Đạo Hàm Trị Tuyệt Đối Của X Là Gì? Công Thức Tính Và Bài Tập

Vy - 18/02/2022

Đạo hàm trị tuyệt đối của x là gì? Đạo hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối có khó không? Đây là những câu hỏi của rất nhiều em học sinh khi bắt đầu học về đạo hàm. Tuy nhiên, nếu các em nắm vững lý thuyết cơ bản về đạo hàm cũng như công thức tính và bài tập đạo hàm trị tuyệt đối thì dạng toán này không còn là vấn đề “nan giải”. Các em hãy cùng Marathon Education tìm hiểu chi tiết về nội dung này qua bài viết dưới đây.

>>> Xem thêm:

Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết, Công Thức Và Các Dạng Bài Tập

Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết

Dạng Bài Tập Và Cách Giải Bất Phương Trình Toán Lớp 10

Đạo hàm là gì?

Đạo hàm là gì?
Đạo hàm là gì? (Nguồn: Internet)

Giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x, khi số gia của đối số tiến dần về 0, gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x.

Đạo hàm của hàm số y = f(x) ký hiệu là y’(x) hoặc f’(x):

f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
\\
\text{hoặc } y'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\Delta y}{\Delta x}

Trong đó:

  • Số gia của đối số là: ∆x = x – x
  • Số gia của hàm số là: ∆y = y – y

Hay các em có thể hiểu:

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Đạo hàm bằng }\frac{∆y}{∆x}\text{ là rất nhỏ, giá trị đạo hàm tại một điểm }x_0\text{ thể hiện:}
\\
&\footnotesize\bull\text{Chiều biến thiên của hàm số (đang giảm hay tăng, xem đạo hàm tại đây âm − hay dương +)}
\\
&\footnotesize\bull\text{Độ lớn của biến thiên này (ví dụ như đạo hàm bằng 1 → ∆y tăng bằng ∆x)}
\end{aligned}

Đạo hàm trị tuyệt đối của x là gì?

Ta sử dụng công thức đạo hàm theo định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số y = |x|.

\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-x}{\Delta x}

Khi thay giá trị |x| vào, đạo hàm trị tuyệt đối của x là:

y'=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{|x+\Delta x|-|x|}{\Delta x}\ (1)

Nhìn vào công thức đạo hàm ở trên, các em thấy rằng đạo hàm sẽ không xác định được tại vị trí ∆x = 0, bởi vì hàm số y = |x| là hàm số không liên tục và có dạng:

y=\left[\begin{array} {c}x \ \ \ nếu \ x \geq0\\
-x \ \ \ nếu\ x <0 \end{array}\right.

Đồ thị hàm số y = |x| khi vẽ sẽ giúp các em thấy rõ hơn.

Đồ thị đạo hàm trị tuyệt đối của x

Do đó, chúng ta không thể thay trực tiếp ∆x = 0 vào (1) để tính được, mà ta cần biến đổi thành dạng khác để mẫu khác 0 khi thay ∆x = 0 vào. Các em có thể làm như sau:

\begin{aligned}
&\footnotesize \bull\text{Đầu tiên, đưa phương trình về dạng căn của bình phương (bởi vì }|x|=\sqrt{x^2})\\
&(1) \Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\sqrt{(x+\Delta x)^2}-\sqrt{x^2}}{\Delta x}\\
&\footnotesize \bull\text{Sau đó, ta nhân tử và mẫu cho } \sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2}\text{ nhằm mục đích khử trường hợp mẫu bằng 0.}\\
&\Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(\sqrt{(x+\Delta x)^2}-\sqrt{x^2})(\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2})}{\Delta x(\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2})}\\
&\Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^2+x^2(x+\Delta x)^2-x^2(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x(\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2})}\\
&\Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{x^2+2x\Delta x+\Delta x^2-x^2}{{\Delta x(\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2})}}\\
&\Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2x\Delta x+\Delta x^2}{{\Delta x(\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2})}}\\
&\Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2x+\Delta x}{{\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2}}} (2)\\
&\text{Vì ∆x tiến tới 0 và sau khi biến đổi, các em có thể thay ∆x = 0 vào (2), ta được:}\\
&y =\frac{2x}{\sqrt{x^2}+\sqrt{x^2}}\\
&y =\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}\\
&y =\frac{x}{\sqrt{x^2}}\\
&y =\frac{x}{|x|}
\end{aligned}

Kết luận: Đạo hàm của hàm số y = |x| là:

y'=\frac{x}{|x|}

>>> Xem thêm: Cách Tính Đạo Hàm Hàm Số Mũ Và Bài Tập Áp Dụng

chương trình học thử

Công thức tính nhanh đạo hàm trị tuyệt đối

Để tính nhanh đạo hàm trị tuyệt đối, các em cần ghi nhớ một số công thức tính nhanh đạo hàm có thể kể đến như:

\begin{aligned}
&\bull \text{Hàm số phân thức bậc nhất: }f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} ⇒ f’(x) = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}
\\
&\bull \text{Hàm số phân thức bậc hai: }f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n} ⇒ f’(x) = \frac{amx^2 + 2anx + bn - cm}{(mx + n)^2}
\\
&\bull \text{Hàm số đa thức bậc ba: }f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d ⇒ f’(x) = 3ax^2 + 2bx + c
\\
&\bull \text{Hàm số trùng phương: }f(x) = ax^4 + bx^2 + c ⇒ f’(x) = 4ax^3 + 2bx
\\
&\bull \text{Hàm số chứa căn bậc hai: }f(x) = \sqrt{u(x)} ⇒ f’(x) = \frac{u’(x)}{2\sqrt{u(x)}}
\\
&\bull \text{Hàm số chứa trị tuyệt đối: }f(x) = |u(x)| ⇒ f’(x) = \frac{u’(x).u(x)}{|u(x)|}
\end{aligned}

>>> Xem thêm: Công Thức Đạo Hàm Hàm Hợp Và Bài Tập Ứng Dụng

Bài tập đạo hàm trị tuyệt đối

Bài tập: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

\begin{aligned}
&1.\ y = f(x) = |x|
\\
&2.\ y = f(x) = |x^2 - 3x + 2|
\end{aligned}

Bài giải:

\begin{aligned}
&1. \text{ Ta có:}\\
&y=\left[\begin{array} {c}x \ \ \ khi \ x \geq0\\
-x \ \ \ khi\ x <0 \end{array}\right.\\
&\text{Do đó:}\\
&y'=\left[\begin{array} {c}1 \ \ \ khi \ x >0\\
-1 \ \ \ khi\ x <0 \end{array}\right.\\
&\text{Xét giá trị x = 0}\\
&f'(0^+)=\lim\limits_{x \to 0^+}1=1\\
&f'(0^-)=\lim\limits_{x \to 0^-}-1=-1\\
&f'(0^+)\not=f'(0^-) \Rightarrow \text{Hàm số không có đạo hàm tại x = 0}.\\
&\text{Kết luận: }y'=\left[\begin{array} {c}1 \ \ \ khi \ x >0\\
-1 \ \ \ khi\ x <0 \end{array}\right. \text{và đạo hàm không tồn tại tại điểm x = 0}
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\text{2. Tập xác định: }D=\R\\
&\text{Ta xét dấu }f(x)=x^2-3x+2\text{ để có kết quả sau:}\\
&y=f(x)=\left[\begin{array} {c}x^2-3x+2\ \ \ \ khi\ x\leq1\ hay\ x\geq2\\ -x^2+3x-2\ \ \ \ khi\ 1< x < 2\end{array}\right.\\
&\text{Ta tính y':}\\
&y'=\left[\begin{array} {c}2x-3\ \ \ \ khi\ x\leq1\ hay\ x\geq2\\ -2x+3\ \ \ \ khi\ 1< x < 2\end{array}\right.\\
&\text{Ta xét y' tại các điểm tiếp giáp của các khoảng:}\\
&\underline{Tại\ x=1:}\\
&f'(1^+)=\lim\limits_{x \to 1^+}{(-2x+3)}=1\\
&f'(1^-)=\lim\limits_{x \to 1^-}{(2x-3)}=-1\\
&f'(1^+)\not=f'(1^-) \Rightarrow \text{Hàm số không có đạo hàm tại x = 1}.\\
&\underline{Tại\ x=2:}\\
&f'(2^+)=\lim\limits_{x \to 2^+}{(2x-3)}=1\\
&f'(2^-)=\lim\limits_{x \to 2^-}{(-2x+3)}=-1\\
&f'(2^+)\not=f'(2^-) \Rightarrow \text{Hàm số không có đạo hàm tại x = 2}.\\
&\text{Kết luận: }y'=\left[\begin{array} {c}2x-3\ \ \ \ khi\ x\leq1\ hay\ x\geq2\\ -2x+3\ \ \ \ khi\ 1< x < 2\end{array}\right. \text{và đạo hàm không tồn tại tại điểm x = 1}\\& \text{và x = 2}
\end{aligned}

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

 

 

 

Trên đây là những nội dung công thức tính và bài tập đạo hàm trị tuyệt đối mà các em cần nắm vững. Hy vọng những chia sẻ này của Team Marathon Education sẽ giúp các em biết cách tính đạo hàm chứa giá trị tuyệt đối từ đó giải nhanh các dạng bài tập liên quan. 

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học trực tuyến nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM