Toán 12 cực trị của hàm số là phần nội dung quan trọng trong kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi đại học. Do đó, các em cần nắm rõ và vững lý thuyết này để vận dụng vào làm bài tập nhanh chóng, chính xác. Team Marathon Education đã tổng hợp, biên soạn nội dung cực trị của hàm số và phương pháp tìm cực trị một cách chi tiết, dễ hiểu và chia sẻ đến các em trong bài viết sau.
>>> Xem thêm: Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số: Lý Thuyết Và Cách Tìm Đường Tiệm Cận
>>> Xem thêm: 6 Cách Học Giỏi Toán Cho Học Sinh Cấp 3
Trước khi đi đến các cách tính cực trị của hàm số, hãy cùng chúng tôi tổng quan về lý thuyết của cực trị hàm số nhé!
Có thể hiểu đơn giản, cực trị của hàm số là giá trị mà khiến hàm số đổi chiều khi biến thiên. Theo hình học, có thể hiểu cực trị hàm số là biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và ngược lại. Dạng tổng quát, ta có: Hàm số f xác định trên D với D ⊂ R và x0 ∊ D, trong đó:
Đối với kiến thức toán 12 cực trị của hàm số, mọi người cần phải lưu ý những định lý liên quan đến cực trị của hàm số, cụ thể như sau:
Định lý 1: Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 và f có đạo hàm tại điểm x0 thì f’(x0) = 0.
Định lý 2: Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương, với x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0. Còn nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm, đối với x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại x0.
Tùy vào những dạng hàm số, mà sẽ có những số điểm cực trị của hàm số khác nhau. Thế nên, ta thường dựa vào dạng bài toán để xác định số điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tuy nhiên, cũng cần lưu ý một số điểm như sau:
Để trả lời câu hỏi “Hàm số đạt cực trị khi nào?”, đầu tiên ta cần xác định điều kiện cần để hàm số f đạt cực trị tại điểm x0, đó là: Nếu điểm x0 là điểm đạo hàm của f, thì f(x0) = 0. Một số lưu ý như sau:
Ngoài điều kiện cần, hàm số cần đáp ứng điều kiện đủ như sau: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,x0), (x0,b) và hàm số liên tục trên khoảng (a,b) có chứa x0, khi đó:
Để tiến hành tìm giá trị cực trị của hàm số bất kỳ, ta sử dụng 2 quy tắc tìm số điểm cực trị của hàm số, cụ thể như sau:
Để xác định được cực trị theo quy tắc 1, mọi người cần làm theo các bước như sau:
Để xác định điểm cực trị của đồ thị hàm số theo quy tắc 2, mọi người cần trải qua các bước như sau:
Nếu f”(xi<0) thì xi là điểm đạt giá trị cực đại của hàm số
Nếu f”(xi>0) thì xi là điểm có giá trị cực tiểu của hàm số
Để hiểu rõ và hiểu sâu hơn về lý thuyết của cực trị của hàm số được chúng tôi nhắc lại trên. Hãy cùng tìm hiểu các bài tập toán tiêu biểu dùng để xác định điểm cực trị hay các dạng bài tập khác ngay nhé!
Đây là dạng bài tập về cực trị của hàm số cơ bản và tổng quan về việc tính cực trị của hàm số, để giải quyết dạng bài toán này, cần áp dụng quy tắc 2 đã được nêu trên.
Ví dụ: Hãy tìm cực trị của hàm số y = 2×3 – 6x + 2
➡ Lời giải:
Tập xác định D = R.
Tính y’ = 6×2 – 6, ta cho y’= 0 ⇔ 6×2 – 6 = 0 ⇔ x = ±1
Bảng biến thiên
Vậy ta kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = – 1 với y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 với y = -2.
Để giải dạng bài tập này, ta cần thực hiện theo quy trình tìm các điểm cực trị của hàm số tổng quan của hàm số theo các bước như sau:
Trường hợp 1: Nếu y’ xét được dầu thì sử dụng dầu hiệu và lập luận để chứng minh hàm số có cực trị ➡ PT y’ = 0 có k nghiệm phân biệt và biến thiên khi đi qua các nghiệm đó.
Trường hợp 2: Nếu y’ không xét được dâu, ta tính thêm y’’. Nếu y” > 0, ta kết luận hàm số có điểm cực tiểu tại x0, còn nếu y” < 0 ta kết luận hàm số có điểm cực đại tại x0.
Ví dụ 1. Tìm các giá trị của m để hàm số y = -x3 + (m+3)x2 – (m2 + 2m)x – 2 đạt cực đại tại x = 2.
➡ Lời giải:
Tập xác định D = R.
Tính: y’ = -3×2 + 2(m + 3)x – (m2 + 2m) và y” = -6x + 2(m + 3).
Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2 nên
Điều kiện để hàm số y = -x3 + (m+3)x2 – (m2 + 2m)x – 2 đạt cực đại tại x = 2
⇔ Giá trị m cần tìm là m = 0 và m = 2.
Để xác định cực trị của hàm số lượng giác sin và cos, ta cần thực hiện những bước sau đây:
Ví dụ:
Qua những thông tin trên, hy vọng mọi người đã nắm được lý thuyết cơ bản về cực trị hàm số và các dạng bài toán liên quan. Những kiến thức về cực trị của hàm số rất quan trọng và thường xuất hiện trong đề thi THPT, thế nên các bạn học sinh lớp 12 cần lưu ý và nắm vững. Tham khảo thêm nhiều dạng đề và phương pháp học tập trực tuyến hiệu quả hơn với nền tảng học trực tuyến Marathon. Học sinh có thể liên hệ trực tiếp với các thầy cô giảng dạy Toán tại Marathon để được giải đáp thắc mắc trong học tập một cách nhanh nhất.
Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education
Team Marathon Education hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ mang lại nhiều giá trị bổ ích cho các các em. Nội dung Toán 12 cực trị của hàm số các em sẽ gặp nhiều khi làm bài tập, bài kiểm tra, bài thi. Vì vậy, các em hãy dành thời gian tìm hiểu lý thuyết và làm bài tập nhuần nhuyễn.
Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học trực tuyến nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!