Giải Bất Phương Trình Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối

Dấu giá trị tuyệt đối và cách giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là một phần quan trọng trong chương trình phổ thông. Tuy nhiên, một số em học sinh vẫn chưa nắm vững được các dạng bài tập và cách giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối giá trị tuyệt đối. Do đó, Team Marathon Education đã tổng hợp các kiến thức này và biên soạn bài viết dưới đây để các em tham khảo.

>>> Xem thêm: Phương Pháp Giải Bất Phương Trình Chứa Căn Chi Tiết

Tổng quan về giá trị tuyệt đối

Lý thuyết về giá trị tuyệt đối

Giá trị tuyệt đối có tên gọi khác là môđun của số thực a, được ký hiệu là |a|. Trong Toán học, giá trị tuyệt đối của a được định nghĩa như sau:

• |a| = a khi a ≥ 0
• |a| = -a khi a < 0

Đặc biệt, giá trị tuyệt đối của số 0 được ký hiệu là |0| (và |0| = 0).

Kết luận: Giá trị tuyệt đối của một số bất kỳ chính là khoảng cách từ số đó đến số 0. Do đó, giá trị tuyệt đối của số dương là bản thân số đó. Giá trị tuyệt đối của số âm chính là số đối của nó.

Tính chất của giá trị tuyệt đối

• Giá trị tuyệt đối của tất cả mọi số đều sẽ không âm.
• Hai số đối nhau hay hai số có giá trị bằng nhau trên cùng một trục số sẽ có giá trị tuyệt đối bằng nhau và ngược lại.
• Trong 2 số âm, số nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì số đó sẽ lớn hơn. Trong 2 số dương, số nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì số đó sẽ nhỏ hơn.
• Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương của chính số đó.
• Mọi số đều sẽ có giá trị bằng hoặc lớn hơn số đối của giá trị tuyệt đối của chính bản thân, đồng thời sẽ bằng hoặc nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của số đó.
• Giá trị tuyệt đối của một tích sẽ bằng tích của hai giá trị tuyệt đối. Tương tự, giá trị tuyệt đối của thương sẽ bằng thương của hai giá trị tuyệt đối.
• Tổng của 2 giá trị tuyệt đối sẽ luôn bằng hoặc lớn hơn với giá trị tuyệt đối của tổng 2 số đó.

Dấu giá trị tuyệt đối thường được dùng nhiều trong lĩnh vực Toán học như viết các số phức, hàm số, vectơ,… Do đó, giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là kiến thức cơ bản mà bất cứ em học sinh nào cũng cần phải biết.

Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là gì?

Khái niệm

Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối được hiểu là bất phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. Bất phương trình này có 2 dạng cơ bản là:

• |f(x)| > |g(x)| (hoặc |f(x)| < |g(x)|)
• |f(x)| > g(x) (hoặc |f(x)| < g(x))

Hướng dẫn các bước giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

• Bước 1: Sau khi tìm hiểu kỹ đề bài toán, các em cần phải áp dụng những định nghĩa về dấu giá trị tuyệt đối để loại bỏ đi dấu giá trị tuyệt đối trong bài toán.
• Bước 2: Các em tiến hành giải bất phương trình sau khi đã được loại bỏ đi dấu giá trị tuyệt đối.
• Bước 3: Sau khi giải ra được nhiều trường hợp, các em kết hợp với điều kiện để lựa chọn nghiệm thích hợp nhất dành cho bài toán.
• Bước 4: Các em kết luận đáp án chính xác của bài toán.

Các dạng bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản

Một số dạng bài toán cơ bản của bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có thể kể đến bao gồm:

\begin{aligned}
&\bull  \footnotesize \text{Dạng 1}: |A|=|B|\Leftrightarrow A^2=B^2\\
&\bull \footnotesize\text{Dạng 2}: |A|=B\Leftrightarrow \begin{cases}B \geq 0\\A^2=B^2 \end{cases}, \ |A|=B \Leftrightarrow\begin{cases}B \geq 0\\A^2=\pm B\end{cases}, \ 
|A|=B\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{cc}
\begin{cases}
A \geq 0\\ A=B
\end{cases}
\\\begin{cases}
A \leq 0\\- A=B
\end{cases}
\end{array}
\right.\\
&\bull \footnotesize\text{Dạng 3}: |A|>|B|\Leftrightarrow A^2>B^2. \ |A|>|B|\Leftrightarrow (A+B)(A-B)>0\\
&\bull \footnotesize\text{Dạng 4}: |A|< B \Leftrightarrow \begin{cases}B>0\\A^2< B^2 \end{cases} \ , |A|< B \Leftrightarrow \begin{cases}B>0\\-B< A < B \end{cases}  , \ 
|A|< B\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{cc}
\begin{cases}
A \geq 0\\ A< B
\end{cases}
\\\begin{cases}
A < 0\\- A< B
\end{cases}
\end{array}
\right.\\
\end{aligned}

3 cách giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Để giải được các bài toán bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, trước tiên các em cần xác định bất phương trình thuộc dạng cơ bản nào trong số 3 dạng sau:

• Dạng 1: |f(x)| > |g(x)|
• Dạng 2: |f(x)| > g(x)
• Dạng 3: |f(x)| < g(x)

Khi giải các dạng bất phương trình này, các em sử dụng 3 phương pháp chính đó là khử trị tuyệt đối bằng định nghĩa, bình phương 2 vế và phương pháp lập bảng.

Cách 1: Dùng định nghĩa để khử trị tuyệt đối

Các em có thể dựa vào định nghĩa sau để khử trị tuyệt đối:

• |f(x)| = f(x) khi f(x) > 0.
• |f(x)| = -f(x) khi f(x) < 0.

Ví dụ: 

Giải bất phương trình sau: |3 – 2x| < x + 1

Cách 2: Bình phương 2 vế

Các em có thể dựa vào một số cách bình phương 2 vế như sau:

Cách 3: Lập bảng xét dấu để khử trị tuyệt đối

Một trong những cách giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối thường được dùng đó là lập bảng để khử giá trị tuyệt đối. Theo đó, các em cần phải kết hợp bảng xét dấu nhị thức bậc nhất với tam thức bậc hai

Ví dụ: 

Giải bất phương trình |2x – 2| + |3 – x| > 3

Bài giải:

Tiến hành bỏ dấu giá trị tuyệt đối ở vế trái của phương trình, ta được:

Bài tập bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài tập 1: Giải các bất phương trình:
|2x – 5| ≤ x + 3

Giải:

\begin{aligned}
&Viết\space lại\space bất\space phương\space trình \\
&\begin{cases}x+3\ge0\\-(x+3)\le2x-5\le x+3
&\end{cases}\\
&\Leftrightarrow \begin{cases}x\ge-3\\\frac{2}{3}\le x\le 8\\
&\end{cases}\\
&\Leftrightarrow \frac{2}{3}\le x\le8\\
&Vậy\space nghiệm\space của\space bất\space phương\space trình\space là\space \frac{2}{3}\le x\le8
\end{aligned}

Bài tập 2: Giải các bất phương trình:

|2x – 4| ≥ x + 2

\begin{aligned}
&Viết\space lại\space bất\space phương\space trình\space dưới\space dạng\\
& [\begin{array}{c} 2x-4 \ge x+2\\2x-4 \le -x-2
\end{array}\\
&\Leftrightarrow[\begin{array}{c} x\ge 6 \\x\le\frac{2}{3}
\end{array}\\
&\Leftrightarrow Vậy\space bất\space phương\space trình\space có\space nghiệm\space thuộc (-\infin ; \frac{2}{3}) U \lbrack 6;+\infin) 
\end{aligned}

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Trên đây là những chia sẻ của Marathon Education về các cách giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản. Hy vọng sau khi đọc xong bài viết, các em có thể bổ sung thêm nhiều thông tin hữu ích và thú vị giúp thăng hạng thành tích học tập của bản thân. 

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học trực tuyến nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!