Lý Thuyết Hàm Số Lũy Thừa Toán 12 Định Nghĩa Và Bài Tập Minh Họa

Vy - 08/02/2022

Lũy thừa và hàm số lũy thừa đã không còn xa lạ với chương trình Toán giải tích lớp 12. Kiến thức này thường xuất hiện trong các bài toán về khảo sát hàm số. Team Marathon Education sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về khái niệm lũy thừa cũng như đạo hàm của hàm số lũy thừa qua bài viết sau.

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Và Đồ Thị Của Hàm Số Mũ, Hàm Số Lôgarit

Định nghĩa hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa là những hàm số có dạng y = xα (α ∈ R). Tùy thuộc vào α mà mỗi hàm số sẽ có những tập xác định khác nhau: 

  • Nếu α nguyên dương thì tập xác định là R.
  • Nếu α nguyên âm hoặc α = 0 thì tập xác định là R∖{0}.
  • Nếu α không nguyên thì tập xác định là (0;+∞).
chương trình học thử

Đạo hàm của hàm số lũy thừa

Với số mũ tổng quát

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Hàm số y}=x^\alpha \text{ có đạo hàm tại mọi }x\in(0;+\infin) \text{ và y'}=(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}.\\
&\footnotesize\text{Nếu hàm số u = u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng J thì }\\
&\footnotesize\text{hàm số } y=u^\alpha(x) \text{ cũng có đạo hàm trên J là:}\\
&y'=[u^\alpha(x)]^{-1}=\alpha x^{\alpha-1}.(x).u'(x)
\end{aligned}

Với số mũ nguyên dương

Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số y = xn có tập xác định R và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm hàm số lũy thừa có thể được mở rộng thành:

\begin{aligned}
&\forall x \in \R, \ (x^n)'=nx^{n-1}\\
&\forall x \in J,\ [u^n(x)]'=nu^{n-1} \ (x) \ u'(x) \\
&\text{(nếu u=u(x) có đạo hàm trong khoảng J)}
\end{aligned}

Với số mũ nguyên âm

Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số y=xn có tập xác định là R\{0} và có đạo hàm tại mọi x khác 0, công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành:

\begin{aligned}
& \forall x \not=0, (x^n)'=nx^{n-1}\\
&\forall x \in J, [u^n(x)]'=nu^{n-1}.(x).u'(x)\\
&\text{(nếu u=u(x) } \not= 0 \text{ có đạo hàm trong khoảng J)}
\end{aligned}

>>> Xem thêm:

Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết, Công Thức Và Các Dạng Bài Tập

Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết

Đạo hàm của căn thức

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Hàm số }y=\sqrt[n]{x}\text{ có thể được xem như là dạng mở rộng của hàm số lũy thừa }\\
&\footnotesize y=x^\frac{1}{n} \text{ (tập xác định của }y=\sqrt[n]{x}\text{ chứa tập xác định của }y=x^\frac{1}{n} \text{ và trên tập}\\
&\footnotesize\text{xác định của }y=x^\frac{1}{n}\text{thì hai hàm số trùng nhau).}\\
&\footnotesize \text{Công thức tính đạo hàm căn thức:}\\
&\footnotesize y=\sqrt[n]{x}=x^\frac{1}{n} \text{\ \ \ \ và\ \ \ \ } (x^\frac{1}{n})'=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\\
&\footnotesize \Rightarrow (\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}\\
&\footnotesize \Rightarrow (\sqrt[n]{u(x)})'=\frac{u'(x)}{n\sqrt[n]{u^{n-1}(x)}}\\
\end{aligned}

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lũy thừa trên khoảng (0; +∝):

Đồ thị của hàm số lũy thừa
Đồ thị của hàm số lũy thừa (Nguồn: Internet)

Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0; +∝):

  • Đồ thị luôn đi qua điểm (1;1).
  • Khi α>0 hàm số luôn đồng biến, khi α < 0 hàm số luôn nghịch biến.
  • Đồ thị của hàm số không có tiệm cận khi α > 0. Khi α < 0 đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox, tiệm cận đứng là trục Oy.

Chú ý: Khi khảo sát hàm số y= xα với α cụ thể thì cần xét hàm số trên toàn bộ tập xác định của nó chứ không phải chỉ xét riêng trên khoảng (0; +∝).

Bài tập hàm số lũy thừa lớp 12

Bài tập 1 trang 60 SGK Giải tích 12

Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa sau:

\begin{aligned}
&a) \ y=(1-x)^{\frac{-1}{3}}\\
&b)\ y=(2-x^2)^\frac35\\
&c)\ y=(x^2-1)^{-2}\\
&d)\ y=(x^2-x-2)^{\sqrt2}
\end{aligned}

Hướng dẫn giải bài tập:

\begin{aligned}
&a)\text{ Hàm số }y=(1-x)^{\frac{-1}{3}}\text{ xác định } \Leftrightarrow 1-x>0\Leftrightarrow x<1\\
&\text{Vậy tập xác định }D=(-\infin;1).\\
&b)\text{ Hàm số } y=(2-x^2)^\frac35\text{ xác định } \Leftrightarrow 2-x^2>0 \Leftrightarrow x^2<2\Leftrightarrow -\sqrt2 < x <\sqrt2\\
&\text{Vậy tập xác định }D=(-\sqrt2;\sqrt2).\\
&c)\text{ Hàm số }y=(x^2-1)^{-2}\text{ xác định } \Leftrightarrow x^2-1\not=0\Leftrightarrow x^2\not=1 \Leftrightarrow x\not= \pm1\\
&\text{Vậy tập xác định }D=\ R \backslash\{-1;1\}  .\\
&d)\text{ Hàm số }y=(x^2-x-2)^{\sqrt2}\text{ xác định }\Leftrightarrow x^2-x-2>0 \Leftrightarrow(x+1)(x-2)>0\\
&\Leftrightarrow x<-1 \text{ hoặc }x>2\\
&\text{Vậy tập xác định }D=(-\infin;-1)∪(2;+\infin) .\\
\end{aligned}\\

Bài tập 2 trang 58 SGK Giải tích 12

Tính đạo hàm của hàm số sau:

y = (3x^2 – 1)^{-\sqrt2}

Hướng dẫn giải bài tập:

\begin{aligned}
y' &= \left[(3x^2 – 1)^{-\sqrt2}\right]'\\
&=-\sqrt2(3x^2-1)^{-\sqrt2-1}.(3x^2-1)'\\
&=-\sqrt2(3x^2-1)^{-\sqrt2-1}.6x\\
&=-6\sqrt2x(3x^2-1)^{-\sqrt2-1}
\end{aligned}

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

 

 

 

Team Marathon Education đã giúp các em hiểu rõ hơn về hàm số lũy thừa cũng như đạo hàm của chúng. Hãy đăng ký ngay khóa học tại Marathon Education và tham gia lớp học ngoài giờ để trau dồi thêm kiến thức Toán – Lý – Hóa!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM