• Bước 3: So sánh với f(x) rồi rút ra kết luận

• Nếu thì kết luận hàm số liên tục tại x.
• Nếu thì kết luận hàm số không liên tục tại x.
• Bước 4: Kết luận.

Ví dụ 1 (Bài tập 1, SGK trang 140 Đại số 11): Vận dụng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x) = x³ + 2x – 1 tại x = 3.

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 2 (Bài tập 2, SGK trang 140 Đại số 11): Cho hàm số g(x):

1. Xét tính liên tục của hàm số y= g(x) tại x₀ = 2
2. Trong biểu thức g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại điểm x = 2

Hướng dẫn giải:

1. Ta có: g(2) = 5 và g(x) không liên tục tại x = 2, vì

2. Để g(x) liên tục tại x = 2 thì: 

g(2) = x2f(x) = 12

Vậy chỉ cần thay số 5 bằng 12 thì hàm số liên tục tại điểm x = 2

Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng hoặc tập xác định

Phương pháp giải

• Vận dụng định lý 1 và 2 để xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định của nó.
• Nếu hàm số xác định bởi 2 hay 3 công thức thì ta xét tính liên tục tại các điểm đặc biệt của hàm số đó.

Ví dụ: Cho hàm số sau. Chứng minh rằng hàm số trên liên tục trong khoảng (-7;+)

Hướng dẫn giải:

• Khi x > 2 thì f(x) = x² – x + 4 là hàm số liên tục trên khoảng (2;+).
• Khi -7 < x < 2 thì xảy ra hai trường hợp:

• Hàm số y = x – 2 là đa thức nên nó liên tục trên khoảng (-7;2)
• Hàm số y = x + 7 là đa thức nên nó liên tục trên khoảng (-7;2)

=> Hàm số y = x + 7 liên tục trên khoảng (-7;2)

=> Hàm số y = x + 7 – 3 liên tục trên khoảng (-7;2)

Mặt khác: x + 7 – 3 0, x (-7;2)

Do đó hàm số liên tục trên khoảng (-7;2)

• Khi x = 2 thì f(2) = 2² – 2 + 4 = 6

=> Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2

Vậy hàm số f(x) liên tục trên khoảng (-7;+)

Tìm điều kiện hàm số liên tục tại 1 điểm

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm điểm xác định x của hàm số đề bài. Tính giá trị f(m) với m = x

Bước 2: Tính giới hạn của hàm số tại x

Bước 3: Hàm số f(x) liên tục tại x khi và chỉ khi xxo= f(x)

Bước 4: Kết luận giá trị m cần tìm.

Ví dụ: Tìm giá trị m để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1

Hướng dẫn giải

Xét hàm số xác định tại x = 1 và f(1) = -3m.1 – 1

Giới hạn hàm số tại điểm x = 1 là: 

Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 1 khi:

x1f(x) = f(1) -3m – 1 = 1 m = -23

Vậy m = -23 thì hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 1

Tìm điều kiện hàm số liên tục trên 1 khoảng hoặc tập xác định

Đối với các dạng bài tập tìm điều kiện hàm số liên tục trên một khoảng hoặc tập xác định bất kỳ, các em làm tương tự dạng tìm điều kiện hàm số liên tục tại 1 điểm. Điểm khác biệt duy nhất là ở dạng này các em tìm khoảng hoặc tập làm cho hàm số xác định.

Ví dụ: Tìm giá trị m để hàm số sau đây liên tục trên tập xác định:

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là R

• Xét trường hợp x 1, hàm số có dạng . Với f(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên tập xác định là (-;1) (1;+). Do đó f(x) cũng liên tục trên khoảng (-;1) (1;+).
• Xét trường hợp x = 1 thì ta được: f(1) = -3m – 1

Khi đó, hàm f(x) liên tục tại điểm x₀ = 1 khi và chỉ khi:

x1f(x) = f(1) 3m – 1 = 3 m = 43

Vậy m = 43 thì hàm số liên tục trên tập xác định.

Chứng minh phương trình có nghiệm nhờ tính liên tục của hàm số

Để chứng minh phương trình có nghiệm nhờ tính liên tục của hàm số, ta cùng xét các ví dụ sau đây:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình 3x³ + 2x – 2 = 0 có nghiệm trong khoảng (0;1).

Hướng dẫn giải

Hàm số f(x) liên tục trên R

=> f(x) cũng liên tục trên đoạn [0;1]

Ta có: f(0).f(1) = (-2).3 = -6 < 0

Do vậy, hàm số có ít nhất một số c trong khoảng (0;1) sao cho f(c) = 0 hay phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;1)

Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình 2x³ – 6x² + 5 = 0 trong khoảng (-1;3) có 3 nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Hàm số liên tục trên R, do đó f(x) liên tục trên các đoạn [-1;0], [0;2], [2;3]

Ta thấy: f(-1) = -3, f(0) = 5, f(2) = -3, f(3) = 5. Từ đó:

f(-1).f(0) < 0

f(0).f(2) < 0

f(2).f(3) < 0

=> Phương trình có nghiệm trong các khoảng (-1;0), (0;2), (2;3)

Vì vậy, phương trình có 3 nghiệm phân biệt trong khoảng (-1;3)