Phép Thử Và Biến Cố – Lý Thuyết Toán 11 Và Bài Tập Vận Dụng

Phép thử và biến cố là một trong những nội dung quan trọng của lý thuyết Toán 11. Vậy hãy cùng team Marathon Education tìm hiểu lý thuyết và bài tập vận dụng liên quan đến nội dung phép thử và biến cố qua bài viết dưới đây.

Phép thử ngẫu nhiên là gì?

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà các em không đoán trước được kết quả của nó. Mặc dù vậy, ta vẫn có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả của phép thử đó.

Trong đó, nội dung “Xác suất” xuất hiện ở Toán THPT thường chỉ xét các phép thử ngẫu nhiên có hữu hạn kết quả có thể xảy ra. Các em có thể nói ngắn gọn phép thử ngẫu nhiên là phép thử, kí hiệu bằng chữ “T”.

Khái niệm không gian mẫu

Không gian mẫu được hiểu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử T và được kí hiệu là “Ω”.

Ví dụ 1: Thả một con súc sắc trong trò chơi “Cờ Tỷ phú” là một phép thử ngẫu nhiên.

Không gian mẫu Ω = {1;2;3;4;5;6}

>>> Xem thêm: Quy Tắc Đếm – Lý Thuyết Toán 11 Và Bài Tập Vận Dụng

Biến cố là gì?

Định nghĩa

Giả sử Ω là không gian mẫu của một phép thử ngẫu nhiên T.

• Nếu A là tập hợp con của Ω thì các em nói A là biến cố
• Trong kết quả của việc thực hiện phép thử T, nếu có một phần tử nào của biến cố xảy ra thì các em có thể nói “biến cố A xảy ra”.

Ví dụ 2:

Tương tự ví dụ 1, không gian mẫu của con súc sắc Ω = {1;2;3;4;5;6}

Các em gọi A là biến cố “Các mặt xuất hiện lẻ chấm”.

Khi đó A = {1;3;5}

Các loại biến cố

Có hai loại biến cố là biến cố chắc chắn và biến cố không thể.

Giả sử Ω là không gian mẫu của phép thử ngẫu nhiên T, các em có các định nghĩa như sau:

• Biến cố A được gọi là biến cố ngẫu nhiên, nếu A ≠ Ø (rỗng) và A là tập con của Ω.
• Tập không gian mẫu Ω được gọi là biến cố chắc chắn.
• Tập rỗng Ø được gọi là biến cố không thử (gọi tắt là biến cố không). 

>>> Xem thêm: Hoán Vị, Chỉnh Hợp, Tổ Hợp – Lý Thuyết Toán 11 Và Bài Tập Vận Dụng

Phép toán giữa các biến cố liên quan đến cùng một phép thử

Giả sử Ω là không gian mẫu của phép thử T và E, F là các biến cố cùng liên quan đến phép thử T, ta có các định nghĩa và các kết quả sau:

– Biến cố đồng nhất

Định nghĩa: Hai biến cố E và F là đồng nhất với nhau khi và chỉ khi “Tập E bằng tập F”. Kí hiệu: E = F

– Hợp và giao giữa các biến cố

Giả sử E, F là hai biến cố bất kì của cùng một phép thử T. Ta có định nghĩa sau:

• Tập E U F được gọi là hợp của các biến cố E và F. E U F xảy ra khi và chỉ khi E xảy ra hoặc F xảy ra.
• Tập E ⋂ F được gọi là giao của các biến cố E và F. E ⋂ F xảy ra khi và chỉ khi E và F đồng thời xảy ra. Biến cố E F còn được viết là E.F.

– Hai biến cố xung khắc

Hai biến cố E và F là xung khắc với nhau khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra hay E ⋂ F = Ø.

– Biến cố đối

Định nghĩa: Nếu E là biến cố liên quan đến phép thử T thì tập Ω \ E cũng là một biến cố liên quan đến phép thử T và được gọi là biến cố đối của biến cố E, kí hiệu là Ē.

Chú ý:

Từ định nghĩa trực tiếp suy ra:

1. Ē = “Không xảy ra biến cố E”. Từ đó ta có:

(Ē xảy ra) ⇔ (E không xảy ra).

2. Ē là phần bù của E trong Ω.
3. F là biến cố đối của biến cố E thì E là biến cố đối của biến cố F (E và F là hai biến cố đối nhau). Đồng thời ta có:

( E và F là hai biến cố đối nhau) ⇔ E U F = Ω và E ⋂ F = ∅

Ví dụ:

Gieo một con súc sắc

Gọi E là biến cố:”Các mặt của súc sắc xuất hiện chấm số chẵn” ⟹ E = {2;4;6}.

Gọi F là biến cố:”Các mặt của súc sắc xuất hiện chấm số lẻ” ⟹ F = {3;5;7}.

Ta thấy E U F = Ω và E ⋂ F = ∅ nên E và F là biến cố đối của nhau.

Bài tập vận dụng của phép thử và biến cố

Bài tập:

Trong một chiếc hộp đựng 6 thẻ nhựa đỏ, 8 thẻ nhựa xanh, 10 thẻ nhựa trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 thẻ nhựa. Tính số phần tử của:

1. Không gian mẫu.
2. Các biến cố:
   • A: “Trong 4 thẻ lấy ra có đúng 2 thẻ màu trắng”.
   • B: “Trong 4 thẻ lấy ra có ít nhất 1 thẻ màu đỏ”.
   • C: “Trong 4 thẻ lấy ra có đủ 3 màu đỏ, xanh, trắng”.

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned}
\small 1. &\small \text{ Ta có: }n(Ω) = C_{24}^4= 10626\\
\small 2. &\small \text{ Số cách chọn 4 thẻ nhựa có đúng hai thẻ màu trắng là: }C_{10}^2.C_{14}^2=4095 ⇒ n(A)= 4095\\
&\small \text{ Số cách lấy ra 4 thẻ nhựa mà không có thẻ màu đỏ được chọn là: }C_{18}^4 ⇒ n(B)= C_{24}^4- C_{18}^4=7566\\
&\small \text{ Số cách lấy 4 thẻ nhựa chỉ có một màu là: }C_6^4 + C_8^4 + C_{10}^4\\
&\small \text{ Số cách lấy 4 thẻ nhựa có đúng hai màu là: }C_{14}^4 + C_{18}^4 + C_{16}^4 - 2(C_6^4 + C_8^4 +C_{10}^4)=5291\\
&\small \text{ Số cách lấy 4 thẻ nhựa có đủ 3 màu là: } C_{24}^4 - 5291-(C_6^4 + C_8^4 +C_{10}^4 )=5040 ⇒ n(C)= 5040
\end{aligned}

>>> Xem thêm: Các Dạng Bài Tập Tổ Hợp Xác Suất Và Cách Giải Nhanh, Chính Xác Nhất

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Trên đây là những chia sẻ của Team Marathon Education về phép thử và biến cố. Để có thể nắm thêm nhiều kiến thức bổ ích khác, các em hãy truy cập ngay website của Marathon. Chúc các em học tập vui vẻ và đạt điểm số cao hơn trong kì thi sắp tới!