Cách Tính Đạo Hàm Hàm Hợp Và Bài Tập Ứng Dụng

Vy - 17/02/2022

Đạo hàm hàm hợp luôn là một trong những phần kiến thức về đạo hàm khiến nhiều học sinh cảm thấy “lạc lối” trong quá trình học tập. Trên thực tế, dạng bài tập liên quan đến phần lý thuyết này lại xuất hiện khá nhiều trong những đề kiểm tra Toán 12 và thi đại học. Vì thế, để giúp các em hiểu được cách tính đạo hàm hàm hợp và các dạng bài tập thường gặp, Marathon Education sẽ chia sẻ một số thông tin hữu qua bài viết bên dưới đây.

>>> Xem thêm: Đạo Hàm Là Gì? Các Công Thức Tính Đạo Hàm Thường Gặp

Quy tắc tính đạo hàm

Đầu tiên, các em cần phải nắm thật vững những quy tắc tính đạo hàm. Cụ thể, công thức và phép toán sẽ được viết chi tiết như sau:

Công thức

\begin{aligned}
&\bull\text{ Nếu c là một hằng số thì } (c)'=0.\\
&\bull\text{ Với }n\in\N^*\text{ và }x\in \R \text{ thì } (x)'=nx^{n-1}.\\
&\bull\ (\sqrt x)'=\frac{1}{2\sqrt x} \ (x>0).
\end{aligned}

Phép toán

\begin{aligned}
&\bull (u+v)'=u'+v'\\
&\bull (u-v)'=u'-v'\\
&\bull (uv)'=u'v+uv'\\
&\bull (ku)'=ku' \text{ với k là hằng số}\\
&\bull \left(\frac{1}{u}\right)'=\frac{-u'}{u^2}\text{ (điều kiện }u=u(x) \not =0)\\
&\bull \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \text{ (điều kiện }v=v(x) \not =0)\\
\end{aligned}

Công thức tính đạo hàm cơ bản

Dưới đây là một số công thức tính đạo hàm cơ bản mà các em cần biết để áp dụng cho các dạng bài tập đạo hàm nâng cao:

\begin{aligned}
&\bull (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}, \ \alpha \in \R\\
&\bull (\sqrt x)'=\frac{1}{2\sqrt x}\\
&\bull \left(\frac{1}{x}\right)'=\frac{-1}{x^2}\\
&\bull (\sqrt[n] x)'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}, \ n\in \N \ và\ n>1\\
&\bull (sinx)'=cosx\\
&\bull (cosx)'=-sinx\\
&\bull (tanx)'=1+tan^2x=\frac{1}{cos^2x}\\
&\bull (cotx)'=-(1+cot^2x)=-\frac{1}{sin^2x}\\
\end{aligned}

>>> Xem thêm: Đạo Hàm Trị Tuyệt Đối Là Gì? Công Thức Tính Nhanh Và Bài Tập Áp Dụng

Cách tính đạo hàm hàm hợp

Đối với các hàm hợp, công thức tính đạo hàm sẽ có sự khác biệt. Cụ thể, từ dạng tổng quát y'(x)=y'(u).u'(x) ta sẽ suy ra được một số hệ quả như sau:

\begin{aligned}
&\bull (u^\alpha)'=\alpha.u^{\alpha-1}.u', \ \alpha \in \R\\
&\bull (\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}\\
&\bull \left(\frac{1}{u}\right)'=\frac{-u'}{u^2}\\
\end{aligned}

Bài tập tính đạo hàm hàm hợp

Dạng 1: Tính đạo hàm hàm hợp cơ bản

\begin{aligned}
\bull \ &y=(x^7+x)^2 \\
&y’ = [(x^7+x)^2]'=2.(x^7+x).(x^7+x)'=2.(x^7+x).(7x^6+1)
\end{aligned}
\begin{aligned}
\bull \ y&=2x.(2x^3+3x-2)^2\\
y'&=[2x.(2x^3+3x-2)^2]'\\
&=(2x)'.(2x^3+3x-2)^2+(2x).[(2x^3+3x-2)^2]'\\
&= 2(2x^3+3x-2)^2+(2x).2.(2x^3+3x-2)(2x^3+3x-2)'\\
&= 2(2x^3+3x-2)^2+4x.(2x^3+3x-2)(6x^2+3)
\end{aligned}

Dạng 2: Tính đạo hàm hàm hợp phân thức

\begin{aligned}
\bull \ y&=\frac{1}{\sqrt{5x}}\\
y'&=\left(\frac{1}{\sqrt{5x}}\right)'=\frac{-1}{5x}.\left(\sqrt{5x}\right)'=\frac{-1}{5x}.\frac{(5x)'}{2\sqrt{5x}}=\frac{-5}{10x\sqrt{5x}}=\frac{-1}{2x\sqrt{5x}}\\
\bull \ y&=\frac{(x^2-3)^2}{2x^2+4x}\\
y'&=\left[\frac{(x^2-3)^2}{2x^2+4x}\right]'\\
&=\frac{[(x^2-3)^2]'(2x^2+4x)-(x^2-3)^2(2x^2+4x)'}{(2x^2+4x)^2}\\
&=\frac{2(x^2-3)(x^2-3)'(2x^2+4x)-(x^2-3)^2(4x+4)}{(2x^2+4x)^2}\\
&=\frac{4x(x^2-3)(2x^2+4x)-(x^2-3)^2(4x+4)}{(2x^2+4x)^2}
\end{aligned}

Dạng 3: Tính đạo hàm hàm hợp chứa căn

\begin{aligned}
\bull \ &y=\sqrt{x^4+2x^2}\\
&y'=\left(\sqrt{x^4+2x^2}\right)'=\frac{(x^4+2x^2)'}{2\sqrt{x^4+2x^2}}=\frac{4x^3+4x}{2\sqrt{x^4+2x^2}}=\frac{2x^3+2x}{\sqrt{x^4+2x^2}}\\
\bull \ &y=\sqrt{(2x^2+5)^3}\\
&y'=\left[\sqrt{(2x^2+5)^3}\right]'=\frac{[(2x^2+5)^3]'}{2\sqrt{(2x^2+5)^3}}=\frac{3(2x^2+5)^2(2x^2+5)'}{2\sqrt{(2x^2+5)^3}}=\frac{12x(2x^2+5)^2}{2\sqrt{(2x^2+5)^3}}\\
&\ \  \ \ =\frac{6x(2x^2+5)^2}{\sqrt{(2x^2+5)^3}}

\end{aligned}

>>> Xem thêm: Công Thức Tính Đạo Hàm Căn Bậc 3 Và Một Số Ví Dụ Minh Họa

Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education

Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Các khóa học online tại Marathon Education

Công thức đạo hàm hàm hợp là phần lý thuyết khá quan trọng trong chương trình Toán đại số. Hy vọng sau khi đọc xong bài viết này, các em sẽ “bỏ túi” được nhiều cách giải để áp dụng tốt vào những bài tập sau này. Chúc các em luôn có những khoảng thời gian học tập thật thoải mái và đạt được nhiều kết quả ấn tượng!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM