Cực Trị Của Hàm Số Lớp 12: Lý Thuyết, Cách Tìm Và Bài Tập

Toán 12 cực trị của hàm số là phần nội dung quan trọng trong kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi đại học. Do đó, các em cần nắm rõ và vững lý thuyết này để vận dụng vào làm bài tập nhanh chóng, chính xác. Team Marathon Education đã tổng hợp, biên soạn nội dung cực trị của hàm số và phương pháp tìm cực trị một cách chi tiết, dễ hiểu và chia sẻ đến các em trong bài viết sau.

>>> Xem thêm: Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số: Lý Thuyết Và Cách Tìm Đường Tiệm Cận

>>> Xem thêm: 6 Cách Học Giỏi Toán Cho Học Sinh Cấp 3

Tổng quan về lý thuyết cực trị của hàm số lớp 12

Trước khi đi đến các cách tính cực trị của hàm số, hãy cùng chúng tôi tổng quan về lý thuyết của cực trị hàm số nhé!

Điểm cực trị là gì?

Có thể hiểu đơn giản, cực trị của hàm số là giá trị mà khiến hàm số đổi chiều khi biến thiên. Theo hình học, có thể hiểu cực trị hàm số là biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và ngược lại. Dạng tổng quát, ta có: Hàm số f xác định trên D với D ⊂ R và x0 ∊ D, trong đó:

• x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f, nếu như tồn tại khoảng (a;b) ⊂ K có chứa điểm x0 sao cho f(x) < f(x0), ∀ x ∈ (a;b) \{x0}. Khi đó, ta có f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số
• x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f , nếu như có một khoảng (a;b) ⊂ K, có chứa điểm x0 sao cho f(x) > f(x0), ∀ x ∈ (a;b) \{x0}. Khi đó f(x0) sẽ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.

Các định lý liên quan đến cực trị của hàm số

Đối với kiến thức toán 12 cực trị của hàm số, mọi người cần phải lưu ý những định lý liên quan đến cực trị của hàm số, cụ thể như sau:

Định lý 1: Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 và f có đạo hàm tại điểm x0 thì f’(x0) = 0.

Định lý 2: Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương, với x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0. Còn nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm, đối với x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại x0.

 

 

Số điểm cực trị của hàm số

Tùy vào những dạng hàm số, mà sẽ có những số điểm cực trị của hàm số khác nhau. Thế nên, ta thường dựa vào dạng bài toán để xác định số điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tuy nhiên, cũng cần lưu ý một số điểm như sau:

• Điểm cực đại (cực tiểu) x0 chính là điểm cực trị và giá trị cực đại (cực tiểu) f(x0) được gọi chung là cực trị.
• Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x0) không phải là giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm số f. Nó chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng (a:b) chứa x0.
• Nếu 1 điểm cực trị của f là x0, thì điểm (x0,f(x0)) là cũng là cực trị của hàm số

Điều kiện để hàm số có cực trị là gì?

Để trả lời câu hỏi “Hàm số đạt cực trị khi nào?”, đầu tiên ta cần xác định điều kiện cần để hàm số f đạt cực trị tại điểm x0, đó là: Nếu điểm x0 là điểm đạo hàm của f, thì f(x0) = 0. Một số lưu ý như sau:

• Điểm x0 khiến cho đạo hàm f’ bằng 0 mà hàm số f không đạt cực trị tại x0.
• Hàm số không có đạo hàm vẫn có thể đạt cực trị tại một điểm.
• Tại điểm có đạo hàm của hàm số bằng 0, hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm hoặc không có đạo hàm.

Ngoài điều kiện cần, hàm số cần đáp ứng điều kiện đủ như sau: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,x0), (x0,b) và hàm số liên tục trên khoảng (a,b) có chứa x0, khi đó:

• Khi x đi qua điểm x0 và f’(x) đổi dấu từ âm sang dương, thì ta có hàm số đạt cực tiểu tại x0.
• Khi x đi qua điểm x0 và f’(x) đổi dấu từ dương sang âm, thì ta có hàm số đạt cực đại tại x0.

Những quy tắc tìm cực trị của hàm số

Để tiến hành tìm giá trị cực trị của hàm số bất kỳ, ta sử dụng 2 quy tắc tìm số điểm cực trị của hàm số, cụ thể như sau:

Hướng dẫn cách tìm cực trị của hàm số theo quy tắc 1

Để xác định được cực trị theo quy tắc 1, mọi người cần làm theo các bước như sau:

• Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số f’(x)
• Bước 2: Tại điểm có đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục mà không có đạo hàm, tìm các điểm xi (i = 1, 2, 3).
• Bước 3: Xét dấu của đạo hàm f’(x), nếu f’(x) đổi chiều khi x đi qua x0, ta có thể xác định hàm số có cực trị tại x0.

Hướng dẫn cách tìm điểm cực trị của hàm số theo quy tắc 2

Để xác định điểm cực trị của đồ thị hàm số theo quy tắc 2, mọi người cần trải qua các bước như sau:

• Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số f’(x)
• Bước 2: Xét phương trình f’(x) = 0, sau đó tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, 3)
• Bước 3: Xét f’(x) với mỗi số xi

Nếu f”(xi<0) thì xi là điểm đạt giá trị cực đại của hàm số

Nếu f”(xi>0) thì xi là điểm có giá trị cực tiểu của hàm số

Giới thiệu các dạng bài tập tìm cực trị của hàm số

Để hiểu rõ và hiểu sâu hơn về lý thuyết của cực trị của hàm số được chúng tôi nhắc lại trên. Hãy cùng tìm hiểu các bài tập toán tiêu biểu dùng để xác định điểm cực trị hay các dạng bài tập khác ngay nhé!

Dạng bài toán tìm số cực trị của hàm số

Đây là dạng bài tập về cực trị của hàm số cơ bản và tổng quan về việc tính cực trị của hàm số, để giải quyết dạng bài toán này, cần áp dụng quy tắc 2 đã được nêu trên.

Ví dụ: Hãy tìm cực trị của hàm số y = 2×3 – 6x + 2

➡ Lời giải:

Tập xác định D = R.

Tính y’ = 6×2 – 6, ta cho y’= 0 ⇔ 6×2 – 6 = 0 ⇔ x = ±1

Bảng biến thiên

Vậy ta kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = – 1 với y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 với y = -2.

Dạng bài tập tìm điểm cực trị của hàm số có điều kiện cho trước

Để giải dạng bài tập này, ta cần thực hiện theo quy trình tìm các điểm cực trị của hàm số tổng quan của hàm số theo các bước như sau:

• Bước 1: Tính tập xác định của hàm số.
• Bước 2: Hãy tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)
• Bước 3: Lựa chọn 1 trong 2 trường hợp sau đây để giải:

Trường hợp 1: Nếu y’ xét được dầu thì sử dụng dầu hiệu và lập luận để chứng minh hàm số có cực trị ➡ PT y’ = 0 có k nghiệm phân biệt và biến thiên khi đi qua các nghiệm đó.

Trường hợp 2: Nếu y’ không xét được dâu, ta tính thêm y’’. Nếu y” > 0, ta kết luận hàm số có điểm cực tiểu tại x0, còn nếu y” < 0 ta kết luận hàm số có điểm cực đại tại x0.

Ví dụ 1. Tìm các giá trị của m để hàm số y = -x3 + (m+3)x2 – (m2 + 2m)x – 2 đạt cực đại tại x = 2.

➡ Lời giải:

Tập xác định D = R.

Tính: y’ = -3×2 + 2(m + 3)x – (m2 + 2m) và y” = -6x + 2(m + 3).

Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2 nên

Điều kiện để hàm số y = -x3 + (m+3)x2 – (m2 + 2m)x – 2 đạt cực đại tại x = 2

⇔ Giá trị m cần tìm là m = 0 và m = 2.

Tìm cực trị của hàm số lượng giác

Để xác định cực trị của hàm số lượng giác sin và cos, ta cần thực hiện những bước sau đây:

• Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số đề bài đã cho
• Bước 2: Tìm y’ và giải phương trình y’ = 0, có nghiệm z = z0
• Bước 3: Tính đạo hàm y” và tính y”(z0) và đưa ra kết luận dựa theo nguyên tắc 2

Ví dụ:

Qua những thông tin trên, hy vọng mọi người đã nắm được lý thuyết cơ bản về cực trị hàm số và các dạng bài toán liên quan. Những kiến thức về cực trị của hàm số rất quan trọng và thường xuất hiện trong đề thi THPT, thế nên các bạn học sinh lớp 12 cần lưu ý và nắm vững. Tham khảo thêm nhiều dạng đề và phương pháp học tập trực tuyến hiệu quả hơn với nền tảng học trực tuyến Marathon. Học sinh có thể liên hệ trực tiếp với các thầy cô giảng dạy Toán tại Marathon để được giải đáp thắc mắc trong học tập một cách nhanh nhất.

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

 

 

 

Team Marathon Education hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ mang lại nhiều giá trị bổ ích cho các các em. Nội dung Toán 12 cực trị của hàm số các em sẽ gặp nhiều khi làm bài tập, bài kiểm tra, bài thi. Vì vậy, các em hãy dành thời gian tìm hiểu lý thuyết và làm bài tập nhuần nhuyễn. 

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học trực tuyến nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!