Toán 10 hàm số bậc hai là một trong những kiến thức Toán quan trọng ở bậc học trung học phổ thông. Do đó, các em cần nắm vững những nội dung trọng tâm liên quan đến chủ đề này như định nghĩa, cách xét dấu, đồ thị của hàm số bậc hai,… cùng các dạng bài tập thường gặp. Team Marathon Education đã tổng hợp và chia sẻ đến các em những kiến thức này qua bài viết dưới đây. Hy vọng rằng bài viết sẽ có ích cho các em trong quá trình học tập.
Ta có:
\begin{aligned} &ax^2+bx+c=a\left(x^2+2\frac{b}{2x}+\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{b^2}{4a^2}+c\\ &=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\\ \end{aligned}
Nếu ta đặt:
\Delta=b^2-4ac,\ p=-\frac{b}{2a},\ q=-\frac{\Delta}{4a}
Hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) sẽ trở thành y = a(x – p)2 + q.
Vì vậy:
\begin{aligned} &\footnotesize\text{Đồ thị hàm số bậc hai } y = ax^2 + bx + c \ (a ≠ 0)\text{ là một Parabol có đỉnh }I\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a}\right)\text{nhận đường thẳng}\\ &\footnotesize x=-\frac{b}{2a} \text{ là trục đối xứng và bề lõm hướng lên trên khi a > 0, bề lõm hướng xuống dưới khi a < 0.} \end{aligned}
\begin{aligned} &\footnotesize\bull\text{Khi a dương, hàm số đồng biến trên khoảng }\left(-\frac{b}{2a};+∞\right), \text{ nghịch biến trên khoảng }\left(-∞;-\frac{b}{2a};\right)\text{ và có}\\ &\footnotesize\text{giá trị nhỏ nhất là }-\frac{\Delta}{4a} \text{ khi }x=-\frac{b}{2a}.\\ &\footnotesize\bull\text{Khi a âm, hàm số nghịch biến trên khoảng }\left(-\frac{b}{2a};+∞\right), \text{ đồng biến trên khoảng }\left(-∞;-\frac{b}{2a};\right)\text{ và có}\\ &\footnotesize\text{giá trị lớn nhất là }-\frac{\Delta}{4a} \text{ khi }x=-\frac{b}{2a}.\\ \end{aligned}
>>> Xem thêm: Lý Thuyết Toán 10 Dấu Của Tam Thức Bậc Hai Và Cách Xét Dấu
Cách làm
Ví dụ: Xác định Parabol (P) y = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Biết rằng (P) đi qua điểm A(2;3) và có đỉnh I(1;2)
Bài giải:
\begin{aligned} &A ∈ (P) \text{ nên } 3 = 4a + 2b + c\ (1)\\ &(P) \text{ có đỉnh }I(1;2) \text{ nên }-\frac{b}{2a}=1\Leftrightarrow2a+b=0\ (2)\\ &I ∈ (P) \Leftrightarrow 2=a+b+c\ (3)\\ &\text{Từ (1), (2), (3), ta có: } \begin{cases}4a+2b+c=3\\2a+b=0\\a+b+c=2\\ \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=1\\b=-2\\c=3 \end{cases}\\ &\text{Vậy (P) cần tìm là: }y=x^2-2x+3 \end{aligned}
Cách làm
Các bước để vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c (a ≠ 0):
\begin{aligned} &\footnotesize\bull \ \text{Bước 1: Tìm tọa độ đỉnh }I\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a}\right).\\ &\footnotesize\bull \ \text{Bước 2: Tìm trục đối xứng của đồ thị theo công thức }x=-\frac{b}{2a}.\\ &\footnotesize\bull \ \text{Bước 3: Tùy thuộc vào từng hàm số, các em tìm hoành độ và tung độ của các điểm mà đồ thị hàm số bậc }\\ &\footnotesize\text{hai giao nhau với trục hoành và trục tung (nếu có). Ngoài điểm giao nhau, tìm thêm một số điểm đặc biệt của}\\ &\footnotesize\text{đồ thị như điểm đối xứng của các điểm cắt,... giúp đồ thị vẽ một cách chính xác nhất.}\\ &\footnotesize\bull \ \text{Bước 4: Tiến hành vẽ đồ thị theo các điểm đã xác định được.} \end{aligned}
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = x2 + 3x + 2
Bài giải:
Ta có:
-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}\ ,\ -\frac{\Delta}{4a}=-\frac{1}{4}
Bảng biến thiên:
\begin{aligned} &\footnotesize\text{Suy ra đồ thị hàm số }y = x^2+3x+2 \text{ có đỉnh là }I\left(-\frac{3}{2};-\frac{1}{4}\right) \text{ và đi qua các điểm A(-2;0), B(-1;0), C(0;2),}\\ &\footnotesize\text{D(-3;2)}.\\ &\footnotesize\text{Đồ thị của hàm số nhận đường thẳng }x=-\frac{3}{2} \text{ làm trục đối xứng và có bề lõm hướng lên trên.} \end{aligned}
Cách làm
\begin{aligned} &\footnotesize\text{Dựa theo đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số } y = ax^2 + bx + c\ (a ≠ 0) \text{các em xác định các điểm max và }\\ &\footnotesize\text{min của hàm số trong khoảng giá trị ⦍a;b⦎ tại }x = a, x = b\text{ hoặc }x=-\frac{b}{2a}. \end{aligned}
Dạng toán này thuộc dạng nâng cao và thường khá ít gặp trong chương trình Toán 10 hàm số bậc hai. Do đó, Marathon chỉ giới thiệu sơ qua về phương pháp giải để các em nắm bắt.
Cách làm
Muốn giải được bài toán tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị f(x) và g(x). Các em giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) (1)
Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị bậc hai và đường thẳng sau:
(P): y = x2 – 2x – 1 và d: y = x – 1
Bài giải:
Xét phương trình tọa độ giao điểm của (P) và (d):
\begin{aligned} &\bull x^2 - 4x - 2 = -2x - 2\\ &⇔ 2x^2 - 2x = 0\\ &⇔x= 1 \text{ hoặc } x = 0\\ &\bull x = 0 ⇒ y(0) = 0 - 1 = -1\\ &\bull x = 1 ⇒ y(1) = 1 - 1 = 0\\ &\text{Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là }(0;-1) \text{ và }(1;0). \end{aligned}
Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education
Với những thông tin mà Marathon Education đã chia sẻ ở trên, hy vọng các em đã có thể tự mình làm tốt các bài tập về Toán 10 hàm số bậc hai cũng như vẽ đồ thị nhanh chóng. Ngoài việc ghi nhớ các kiến thức trọng tâm, các em hãy thường xuyên làm bài tập.
Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học trực tuyến online nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!