Bất Phương Trình Toán Lớp 10: Các Dạng Bài Tập Và Cách Giải

Vy - 01/05/2022

Bất phương trình là một trong những dạng toán khó của chương trình đại số lớp 10 bởi tính đa dạng của nó. Nếu vẫn còn mơ hồ về kiến thức này, các em hãy tham khảo ngay những dạng bài tập và cách giải bài tập bất phương trình lớp 10 qua bài viết dưới đây từ Team Marathon Education.

Xem thêm: Học Toán lớp 10 Online Hiệu Quả Cùng Marathon Education

Bất phương trình là gì?

Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề (biểu thức) chứa biến x so sánh hai hàm số f(x) và g(x) trên trường số thực dưới một trong các dạng

\begin{aligned}
&f(x) < g(x), f(x) > g(x), f(x) \le g(x),f(x)\ge g(x)
\end{aligned}

Giao của hai tập xác định của các hàm số f(x) và g(x) được gọi là tập xác định của bất phương trình.

Cách giải bất phương trình bậc nhất

Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến x có dạng f(x) > g(x), f(x) ≥ g(x).

Để có thể giải được dạng bài tập này, các em cần nắm vững một số nội dung quan trọng dưới đây. 

Cách giải và biện luận bất phương trình ax + b < 0

Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất

Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất

Điều kiện của a và b sẽ ảnh hưởng đến kết quả của nghiệm cuối cùng thu được.

Bảng xét dấu bất phương trình bậc nhất

Cách giải bất phương trình tích

P(x).Q(x) > 0 

Trong đó, cả P(x) và Q(x) đều là những nhị thức bậc nhất.

Phương pháp giải: Lập bảng xét dấu của của P(x).Q(x), từ đó suy ra tập nghiệm.

Cách giải bất phương trình có ẩn ở mẫu

\frac{P(x)}{Q(x)}>0

Trong đó, P(x) và Q(x) là những nhị thức bậc nhất.

Phương pháp giải: Các em lập bảng xét dấu của của P(x)/Q(x), sau đó suy ra được tập nghiệm. Để đảm bảo tính chính xác của phép chia, các em không nên quy đồng và khử mẫu.

Cách giải bất phương trình chứa tham số

Giải bất phương trình chứa tham số (m+a)x + b > 0 là xem xét rằng với các giá trị nào của tham số thì bất phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm ra các nghiệm đó.

Phương pháp giải: Tùy theo yêu cầu đề, lập bảng xét dấu, biện luận tìm tham số m phù hợp và tìm nghiệm (nếu có). 

Cách giải bất phương trình bậc 2

Bảng xét dấu

Bảng xét dấu của tam thức bậc 2

Nhận xét:

ax^2+bx+c>0, \ \forall x\in\R \Leftrightarrow \begin{cases}a>0\\\Delta<0\end{cases}\\
ax^2+bx+c<0, \ \forall x\in\R \Leftrightarrow \begin{cases}a<0\\\Delta<0\end{cases}\\

Biện luận tập nghiệm

Bất phương trình bậc 2 có dạng a.x2 + b.x + c > 0 với a # 0

Đặt Δ = b2 − 4ac. Ta có các trường hợp sau:

Biện luận nghiệm bất phương trình bậc 2

Cách giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Áp dụng định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối:

  • Dạng 1: 
|f(x)| < g(x) \Leftrightarrow \begin{cases}g(x) > 0 \\ -g(x) < f(x) < g(x)\end{cases}
  • Dạng 2: 
|f(x)| > g(x) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
\begin{cases}
g(x) < 0\\ f(x) \ \text{có nghĩa}
\end{cases}\\
\left\{\begin{array}{l}
g(x)\ge0\\
\left[\begin{array}{l}
f(x)<-g(x) \\
f(x)>g(x)\\
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\end{array}\right.

>>> Xem thêm: 3 Cách Giải Bất Phương Trình Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối Đơn Giản

chương trình học thử

Cách giải bất phương trình chứa căn thức

Để có thể khử căn và giải được dạng bài tập này, các em cần kết hợp phép nâng lũy thừa hoặc đặt ẩn phụ. 

Bất phương trình chứa căn thức

>>> Xem thêm: Phương Pháp Giải Bất Phương Trình Chứa Căn Chi Tiết

Bài tập giải bất phương trình lớp 10

Bài tập 1: Giải bất phương trình -6x + 12 < 0

Hướng dẫn giải:

-6x + 12 < 0 ⇔ -6x < 12 ⇔ x > 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S={x | x > 2}

Bài tập 2: Giải bất phương trình sau

x+1 \ge \sqrt{2(x^2-1)}

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned}
&x+1 \ge \sqrt{2(x^2-1)}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}x+1\ge 0\\(x+1)^2 \ge 2(x^2-1)\\x^2-1\ge 0 \end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}x\ge -1\\x^2-2x-3\le0\\x^2\ge 1 \end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}x\ge -1\\-1\le x \le 3\\ \left[\begin{array}{c} x\le-1\\x\ge 1 \end{array}  \right. \end{cases}\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{c} x=-1\\1\le x \le 3 \end{array}  \right.\\
&\text{Vậy tập nghiệm của bất phương trình là } S=[1;3] ∪\{-1\}
\end{aligned}

Bài tập 3: Chứng minh bất phương trình sau vô nghiệm

\begin{aligned}
&a) \space x^2+ \sqrt{x+8} \le-3\\
&b)\space \sqrt{1+2(x-3)^2}+\sqrt{5-4x+x^2}<\frac{3}{2}
\end{aligned}
\begin{aligned}
&Lời\space giải:\\
&a)\text{Điều kiện xác định }x\ge-8\\
&Ta\space có:x^2\ge0;\sqrt{x+8}\ge0\space nên\space x^2+\sqrt{x+8}\ge-3\space với\space mọi\space x\ge-8\\
&BPT\space x^2+\sqrt{x+8}\le-3\space vô\space nghiệm 
\end{aligned}
\begin{aligned}
&b)Tập\space xác\space\ định:D=R\\
&1+2(x-3)^2\ge1+0=1\\
&=>\sqrt{1+2(x-3)^2}\ge\sqrt{1}=1\\
&5-4x+x^2=1+(4-4x+x^2)\\
&=1+(2-x)^2\ge1\\
&=>\sqrt{5-4x+x^2}\ge\sqrt{1}=1\\
&=>\sqrt{1+(2-x)^2}+\sqrt{5-4x+x^2}\\
&\ge1+1=2\ge\frac{3}{2}\\
&với\space mọi\space x\in R\\
&=>BPT \sqrt{1+(2-x)^2}+\sqrt{5-4x+x^2}<\frac{3}{2}\space vô\space nghiệm
\end{aligned}

Bài tập 4: Giải bất phương trình

\begin{aligned}
&\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}<\frac{1-2x}{4}\\
\end{aligned}
\begin{aligned}
&Lời\space giải\\
&Tập\space xác\space định:D=R\\
&\frac{3x-1}{2}-\frac{x-2}{3}<\frac{1-2x}{4}\\
&\Leftrightarrow\frac{6.(3x+1)-4(x-2)}{12}<\frac{3(1-2x)}{12}\\
&\Leftrightarrow6(3x+1)-4(x-2)<3(1-2x)\\
&\Leftrightarrow18x+6-4x+8<3-6x\\
&\Leftrightarrow20x<-11\\
&\Leftrightarrow x<-\frac{11}{20}\\
&\text{Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=}\bigg(-\infin,\frac{-11}{20}\bigg)
\end{aligned}

Bài tập 5: Giải hệ bất phương trình

\begin{aligned}
&\begin{cases}
6x+\frac{5}{7}<4x+7\\
\frac{8x+3}{2}<2x+5
\end{cases}\\
&Lời\space giải:\\
&\begin{cases}
&6x+\frac{5}{7}<4x+7\\
&\frac{8x+3}{2}<2x+5
&\end{cases}\\
&\begin{cases}
6x-4x<7-\frac{5}{7}\\
4x-2x<5-\frac{3}{2}
&\end{cases}\\
&\begin{cases}
x<\frac{22}{7}(1)\\
x<\frac{7}{4}(2)
&\end{cases}\\
&\text{Kết hợp (1) và (2) ta được tập nghiệm của hệ bất phương trình:}\\
&T=(-\infin;\frac{22}{7})\cap (-\infin;\frac{7}{4})=(-\infin;\frac{7}{4})
\end{aligned}

Bài tập 6: Giải hệ bất phương trình sau

\begin{aligned}
&\begin{cases}
15x-2>2x+\frac{1}{3}\\
2(x-4)<\frac{3x-14}{2}
\end{cases}\\
&Lời\space giải:\\
&15x-2>2x+\frac{1}{3}\\
&\Leftrightarrow x>\frac{7}{39} (1)\\
&\Leftrightarrow 2(x-4)<\frac{3x-14}{2}\\
&\Leftrightarrow x<2 (2)\\
&\text{Kết hợp (1) và (2) ta được tập nghiệm của hệ phương trình là:}\\
&S=\bigg(\frac{7}{39};+\infin\bigg)\cap \bigg(-\infin;2\bigg)=\bigg(\frac{7}{39};2\bigg)

\end{aligned}

Bài tập 7: Giải bất phương trình sau

\begin{aligned}
&(2x-1)(x+3)-3x+1\le(x-1)(x+3)+x^2-5\\
&Lời\space giải:\\
&\Leftrightarrow 2x^2+6x-x-3-3x+1\le x^2+3x-x-3+x^2-5\\
&\Leftrightarrow2x^2+2x-2\le 2x^2+2x-8\\
&\Leftrightarrow6\le 0 (vô\space lý)\\
&Vậy\space bất\space phương\space trình\space vô\space nghiệm
\end{aligned}

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

 

 

 

Team Marathon Education đã giúp các em hiểu rõ hơn về phương pháp giải bất phương trình. Nhanh tay đăng ký khóa học tại Marathon Education để học online thêm kiến thức các em nhé!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM