Hướng dẫn cách giải toán bằng cách lập phương trình

Giải bài toán bằng cách lập phương trình là một dạng bài tập phổ biến ở bậc trung học cơ sở và có độ phức tạp cao hơn ở chương trình trung học phổ thông. Team Marathon Education sẽ tổng hợp phương pháp và những dạng bài toán giải bằng cách lập phương trình từ cơ bản đến nâng cao để các em có thể vận dụng làm Toán tốt hơn. Theo dõi bài viết ngay nhé!

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, các em hãy làm theo các bước dưới đây:

Bước 1: Lập phương trình

• Xác định đại lượng cần tìm, đại lượng đã cho, mối quan hệ giữa các đại lượng.
• Chọn ẩn phù hợp, đặt điều kiện cho ẩn số.
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình vừa lập

Bước 3: Kiểm tra nghiệm phương trình và kết luận

• Kiểm tra nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn.
• Trả lời câu hỏi của đề bài.

>>> Xem thêm: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai – Lý Thuyết Toán 10

4 dạng bài toán giải bằng cách lập phương trình và ví dụ minh họa 

Để dễ xác định các đại lượng có trong bài cũng như biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng đó, giải bài toán bằng cách lập phương trình được chia thành 4 dạng cơ bản. 

Dạng 1: Bài toán về chuyển động

Kiến thức cần nhớ:

1. Dạng toán về chuyển động có 3 đại lượng chính: Quãng đường, Thời gian và Vận tốc.
2. Mối liên hệ giữa các đại lượng:
   • Quãng đường = Vận tốc x Thời gian.
   • Vận tốc = Quãng đường ÷ Thời gian.
   • Thời gian = Quãng đường ÷ Vận tốc.
3. Đơn vị của ba đại lượng này phải tương ứng với nhau:
   • Quãng đường tính bằng km, vận tốc km/h thì thời gian phải được tính bằng giờ giờ (h).
   • Quãng đường tính bằng m, vận tốc m/s thì thời gian phải được tính bằng giây (s).

Ví dụ: Một xe khách di chuyển từ Huế (gọi là địa điểm A) đến Quảng Nam (gọi là B) với vận tốc 50 km/h, sau khi trả khách thì từ B quay trở về A với vận tốc 40 km/h. Tổng thời gian cho quãng đường đi và về hết 5 giờ 24 phút. Hãy tìm chiều dài đoạn đường từ A đến B.

Hướng dẫn giải: 

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Đổi 5h24p}=5\frac{2}{5}(h)=\frac{27}{5}(h)\\
&\footnotesize\text{Gọi chiều dài quãng đường AB là x km (x > 0)}\\
&\footnotesize\text{Thời gian xe đi từ A đến B là: }\frac{x}{50}(h)\\
& \footnotesize\text{Thời gian xe đi từ B về A là: }\frac{x}{40}(h)\\
& \footnotesize\text{Vì tổng thời gian đi và về là }\frac{27}{5}(h)\text{ nên ta có phương trình:}\\
&\footnotesize\frac{x}{50}+\frac{x}{40}=\frac{27}{5}\\
&\footnotesize4x+5x=1080\\
&\footnotesize9x=1080\\
&\footnotesize x=120 \text{ (thỏa mãn điều kiện)}\\
& \footnotesize\text{Vậy chiều dài quãng đường từ A đến B là 120km.}
\end{aligned}

Dạng 2: Bài toán về năng suất

Kiến thức cần nhớ: 

1. 3 đại lượng xuất hiện trong bài toán về năng suất là: khối lượng công việc, năng suất và thời gian (t). 
2. 3 đại lượng này có mối quan hệ với nhau là: 

• Khối lượng công việc = Năng suất x Thời gian.
• Năng suất = Khối lượng công việc ÷ Thời gian.
• Thời gian = Khối lượng công việc ÷ Năng suất.

3. Một dạng bài khác cần lưu ý là bài toán về hoàn thành một công việc chung hay riêng; vòi nước chảy chung hay chảy riêng. Lúc này ta thường coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị để giải. Từ đó:

\begin{aligned}
&\footnotesize\bull\text{Suy ra năng suất sẽ bằng }\frac{1}{Thời \ gian}\\
&\footnotesize\bull\text{Tiếp tục lập phương trình theo công thức: Tổng các năng suất riêng = Năng }\\ 
&\footnotesize\text{suất chung}
\end{aligned}

Ví dụ: Có hai đội thợ phải hoàn thành quét sơn một văn phòng. Nếu mỗi đội tự làm thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II thời gian là 6 ngày. Còn nếu họ làm việc cùng nhau thì chỉ cần 4 ngày sẽ xong việc. Hỏi nếu làm riêng thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội là bao lâu?

Hướng dẫn giải:

Gọi x (ngày) là thời gian đội I hoàn thành công việc nếu làm riêng. Điều kiện: x ∈ N, x > 6.

Trong 1 ngày:

\begin{aligned}
&\footnotesize\bull\text{Đội I làm được: }\frac{1}{x}\ \text{(công việc).}\\
&\footnotesize\bull\text{Đội II làm được: }\frac{1}{x+6}\ \text{(công việc).}\\
&\footnotesize\bull\text{Cả 2 đội làm được: }\frac{1}{4}\ \text{(công việc).}\\
&\footnotesize\bull\text{Ta có phương trình: }\\
&\frac{1}{x}+ \frac{1}{x+6}=\frac{1}{4}\\
&\footnotesize\bull\text{Biến đổi tương đương, ta được phương trình: }\\
&-x^2+2x+24=0\\
&\Leftrightarrow (6-x)(x+4)=0\\
&\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
x=6&\footnotesize\text{(thỏa mãn điều kiện)}\\
x=-4 &\footnotesize\text{(loại vì <0)}\\
\end{array}\right.\\
&\footnotesize\bull\text{Kết luận: Nếu làm riêng, đội I hoàn thành công việc trong 6 ngày còn, }\\
&\footnotesize\text{đội II hoàn thành công việc trong 6 + 6 = 12 ngày. }
\end{aligned}

Dạng 3: Bài toán về số và chữ số

Kiến thức cần nhớ:

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{1. Trường hợp A hơn B k đơn vị thì A – B = k hoặc A = B + k.}\\
&\footnotesize\text{2. Nếu A và B liên tiếp nhau thì hai số này hơn kém nhau 1 đơn vị.}\\
&\footnotesize\text{3. Nếu A gấp k lần B thì A bằng tích B và hằng số k: } A= kB.\\
&\footnotesize\text{4. Nếu A bằng một nửa B thì: } A =\frac{1}{2}B\\
\end{aligned}

Ví dụ: Hãy tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hiệu giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là -2 và tích của hai số này là 15.

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Gọi chữ số hàng chục của số gần tìm là x.}\\
&\footnotesize\text{Chữ số hàng đơn vị là x + 2.}\\
&\footnotesize\text{Điều kiện:}\\
&\footnotesize\begin{cases}x\in\N\\ 0< x \le 9\\ 0 \le x+2\le9\end{cases} \Leftrightarrow
\footnotesize\begin{cases}x\in\N\\0< x \le 9\\-2 \le x\le7\end{cases}
\Leftrightarrow \footnotesize\begin{cases} x\in\N\\0< x \le7\end{cases}\\
&\footnotesize\text{Tích của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là:}\\
&\footnotesize x(x+2) = x^2+2x\\
&\footnotesize\text{Theo đề bài, ta có phương trình:}\\
&\footnotesize x^2+2x=15 \Leftrightarrow x^2+2-15=0\\
&\footnotesize \Delta'=1^2-1.(-15)=16\\
&\footnotesize\text{Phương trình có 2 nghiệm phật biệt: }\\
&\footnotesize x_1=-1-\sqrt{16} =-5\text{ (loại)}\\
&\footnotesize x_1=-1+\sqrt{16} =3\\
&\footnotesize\text{Vậy chữ số hàng chục là , chữ số hàng đơn vị là 5. Số cần tìm là 35.}
\end{aligned}

Dạng 4: Bài toán về hình học

Kiến thức cần nhớ:

1. Diện tích tam giác vuông bằng tích hai cạnh góc vuông chia 2.
2. Diện tích hình chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng.
3. Diện tích hình vuông bằng cạnh nhân cạnh.

Ví dụ: Ông T có một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 320 mét vuông, chiều rộng bé hơn chiều dài 4 mét. Hãy giúp ông T tìm ra chiều dài và chiều rộng của mảnh đất này. 

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Gọi chiều dài của mảnh đất là x (m) (x>0)}\\
&\footnotesize\text{Chiều rộng của mảnh đất là x-4 (m)}\\
&\footnotesize\text{Ta có được phương trình:}\\
& \ \ x(x-4)=320\\
&\Leftrightarrow x^2-4x-320=0\\
&\Leftrightarrow(x-20)(x+16)=0\\
&\Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{cc}
x=20 & \text{(thỏa mãn điều kiện)}\\
x=-16 & \text{(loại vì x<0)}
\end{array}
\right.\\
&\footnotesize\text{Vậy chiều dài của mảnh đất là 20m và chiều rộng của mảnh đất là 16m.}
\end{aligned}

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Trên đây, Team Marathon Education đã giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài toán bằng cách lập phương trình và những dạng bài cơ bản. Hãy nhanh tay đăng ký khóa học tại Marathon Education và tham gia lớp học trực tuyến online ngoài giờ để trau dồi thêm kiến thức Toán – Lý – Hóa các em nhé!