Bài tập cách tính đạo hàm tanx | Marathon Education

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Nếu tồn tại một giới hạn (hữu hạn) }\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \text{ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số }\\
&\footnotesize\text{y= f(x) tại điểm }x_0, \text{ kí hiệu là }y’(x_0) \text{ hoặc } f’(x_0).\\
&f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} 
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\small\text{Hàm số y = tanx có đạo hàm }\forall x\not=\frac{\pi}{2}+k\pi. \textbf{ Đạo hàm tanx }\text{được tính bằng công thức sau:}
\\
&y = (tanx)'=\frac{1}{cos^2x}=sec^2x
\\
&\small\text{Chứng minh } \textbf{đạo hàm tanx:}
\\
&y = (tanx)'=\left(\frac{sinx}{cosx}\right)'=\frac{(sin x)'.cosx-(cosx)'.sinx}{cos^2x}
\\
& \ = \frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}=\frac{1}{cos^2x}=sec^2x
\\
&\small\text{Trong công thức trên ta áp dụng 3 công thức đạo hàm lượng giác cơ bản:}
\\
&cos^2x+sin^2x = 1
\\
&(sinx)'=cosx
\\
&(cosx)'=-sinx
\end{aligned}

y= tan (4x+ 1) \ – \ cot 2x

\begin{aligned}
y'&=[tan(4x+1)]'-(cot2x)'=\frac{(4x+1)'}{cos^2(4x+1)}+\frac{(2x)'}{sin^22x}\\
&=\frac{4}{cos^2(4x+1)}+\frac{2}{sin^22x}
\end{aligned}

y = sin (x^2 – 3x) – tan (x^2 – 1)

\begin{aligned}
y'&=[sin(x^2-3x)]'-[tan(x^2-1)]'\\
&=cos(x^2-3x)(x^2-3x)'-\frac{1}{cos^2(x^2-1)}(x^2-1)'\\
&=cos(x^2-3x)(2x-3)-\frac{2x}{cos^2(x^2-1)}
\end{aligned}

 y = tan ⁡\left(\sqrt{x^2 + 2x}\right)

\begin{aligned}
y'&=\left[tan⁡\left(\sqrt{x^2 + 2x}\right)\right]'\\
&=\frac{1}{cos^2\left(\sqrt{x^2 + 2x}\right)⁡}⁡\left(\sqrt{x^2 + 2x}\right)'\\
&=\frac{1}{cos^2\left(\sqrt{x^2 + 2x}\right)⁡}⁡.\frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x}}.(x^2+2x)'\\
&=\frac{1}{cos^2\left(\sqrt{x^2 + 2x}\right)⁡}⁡.\frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x}}.(2x+2)\\
&=\frac{x+1}{cos^2\left(\sqrt{x^2 + 2x}\right)⁡.\sqrt{x^2 + 2x}}
\end{aligned}

y = (1 + tanx)^4

\begin{aligned}
y'&=4(1+tanx)^3(1+tanx)\\
&=4(1+tanx)^3.\frac{1}{cos^2x}\\
&=\frac{4(1+tanx)^3}{cos^2x}
\end{aligned}

y = tan^2(\frac{x}{2})

\begin{aligned}
&\bull\text{Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp} \ (u^n)'=n.u'.u^n-1
\\
&\bull\text{Áp dụng công thức đạo hàm của hàm } \ (tan u)'=\frac{u'}{cos^2u}
\end{aligned}

\begin{aligned}
y'&=\left(tan^2\frac{x}{2}\right)'
\\
&=2tan\frac{x}{2}.\left(tan\frac{x}{2}\right)'
\\
&=2tan\frac{x}{2}.\frac{\left(\frac{x}{2}\right)'}{cos^2\frac{x}{2}}
\\
&=2tan\frac{x}{2}.\frac{\frac{1}{2}}{cos^2\frac{x}{2}}
\\
&=\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}.\frac{1}{cos^2\frac{x}{2}}
\\
&=\frac{sin\frac{x}{2}}{cos^3\frac{x}{2}}
\end{aligned}