Lý Thuyết Toán 10 Hàm Số Bậc Hai Và Các Dạng Bài Tập Thường Gặp

Vy - 18/02/2022

Toán 10 hàm số bậc hai là một trong những kiến thức Toán quan trọng ở bậc học trung học phổ thông. Do đó, các em cần nắm vững những nội dung trọng tâm liên quan đến chủ đề này như định nghĩa, cách xét dấu, đồ thị của hàm số bậc hai,… cùng các dạng bài tập thường gặp. Team Marathon Education đã tổng hợp và chia sẻ đến các em những kiến thức này qua bài viết dưới đây. Hy vọng rằng bài viết sẽ có ích cho các em trong quá trình học tập.

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Toán 10 Hàm Số: Hàm Số Bậc Nhất Và Hàm Số Bậc Hai

Hàm số bậc hai là gì?

Toán 10 hàm số bậc hai là gì?
Hàm số bậc hai là gì? (Nguồn: Internet)

Định nghĩa hàm số bậc hai

  • Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax2 + bx + c. Trong đó: a, b, c là những hằng số cho trước và a ≠ 0.
  • Tập xác định là D = R.
  • Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) cũng là một dạng hàm số bậc hai có đồ thị là một đường cong Parabol.

Đồ thị của hàm số bậc hai

Ôn tập lại đồ thị y = ax2 (a ≠ 0)

  • Đồ thị hàm số bậc hai này luôn đi qua gốc tọa độ O (0;0).
  • Parabol luôn đối xứng qua trục tung.
  • Parabol có bề lõm hướng lên trên khi a>0 và hướng xuống dưới khi a<0.

Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

Đồ thị của hàm số bậc hai
Đồ thị của hàm số bậc hai (Nguồn: Internet)

Ta có: 

\begin{aligned}
&ax^2+bx+c=a\left(x^2+2\frac{b}{2x}+\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{b^2}{4a^2}+c\\
&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\\
\end{aligned}

Nếu ta đặt:

\Delta=b^2-4ac,\ p=-\frac{b}{2a},\ q=-\frac{\Delta}{4a}

Hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) sẽ trở thành y = a(x – p)2 + q.

Vì vậy:

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Đồ thị hàm số bậc hai } y = ax^2 + bx + c \ (a ≠ 0)\text{ là một Parabol có đỉnh }I\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a}\right)\text{nhận đường thẳng}\\
&\footnotesize x=-\frac{b}{2a} \text{ là trục đối xứng và bề lõm hướng lên trên khi a > 0, bề lõm hướng xuống dưới khi a < 0.}
\end{aligned}

Sự biến thiên của hàm số bậc hai

sự biến thiên của hàm số bậc hai toán 10 hàm số bậc hai
\begin{aligned}
&\footnotesize\bull\text{Khi a dương, hàm số đồng biến trên khoảng }\left(-\frac{b}{2a};+∞\right), \text{ nghịch biến trên khoảng }\left(-∞;-\frac{b}{2a};\right)\text{ và có}\\
&\footnotesize\text{giá trị nhỏ nhất là }-\frac{\Delta}{4a} \text{ khi }x=-\frac{b}{2a}.\\
&\footnotesize\bull\text{Khi a âm, hàm số nghịch biến trên khoảng }\left(-\frac{b}{2a};+∞\right), \text{ đồng biến trên khoảng }\left(-∞;-\frac{b}{2a};\right)\text{ và có}\\
&\footnotesize\text{giá trị lớn nhất là }-\frac{\Delta}{4a} \text{ khi }x=-\frac{b}{2a}.\\
\end{aligned}

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Toán 10 Dấu Của Tam Thức Bậc Hai Và Cách Xét Dấu

Các dạng bài tập về hàm số bậc hai thường gặp

Dạng 1: Xác định hàm số bậc hai dạng y = ax2 + bx +c

Cách làm

  • Gọi hàm số bậc hai cần tìm có dạng y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
  • Dựa vào giả thiết trong đề bài để thiết lập những mối tương quan và tiến hành giải hệ phương trình với các ẩn a, b, c. Sau đó, các em suy ra hàm số cần tìm.

Ví dụ: Xác định Parabol (P) y = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Biết rằng (P) đi qua điểm A(2;3) và có đỉnh I(1;2)

Bài giải:

\begin{aligned}
&A ∈ (P) \text{ nên } 3 = 4a + 2b + c\ (1)\\
&(P) \text{ có đỉnh }I(1;2) \text{ nên }-\frac{b}{2a}=1\Leftrightarrow2a+b=0\ (2)\\
&I ∈ (P) \Leftrightarrow 2=a+b+c\ (3)\\
&\text{Từ (1), (2), (3), ta có: } \begin{cases}4a+2b+c=3\\2a+b=0\\a+b+c=2\\
\end{cases}\Leftrightarrow
\begin{cases}a=1\\b=-2\\c=3
\end{cases}\\
&\text{Vậy (P) cần tìm là: }y=x^2-2x+3
\end{aligned}

Dạng 2: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Cách làm

Các bước để vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c (a ≠ 0):

\begin{aligned}
&\footnotesize\bull \ \text{Bước 1: Tìm tọa độ đỉnh }I\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a}\right).\\
&\footnotesize\bull \ \text{Bước 2: Tìm trục đối xứng của đồ thị theo công thức }x=-\frac{b}{2a}.\\
&\footnotesize\bull \ \text{Bước 3: Tùy thuộc vào từng hàm số, các em tìm hoành độ và tung độ của các điểm mà đồ thị hàm số bậc }\\
&\footnotesize\text{hai giao nhau với trục hoành và trục tung (nếu có). Ngoài điểm giao nhau, tìm thêm một số điểm đặc biệt của}\\
&\footnotesize\text{đồ thị như điểm đối xứng của các điểm cắt,... giúp đồ thị vẽ một cách chính xác nhất.}\\
&\footnotesize\bull \ \text{Bước 4: Tiến hành vẽ đồ thị theo các điểm đã xác định được.}
\end{aligned}

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = x2 + 3x + 2

Bài giải:

Ta có:

-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}\ ,\ -\frac{\Delta}{4a}=-\frac{1}{4}

Bảng biến thiên:

bảng biến thiên bài tập
\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Suy ra đồ thị hàm số }y = x^2+3x+2 \text{ có đỉnh là }I\left(-\frac{3}{2};-\frac{1}{4}\right) \text{ và đi qua các điểm A(-2;0), B(-1;0), C(0;2),}\\
&\footnotesize\text{D(-3;2)}.\\
&\footnotesize\text{Đồ thị của hàm số nhận đường thẳng }x=-\frac{3}{2} \text{ làm trục đối xứng và có bề lõm hướng lên trên.}
\end{aligned}
bài tập đồ thị toán 10 hàm số bậc hai

Dạng 3: Tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số

Cách làm

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Dựa theo đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số } y = ax^2 + bx + c\ (a ≠ 0) \text{các em xác định các điểm max và }\\
&\footnotesize\text{min của hàm số trong khoảng giá trị ⦍a;b⦎ tại }x = a, x = b\text{ hoặc }x=-\frac{b}{2a}.

\end{aligned}

Dạng toán này thuộc dạng nâng cao và thường khá ít gặp trong chương trình Toán 10 hàm số bậc hai. Do đó, Marathon chỉ giới thiệu sơ qua về phương pháp giải để các em nắm bắt.

Dạng 4: Tìm tọa độ giao điểm

Cách làm

Muốn giải được bài toán tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị f(x) và g(x). Các em giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) (1)

  • Để tìm tung độ giao điểm, các em thay nghiệm x vào y = f(x) hoặc y = g(x) để tính y
  • Trường hợp (1) có n nghiệm thì hai đồ thị có n điểm chung.

Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị bậc hai và đường thẳng sau:

(P): y = x2 – 2x – 1 và d: y = x – 1

Bài giải:

Xét phương trình tọa độ giao điểm của (P) và (d):

\begin{aligned}
&\bull x^2 - 4x - 2 = -2x - 2\\
&⇔ 2x^2 - 2x = 0\\
&⇔x= 1 \text{ hoặc } x = 0\\
&\bull x = 0 ⇒ y(0) = 0 - 1 = -1\\
&\bull x = 1 ⇒ y(1) = 1 - 1 = 0\\
&\text{Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là }(0;-1) \text{ và }(1;0).
\end{aligned}

Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education

Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Các khóa học online tại Marathon Education

Với những thông tin mà Marathon Education đã chia sẻ ở trên, hy vọng các em đã có thể tự mình làm tốt các bài tập về Toán 10 hàm số bậc hai cũng như vẽ đồ thị nhanh chóng. Ngoài việc ghi nhớ các kiến thức trọng tâm, các em hãy thường xuyên làm bài tập. Chúc các em luôn thành công trong các kỳ thi và học tập tốt!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM