Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai – Lý Thuyết Toán 10

Vy - 16/03/2022

Để giúp các em củng cố kiến thức về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, định lý Vi – ét trong chương trình Đại số đã được học ở cấp hai, Team Marathon Education sẽ giới thiệu đến các em các kiến thức liên quan đến phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai và một số dạng bài tập qua bài viết sau.

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Toán 10 Hàm Số Bậc Hai Và Các Dạng Bài Tập Thường Gặp

Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai
Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai (Nguồn: Internet)

Phương trình bậc nhất 

Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 (1)

\begin{aligned}
&\small \bull a ≠ 0: (1) \text{ có nghiệm duy nhất }x = -\frac{b}{a}\\
&\small \bull a = 0;b ≠ 0: (1) \text{ vô nghiệm.}\\
&\small \bull a = 0; b = 0: (1)\text{ có nghiệm đúng với mọi }x∈ R.
\end{aligned}

Phương trình ax + b = 0 với a ≠ 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn x.

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Toán 10 Dấu Của Nhị Thức Bậc Nhất Và Bài Tập Vận Dụng

Phương trình bậc hai 

Phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (2)

Δ = b2 – 4ac được gọi là biệt thức của phương trình (2).

\begin{aligned}
&\small \bull Δ > 0 \text{ thì (2) có 2 nghiệm phân biệt }x_1,\ x_2 = \frac{-b \pm\sqrtΔ}{2a}\\
&\small \bull Δ = 0 \text{ thì (2) có nghiệm kép }x = - \frac{b}{2a}\\
&\small \bull Δ < 0 \text{ thì (2) vô nghiệm.}
\end{aligned}

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Toán 10 Dấu Của Tam Thức Bậc Hai Và Cách Xét Dấu

Định lý Vi-ét 

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:

x_1+x_2=-\frac{b}{a}\ \ ; \ \ x_1.x_2=\frac{c}{a}

Định lý Vi-ét đảo: Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u, v là các nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0.

>>> Xem thêm: Tổng Hợp Các Kí Hiệu Trong Toán Học Phổ Biến Đầy Đủ Và Chi Tiết

Các phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Để giúp các em nắm vững hơn kiến thức về các phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai, Marathon Education đã tổng hợp bốn dạng toán thường gặp nhất dưới đây.

Dạng 1: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 

Phương pháp giải:

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ bằng cách:

  • Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
  • Bình phương hai vế.
  • Đặt ẩn phụ.

Phương trình dạng |f(x)| = |g(x)| ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau:

|f(x)|=|g(x)| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} f(x)=g(x)\\f(x)=-g(x) \end{array} \right. \text{hoặc }|f(x)|=|g(x)| \Leftrightarrow f^2(x)=g^2(x)

Đối với phương trình dạng |f(x)| = |g(x)| (*) ta có thể biến đổi tương đương như sau:

|f(x)|=|g(x)| \Leftrightarrow \begin{cases} f^2(x) = g^2(x)\\ g(x) ≥ 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{array}{c} f(x)=g(x)\\f(x)=-g(x) \end{array} \right.\\ g(x) ≥ 0\end{cases}\\
{Hoặc }\ |f(x)| = |g(x)| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
\begin{cases} f(x)=g(x)\\f(x) \ge 0 \end{cases}\\
\begin{cases} -f(x)=g(x)\\f(x) < 0 \end{cases}
 \end{array}\right.

Ví dụ: Giải phương trình |2x + 1| = |x2 – 3x – 4|

\begin{aligned}
&|2x + 1| = |x2 - 3x - 4|\\
\Leftrightarrow&\left[ \begin{array}{c} 2x + 1 = x^2 - 3x - 4\\2x + 1 = -(x^2 - 3x - 4) \end{array} \right.\\
\Leftrightarrow&\left[ \begin{array}{c}  x^2 - 5x - 5=0\\x^2-x-3=0 \end{array} \right.\\
\Leftrightarrow&\left[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c} x=\frac{-5\pm\sqrt{45}}{2}\\ x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2} \end{array} \right.\\
&\small \text{Vậy phương trình có nghiệm là }x=\frac{-5\pm\sqrt{45}}{2} \text{ và }x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}
\end{aligned}

>>> Xem thêm: Dạng Bài Tập Và Cách Giải Bất Phương Trình Toán Lớp 10

Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu 

Phương pháp giải:

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường

– Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không)

– Đặt ẩn phụ.

Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình sau

\frac{2x + 1}{3x + 2} = \frac{x + 1}{x - 2}
\begin{aligned}
&\text{ĐKXĐ: }x\not=-\frac{2}{3} \text{ và } x\not=2\\
&\frac{2x + 1}{3x + 2} = \frac{x + 1}{x - 2}\\
\Leftrightarrow\  &(2x + 1) (x - 2) = (x + 1) (3x + 2)\\
\Leftrightarrow\  &2x^2 - 4x + x - 2 = 3x^2 + 2x + 3x + 2\\
\Leftrightarrow\ &x^2 + 8x + 4 = 0\\
\Leftrightarrow\ &x = -4 ± 2\sqrt3 \text{ (thỏa mãn điều kiện)}\\
&\text{Vậy phương trình có nghiệm là }x = -4 ± 2\sqrt3.
\end{aligned}

Dạng 3: Phương trình chứa ẩn trong căn 

Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.

\begin{aligned}
&\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow \begin{cases} f(x)= g(x) \\ f(x) \ge 0 \text{ hoặc } g(x) \ge 0\end{cases}\\
&\sqrt{f(x)}=g(x)\Leftrightarrow \begin{cases} f(x)= [g(x)]^2 \\ g(x) \ge 0\end{cases}\\
\end{aligned}

Ví dụ: Giải phương trình sau:

\sqrt{x^2+2x+4}=\sqrt{2-x}
\begin{aligned}
&\text{ĐKXĐ: }\begin{cases}x^2+2x+4 \ge0\\ 2-x\ge0 \end{cases} \Leftrightarrow x\le2\\
&\sqrt{x^2+2x+4}=\sqrt{2-x}\\
\Leftrightarrow\ &x^2 + 2x + 4 = 2 - x\\
\Leftrightarrow\ & x^2 + 3x + 2 = 0\\
\Leftrightarrow\ &\left[ \begin{array}{c} x=-1\\x=-2 \end{array} \right.\\
&\text{Vậy phương trình có nghiệm là }x = -1 \text{ và } x=-2
\end{aligned}

Dạng 4: Phương trình trùng phương 

Phương trình có nghiệm trùng phương ax4 + bx2 + c = 0, (a ≠ 0) có thể đưa về phương trình bậc hai bằng cách đặt t = x2 (t ≥ 0).

Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education

Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 6 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

  • Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.
  • Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.
  • Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.
  • Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.
  • Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Các khóa học online tại Marathon Education

 

 

 

Hy vọng những kiến thức về phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai mà Team Marathon Education vừa chia sẻ sẽ giúp các em củng cố bài học của mình, vận dụng và giải được các dạng bài tập có liên quan. Các em nhớ truy cập vào website của Marathon để học online thêm nhiều thông tin bổ ích về học toán 10 online khác. Chúc các em thành công!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM