Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết, Công Thức Và Các Dạng Bài Tập

(\smallint f(x)dx)'= f(x) \small{\text{ và }} \smallint f'(x)dx = f(x) + C

\smallint kf(x)dx = k\smallint{f(x)dx} \small{\text{ với k là hằng số khác 0}}

\smallint [f(x) \pm g(x)]dx = \smallint f(x)dx \pm \smallint g(x)dx

\begin{aligned}
&a.\ e^{-x} \text{ và } -e^{-x}\\
&b.\ sin2x \text{ và }sin^2x\\
&c. \left( 1-\frac2x \right)^2e^x \text{ và } \left( 1-\frac4x \right) e^x
\end{aligned}

\begin{aligned}
&a. \text{ Ta có: }\ [e^{-x}]'= -e^{-x}\\
&\text{Vậy }e^{-x} \text{ là nguyên hàm của }-e^{-x}\\
&b.\text{ Ta có: }\ [sin^2x]'= 2xinxcosx=sin2x\\
&\text{Vậy }sin^2x \text{ là nguyên hàm của }sin2x\\
&c.\text{ Ta có: }\\
& \left[\left( 1-\frac4x\right)e^x\right]'\\
&=\left( 1-\frac4x\right)'e^x+\left( 1-\frac4x\right)(e^x)'\\
&=e^x\left[ 1-\frac4x+\frac{4}{x^2}\right]=\left( 1-\frac2x\right)^2e^x\\
&\text{Vậy }\left( 1-\frac4x\right)e^x \text{ là nguyên hàm của }\left( 1-\frac2x\right)^2e^x\\
\end{aligned}

\begin{aligned}
& \small \bold{\text{Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:}}
\\
& \small \text{a. } f(x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}
\\
& \small \text{b. } f(x) = \frac{2^x - 1}{e^x}
\\
& \small \text{c. } f(x) = \frac{1}{sin^2x.cos^2x}
\\
& \small \text{d. } f(x) = sin5x.cos3x
\\
& \small \text{e. } f(x) = tan^2x
\\
& \small \text{g. } f(x) = e^{3-2x}
\\
& \small \text{h. } f(x) = \frac{1}{(1+x)(1-2x)}
\\
& \small \bold{\text{Lời giải:}}
\\
& \small \text{a. } \int \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}
\\
& \small = \int \left( x + x^{\frac12} + 1 \right). x^{\frac{-1}{3}}dx
\\
& \small = \int \left( x^{\frac23} + x^{\frac16} + x^{\frac{-1}{3}} \right)dx
\\
& \small = \int x^{\frac23}dx + \int x^{\frac16}dx + \int x^{\frac{-1}{3}}dx
\\
& \small = \frac35x^{\frac53} + \frac67x^{\frac76} + \frac32x^{\frac23} + C
\\
& \small = \frac35.x\sqrt[3]{x^2} + \frac67.x\sqrt[6]{x} + \frac32.\sqrt[3]{x^2} + C
\\
& \small \text{b. } \int \frac{2^x - 1}{e^x}
\\
& \small = \int \left[ \left( \frac2e \right)^x - \left( \frac1e \right)^x \right]
\\
& \small = \int \left( \frac2e \right)^xdx - \int e^{-x}dx
\\
& \small = \frac{\left( \frac2e \right)^x}{ln\left( \frac2e \right)} + e^{-x} + C
\\
& \small = \frac{2^x}{e^x.(ln2 - 1)} + e^{-x} + C
\\
& \small \text{c. } \int \frac{1}{sin^2x.cos^2x}dx
\\
& \small = \int \frac{sin^2x + sin^2x}{sin^2x.cos^2x}dx
\\
& \small = \int \left( \frac{1}{cos^2x} + \frac{1}{sin^2x} \right)dx
\\
& \small = \int \frac{1}{cos^2x}dx+ \int \frac{1}{sin^2x}dx
\\
& \small = tanx - cotx + C
\\
& \small \text{d. } \int sin5x.cos3xdx
\\
& \small = \int \frac12(sin8x + sin2x)dx
\\
& \small = \int \frac12sin8xdx + \int \frac12sin2xdx
\\
& \small = -\frac{1}{16}cos8x - \frac14cos2x + C
\\
& \small \text{e. } \int tan^2xdx
\\
& \small = \int \left( \frac{1}{cos^2x - 1}\right)dx
\\
& \small = \int \frac{1}{cos^2x - 1}dx - \int dx
\\
& \small = tanx - x + C
\\
& \small \text{g. } \int e^{3-2x}dx
\\
& \small \text{Đặt t = 3-2x}
\\
& \small \implies dt = -2dx
\\
& \small \iff dx = -\frac{dt}{2}
\\
& \small \int e^{3-2x}dx
\\
& \small = \int e^t.-\frac{dt}{2}
\\
& \small = -\frac12 \int e^t dt
\\
& \small = -\frac12e^t + C
\\
& \small = -\frac12e^{3-2x} + C
\\
& \small \text{h. } \int \frac{1}{(1+x)(1-2x)}dx
\\
& \small = \int \left[ \frac{1}{3(1+x)} + \frac{2}{3(1-2x)} \right]dx
\\
& \small = \frac13 \int \frac{1}{1+x}dx + \frac23 \int \frac{1}{1-2x}dx (*)
\\
& \small \text{Xét } \int \frac{1}{1+x}dx
\\
& \small \text{Đặt } t = 1+x
\\
& \small \implies dt = dx
\\
& \small \int \frac{1}{1+x}dx
\\
& \small = \int \frac{1}{t}dt
\\
& \small = ln|t| + C_1 = ln|1+x| + C_1 (1)
\\
& \small \text{Xét } \int \frac{1}{1-2x}dx
\\
& \small \text{Đặt } t = 1-2x
\\
& \small \implies dt = -2dx
\\
& \small \iff dx = -\frac{dt}{2}
\\
& \small \int \frac{1}{1-2x}dx
\\
& \small = -\frac12 \int \frac{1}{t}dt
\\
& \small = -\frac12ln|t| + C_2 = -\frac12ln|1-2x| + C_2 (2)
\\
& \small \text{Từ (1) và (2)}
\\
& \small (*) = \frac13 ln|1+x| - \frac13ln|1-2x| + C
\\
& \small =  \frac13 ln|\frac{1+x}{1-2x}| + C
\end{aligned}

\begin{aligned}
& \small \text{Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính các nguyên hàm dưới đây:}
\\
& \small \text{a. } \int (1-x)^9dx \text{ (đặt } u = 1 - x)
\\
& \small \text{b. } \int x(1+x^2)^{\frac32}dx \text{ (đặt } u = 1 + x^2)
\\
& \small \text{c. } \int cos^3x.sinxdx \text{ (đặt } t = cosx)
\\
& \small \text{d. } \int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2} \text{ (đặt } u = e^x + 1)
\\
& \small \text{Lời giải:}
\\
& \small \text{a. Đặt } u = 1 - x \implies du = -dx \iff dx = - du
\\
& \small \int (1-x)^9dx = -\int u^9du = -\frac{u^{10}}{10} + C = -\frac{(1-x)^{10}}{10} + C
\\
& \small \text{b. Đặt } u = 1 + x^2 \implies du = 2xdx \iff xdx = \frac{du}{2}
\\
& \small \int x(1+x^2)^{\frac32}dx = \frac12 \int u^{\frac32}du = \frac15u^{\frac52} + C = \frac15(1 + x^2)^{\frac52} + C
\\
& \small \text{c. Đặt } t = cosx \implies dt = -sinxdx \iff sinxdx = -dt
\\
& \small \int cos^3x.sinxdx = -\int t^3dt = -\frac{t^4}{4} + C = -\frac{cos^4x}{4} + C
\\
& \small \text{d. Đặt } u = e^x + 1 \implies du = e^xdx
\\
& \small \int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2} = \int \frac{e^x}{e^{2x} + 1 + 2e^x}dx = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}dx = \int \frac{1}{u^2}du = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{e^x + 1} + C
\end{aligned}

\begin{aligned}
& \small \text{Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tính các nguyên hàm dưới đây:}
\\
& \small \text{a. } \int xln(1+x)dx
\\
& \small \text{b. } \int (x^2+2x-1)e^xdx
\\
& \small \text{c. } \int xsin(2x+1)dx
\\
& \small \text{d. } \int (1-x)cosxdx
\\
& \small \text{Phương pháp nguyên hàm từng phần:}
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = u(x)
\\
dv = v'(x)dx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = u'(x)dx
\\
v = v(x)
\end{cases}
\\
& \small \implies \int f(x)dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)dx
\\
& \small \text{Lời giải:}
\\
& \small \text{a. } \int xln(1+x)dx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = ln(1+x)
\\
dv = xdx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = \frac{1}{x+1}dx
\\
v = \frac{x^2}{2}
\end{cases}
\\
& \small \int xln(1+x)dx
\\
& \small = \frac{x^2}{2}ln(1+x) - \int \frac{x^2}{2(x+1)}dx
\\
& \small = \frac{x^2}{2}ln(1+x) - \frac12 \int \left( x-1+\frac{1}{x+1} \right)dx
\\
& \small = \frac{x^2}{2}ln(1+x) - \frac12 \left[ \frac{x^2}{2} - x + ln(1+x) \right]+ C
\\
& \small = \frac12(x^2-1)ln(1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + C
\\
& \small \text{b. } \int (x^2+2x-1)e^xdx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x^2+2x-1
\\
dv = e^xdx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = (2x+2)dx
\\
v = e^x
\end{cases}
\\
& \small \int (x^2+2x-1)e^xdx
\\
& \small = (x^2+2x-1)e^x - 2\int (x+1)e^xdx \ (*)
\\
& \small \text{Xét } \int (x+1)e^xdx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x+1
\\
dv = e^xdx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = dx
\\
v = e^x
\end{cases}
\\
& \small \int (x+1)e^xdx = (x+1)e^x - \int e^xdx = (x+1)e^x - e^x + C = xe^x + C
\\
& \small (*) = (x^2+2x-1)e^x - 2xe^xdx + C
\\
& \small = (x^2-1)e^x + C
\\
& \small \text{c. } \int xsin(2x+1)dx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x
\\
dv = sin(2x+1)dx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = dx
\\
v = -\frac12cos(2x+1)
\end{cases}
\\
& \small \int xsin(2x+1)dx
\\
& \small = -\frac12xcos(2x+1) + \frac12 \int cos(2x+1)dx
\\
& \small = -\frac12xcos(2x+1) + \frac14sin(2x+1)dx + C
\\
& \small \text{d. } \int (1-x)cosxdx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = 1-x
\\
dv = cosdx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = - dx
\\
v = sinx
\end{cases}
\\
& \small \int (1-x)cosxdx
\\
& \small = (1-x)sinx + \int sinxdx
\\
& \small = (1-x)sinx - cosx + C
\end{aligned}

\begin{aligned}
& \small \text{a. Cho } \int (x-1)^{10}dx. \text{ Đặt u=x-1, hãy viết } (x-1)^{10}dx \text{ theo u và du}
\\
& \small \text{b. Cho } \int \frac{lnx}{x}dx. \text{ Đặt } x=e^t, \text{ hãy viết } \int \frac{lnx}{x}dx \text{ theo t và dt}
\\
& \small \text{Lời giải}
\\
& \small \text{a. Theo đề bài, ta đặt } u=x-1 \implies x=u+1 \implies dx = du \implies (x-1)^{10}dx = u^{10}du
\\
& \small \text{b. Theo đề bài, ta đặt } x=e^t \implies dx = e^tdt \implies \frac{lnx}{x}dx = \frac{ln(e^t)}{e^t}e^tdt = tdt
\\
\end{aligned}