Các Dạng Tích Phân Hàm Ẩn Và Phương Pháp Giải Chi Tiết

Vy - 10/04/2022

Tích phân hàm ẩn là một dạng toán mà các em được học trong chương trình Toán học Giải tích 12. Mặc dù đã được học qua nhưng khi giải dạng toán này rất nhiều em học sinh vẫn gặp nhiều khó khăn. Để giúp các em tự tin hơn khi học nội dung này, Marathon Education sẽ chia sẻ đến các em những kiến thức về tích phân hàm ẩn và phương pháp giải chi tiết các dạng toán liên quan.

Tích phân hàm ẩn là gì?

Khái niệm tích phân hàm ẩn là gì?
Khái niệm tích phân hàm ẩn là gì? (Nguồn: Internet)

Tích phân hàm ẩn là dạng tích phân mà hàm số đã bị ẩn đi. Đề bài sẽ không cho các em thấy hàm số cần tính là gì mà chỉ hiển thị một số điều kiện có sẵn. Để giải được dạng toán này, các em cần phải tư duy nhiều hơn trong quá trình giải toán và nắm vững những phương pháp giải cơ bản.

Các dạng toán tích phân hàm ẩn và phương pháp giải 

Dạng 1: Phương pháp sử dụng quy tắc và đạo hàm của hàm hợp 

Quy tắc 1:

Nếu u = u(x) và v = v(x) thì (uv)’ = u’v + uv’

Nếu [f(x).g(x)]’ = h(x) thì f(x).g(x) = ∫h(x)dx.

Ví dụ minh họa:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; +∞) và thỏa mãn điều kiện f(1) = 3, x(4 – f’(x)) = f(x) – 1 với mọi x > 0. Các em hãy tính giá trị của f(2).

Bài giải:

x(4 – f’(x)) = f(x) – 1 ⟹ xf’(x) + f(x) = 4x + 1

⟹ [xf(x)]’ = 4x + 1

⟹ xf(x) = ∫(4x + 1)dx

⟹ xf(x) = 2x2 + x + C

Ta có: f(1) = 3 ⟹ C = 0

⟹ f(x) = 2x+1

⟹ f(2) = 5

đăng ký học thử

Quy tắc 2:

\footnotesize \text{Nếu }u=u(x) \text{ và }v=v(x) \text{ thì }\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \text{ với }v\not=0. \text{ Nếu} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=h(x)\text{ thì }\frac{f(x)}{g(x)}=\int h(x)dx.

Ví dụ minh họa:

\footnotesize \text{Cho hàm số }f(x)\text{ thỏa mãn }f(2)=-\frac29 \text{ và } f'(x)=2x[f(x)]^2, \ \forall x\in\R. \text{ Các em hãy tính giá trị của }f(1).

Bài giải:

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Ta có:}\\
&\footnotesize f'(x)=2x[f(x)]^2\\
&\footnotesize \Leftrightarrow\frac{f'(x)}{[f(x)]^2}=2x\\
&\footnotesize \Leftrightarrow\left[\frac{1}{f(x)}\right]'=-2x\\
&\footnotesize \Leftrightarrow\frac{1}{f(x)}=-\int2xdx\\
&\footnotesize \Leftrightarrow\frac{1}{f(x)}=-x^2+C\\
&\footnotesize \text{Lại có:}\\
&\footnotesize f(2)=\frac29\Rightarrow C=-\frac12 \Rightarrow \frac{1}{f(x)}=-x^2-\frac12 \Rightarrow f(1)=-\frac23
\end{aligned}

Quy tắc 3:

\footnotesize \text{Nếu }u=u(x) \text{ thì } (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\text{ với }u>0.\text { Nếu } \left[\sqrt{f(x)}\right]'=h(x) \text{ thì } \sqrt{f(x)}=\int h(x)dx.

Ví dụ minh họa:

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{ Cho hàm số }f(x)\text{ đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn: }\\
&\footnotesize f'(x)=2\sqrt{f(x)} \ \forall x\in[0;1] \text{ và } f(0)=1\\
&\footnotesize \text{Các em hãy tính tích phân của hàm số:} \intop_0^1f(x)dx\\


\end{aligned}

Bài giải:

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Ta có:}\\
&\footnotesize f'(x)=2\sqrt{f(x)} \\
&\footnotesize\Leftrightarrow\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}=1\\
&\footnotesize\Leftrightarrow\left(\sqrt{f(x)}\right)'=1 \\
&\footnotesize \Leftrightarrow \sqrt{f(x)}=\int dx \Leftrightarrow \sqrt{f(x)}=x+C\\
&\footnotesize \text{Lại có:}\\
&\footnotesize f(0)=1 \Rightarrow C=1 \Rightarrow f(x)=(x+1)^2 \Rightarrow \intop_0^1(x+1)^2dx=\left.\frac13(x+1)^2\right|^1_0=\frac73
\end{aligned}

Quy tắc 4:

Nếu u = u(x) thì thì (eu)’ = u’.eu

Nếu (ef(x))’ = g(x) thì ef(x) = ∫g(x)dx

Ví dụ minh họa:

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Cho hàm số } f(x) \text{ có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn }f(0)=1 \text{ và } f'(x).e^{f(x)-x^2-1}=2x \ \forall x\in[0;1].\\
&\footnotesize \text{Tính giá trị của }\intop^1_0f(x)dx.
\end{aligned}

Bài giải:

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Ta có: }\\
&\footnotesize f'(x).e^{f(x)-x^2-1}=2x\\
\Leftrightarrow &\footnotesize  f'(x)e^{f(x)}=2x.e^{x^2+1}\\
\Leftrightarrow &\footnotesize\left(e^{f(x)}\right)'=2x.e^{x^2+1}\\
\Leftrightarrow &\footnotesize e^{f(x)}=\int 2x.e^{x^2+1}\\
\Leftrightarrow &\footnotesize e^{f(x)}=e^{x^2+1}+C\\
&\footnotesize \text{Lại có:} f(0)=1 \Rightarrow C=0 \Rightarrow e^{f(x)}=e^{x^2+1} \Rightarrow f(x)=x^2+1\\
&\footnotesize \text{Do vậy:}\intop_0^1f(x)dx=\intop_0^1(x^2+1)dx=\left.\left(\frac13x^3+x\right)\right|^1_0=\frac43
\end{aligned}

Quy tắc 5:

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Nếu }u=u(x) \text{ nhận giá trị dương trên K thì }[lnu]'=\frac{u,}{u} \text{ trên K. }\\
&\footnotesize \text{Nếu } [ln(f(x))]'=g(x) \text{ thì } ln(f(x))=\int g(x)dx.
\end{aligned}

Ví dụ minh họa:

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Cho hàm số }y=f(x) \text{ có đạo hàm và liên tục trên đoạn [-1;1], thỏa mãn }f(x)>0\ \forall x\in\R \text{ và } f'(x)+2f(x)=0.\\
&\footnotesize \text{Biết }f(1)=1, \text{ tính }f(-1).
\end{aligned}

Bài giải:

\begin{aligned}
&\bull \footnotesize f'(x)+2f(x)=0\\
&\footnotesize \Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}=-2\\
&\footnotesize \Leftrightarrow \intop_{-1}^1\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\intop_{-1}^1-2dx\\
&\footnotesize \Leftrightarrow \intop_{-1}^1\frac{df(x)}{f(x)}=-4\\
&\footnotesize \Leftrightarrow lnf(x)|^1_{-1}=-4\\
&\bull \footnotesize ln\frac{f(1)}{f(-1)}=-4 \Leftrightarrow \frac{f(1)}{f(-1)}=e^{-4}\Leftrightarrow f(-1)=f(1).e^{4} =e^{4}
\end{aligned}

Dạng 2: Phương pháp sử dụng định nghĩa của nguyên hàm, tích phân

Dạng toán này của tích phân hàm ẩn xuất phát từ tính chất sau đây của nguyên hàm:

∫f’(x)dx = f(x) + C

Trong công thức này, các em sẽ biết f’(x) (hàm số bị ẩn trong f’(x)) và chưa biết hệ số C nhưng đã biết một vài giá trị của f(x). Lúc này, bài toán sẽ yêu cầu các em tính một số giá trị của f(x).

Để giải dạng toán tích phân hàm ẩn này, các em có thể áp dụng một trong 2 cách sau:

  • Cách 1: Sử dụng định nghĩa, tính chất của nguyên hàm để xác định f(x)+C. Tiếp theo, các em hãy sử dụng những giá trị đã biết của f(x) để xác định hệ số C, cuối cùng các em tính giá trị cần tìm.
  • Cách 2: Nếu hàm số đã cho có tích phân trên [a;b] thì các em hãy sử dụng công thức tích phân để tính giá trị.

Ví dụ minh họa:

Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đạo hàm thỏa mãn f’(x) = 2x + 3, f(1) = 0. Các em hãy tính f(2).

Bài giải:

Cách 1: Dùng định nghĩa nguyên hàm

Ta có: f(x) = ∫f’(x)dx = ∫(2x + 3)dx = x2 + 3x + C

Mà f(1) = 0 nên C = -4

=> f(x) = x2 + 3x – 4

Vậy nên: f(2) = 6

Cách 2: Dùng định nghĩa tích phân

\begin{aligned}
&\footnotesize \intop_1^2f'(x)dx=f(x)|^2_1=f(2)-f(1)=f(2)\\
&\footnotesize \intop_1^2f'(x)dx=\intop^2_1(2x+3)dx=6\\
&\footnotesize \text{Vậy } f(2)=6
\end{aligned}

Dạng 3: Phương pháp đổi biến 

Nếu trong bài tập tích phân hàm ẩn mà tích phân cần tính có cận khác với tích phân ở giả thiết thì các em hãy áp dụng phương pháp đổi biến số để giải.

Ví dụ minh họa:

\footnotesize \text{Biết rằng: }\intop_3^{13}f(x)dx=16. \text{ Tính }J=\intop^6_1(2x+1)dx

Bài giải:

\begin{aligned}
&\footnotesize J=\intop^6_1f(2x+1)dx=\frac12\intop^6_1f(2x+1)d(2x+1)\\
&\footnotesize \text{Đặt }u=2x+1\\
&\footnotesize\Rightarrow \frac12\intop^6_1f(2x+1)d(2x+1) =\frac12\intop^{13}_3f(u)du=8
\end{aligned}

Dạng 4: Phương pháp tích phân từng phần 

Nếu bài toán chứa tích phân hàm ẩn không thể sử dụng 3 phương pháp trên và trong tích phân có 2 hàm số xuất hiện với cận không đổi thì lúc này các em cần áp dụng phương pháp tích phân từng phần.

Ví dụ minh họa:

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Cho hai hàm số liên tục }f(x) \text{ và }g(x) \text{ có nguyên hàm lần lượt là } F(x) \text{ và } G(x) \text{ trên } [1;2]. \text{ Biết rằng } F(1)=1,\\
&\footnotesize  F(2)=4,\ G(1)=\frac32,\ G(2)=2 \text{ và } \intop^2_1f(x)G(x)dx=\frac{67}{12}. \text{ Tính tích phân hàm ẩn sau: }\intop^2_1F(x)g(x)dx.
\end{aligned}

Bài giải:

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Đặt }\begin{cases}u=F(x)\\dv=g(x)dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du=f(x)dx \\ v=G(x) \end{cases}\\
&\footnotesize \text{Vậy }\intop^2_1F(x)g(x)dx=F(x)G(x)|^2_1-\intop^2_1f(x)G(x)dx=8-\frac32-\frac{67}{12}=\frac{11}{12}
\end{aligned}

Dạng 5: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f'(x)+p(x).f(x)=h(x)

Phương pháp:

\begin{aligned}
&+ \space Tìm\space P(x)\space =\intop p(x)dx\\
&+ Nhân\space hai\space vế\space e^{{\lmoustache p(x)dx}} ta\space được:\\
&f'(x).e^{{\lmoustache p(x)dx}}+p(x).e^{{\lmoustache p(x)dx}}.f(x)=h(x)e^{{\lmoustache p(x)dx}}\\
&\Leftrightarrow f'(x).e^p(x) +p(x).e^{p(x)}f(x)=q(x)e^{p(x)}\\
&\Leftrightarrow\lbrack f(x).e^{{\lmoustache p(x)dx}} \rbrack = h(x).e^{{\lmoustache p(x)dx}}\\

\end{aligned}

Hệ quả 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức: f'(x)+f(x)=h(x)

Phương pháp

\begin{aligned}
&+\space Nhân\space hai\space vế\space với\space e^x\space ta\space được\space e^x.f'(x)+e^x.h(x) \Leftrightarrow \lbrack e^x.f(x) \rbrack'=e^x.h(x)\\ 
&+Suy\space ra\space e^x.f(x)= \lmoustache e^x.h(x)dx\\
& +Từ\space đây\space ta\space dễ\space dàng\space tìm\space được\space f(x)
\end{aligned}

Hệ quả 2: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f'(x)-f(x)=h(x)

Phương pháp

\begin{aligned}
& \text{+Nhân hai vế với}\space e^x \text{ta được}\space e^{-x}.f'(x)-e^{-x} .f(x)=e^{-x}.h(x)\\
&\Leftrightarrow \lbrack e^{-x}.f(x) \rbrack' = e^{-x}.h(x)\\
& +Suy\space ra\space e^{-x} .f(x)=\lmoustache e^{-x} h(x)dx\\
& +\text{Từ đây ta dễ dàng tìm được f(x)}
\end{aligned}

Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education

Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Các khóa học online tại Marathon Education

 

Bài viết trên của Marathon Education đã tổng hợp cho các em những kiến thức quan trọng về tích phân hàm ẩn và phương pháp giải các dạng toán liên quan. Các em chú ý học kỹ lý thuyết cũng như các ví dụ để vận dụng giải các bài tập. Chúc các em học tốt và có được nhiều thành tích cao!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM