Khái niệm, tính chất và dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp là một khái niệm quan trọng trong toán học và có những đặc trưng riêng về góc và đường kính, đồng thời cũng mở ra nhiều bài toán thú vị về các mối quan hệ giữa các cạnh, góc và tính chất của tứ giác. Hôm nay Marathon Education mời bạn cùng tìm hiểu về tứ giác nội tiếp nhé!

1. Khái niệm tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp (tứ giác nội tiếp đường tròn) trong hình học là một tứ giác có tất cả các đỉnh của nó đều nằm trên một đường tròn, các đỉnh này còn được gọi là đồng viên. Đường tròn này được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác có tâm đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp.

>> Đừng quên tìm hiểu thêm: Hàm Số Lượng Giác – Lý Thuyết Và Các Công Thức Lượng Giác Đầy Đủ Nhất

2. Định lý, tính chất của hình tứ giác nội tiếp

• Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện nhau bằng 180 độ.
• Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện nhau bằng 180 độ thì tức giác đó là tứ giác nội tiếp.

• Tính chất:

– Tất cả các tam giác đều có một đường tròn ngoại tiếp, nhưng không phải mọi tứ giác đều nội tiếp.

– Tâm của đường tròn ngoại tiếp nằm nơi các đường trung trực của các cạnh tứ giác gặp nhau (giao điểm). Nói một cách khác, tứ giác có 4 đỉnh và khi chúng đều cách một điểm cố định một khoảng bằng nhau, điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

– Nếu tứ giác nội tiếp có hai góc đối diện nhau là góc vuông thì tâm của đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của đường chéo nối hai đỉnh kia.

– Trong trường hợp tứ giác nội tiếp có hai góc vuông cùng hướng về một cạnh chứa hai đỉnh còn lại, tâm của đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh mà hai góc kia đồng thời nhìn vào cạnh đó.

>> Cùng Marathon học Toán: Hàm Số Bậc Nhất – Lý Thuyết Và Phương Pháp Giải Bài Tập

3. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Từ tính chất định lý được nêu trên, ta có thể xác định được tứ giác nội tiếp bằng các dấu hiệu sau:

• Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 180°
• Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng số đo góc trong của đỉnh đối diện
• Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm cố định ( ta có thể xác định được). Đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
• Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn đến cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc a

4. Bài tập và các dạng toán thường gặp

Bài 1. Cho một tứ giác ABCD nội tiếp (tức là có thể vẽ một đường tròn đi qua các đỉnh A, B, C, D). Gọi O là tâm của đường tròn nội tiếp tứ giác đó. Biết rằng góc AOD = 120°, góc BOC = 90°. Tìm góc BAD.

Cách giải: Góc 120° nằm ở tâm đường tròn, nên góc ABD = 60° (nửa góc 120°). Góc BAD bằng góc ABD (do cùng nửa cạnh) nên góc BAD = 60°.

>> Xem thêm cách giải toán bằng cách lập phương trình

Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O). Biết góc BAD = 60°, góc ADC = 120°. Gọi E là giao điểm của AC và BD. Tính góc AEO.

Cách giải:

Góc BAD = 60°, góc ADC = 120° (đều) nên góc BCD = 180° – 60° – 120° = 0° ⇒ các đường BC và AD là song song

Khi vẽ đường thẳng AB, nó sẽ cắt DE tại một điểm F. Do BC || AD và AB cắt DE, nên BF = AF.

Vì vậy, DE chia AB thành hai phần bằng nhau. Từ đây, góc AEO = 1/2 * góc AEB = 1/2 * 60° = 30°.