Các Dạng Bài Tập Tổ Hợp Xác Suất Và Cách Giải Nhanh, Chính Xác Nhất

Tổ hợp xác suất có thể được coi là phần kiến thức “khó nhằn” trong chương trình Toán Đại số cấp 3. Dạng toán này bao gồm nhiều quy tắc cần ghi nhớ và nhiều dạng bài tập liên quan khác nhau. Để giúp các em dễ hình dung và hiểu rõ về tổ hợp xác suất, đồng thời, biết thêm nhiều phương pháp giải bài tập nhanh và chính xác, Marathon Education đã biên soạn và chia sẻ đến các em bài viết bên dưới đây. 

Các quy tắc tổ hợp xác suất cần nhớ

Dưới đây là một số quy tắc tổ hợp xác suất mà các em cần phải thuộc nằm lòng để có thể vận dụng giải bài tập xác suất hiệu quả. 

Quy tắc cộng 

Định nghĩa: Một công việc cụ thể có thể được thực hiện theo 2 phương án khác nhau là A và B. Nếu phương án A có m cách thức thực hiện và phương án B có n cách thức thực hiện và không có sự trùng lặp với bất kỳ cách thức nào trong phương án A thì ta sẽ khẳng định được rằng công việc đó có m + n cách thực hiện.

Công thức: Trong trường hợp các tập A₁, A₂,…, A_n đôi một rời nhau. Khi đó:

|A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ A_n | = |A₁| + |A₂| + ⋯ + |A_n|

Quy tắc nhân 

Định nghĩa: Một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Trong trường hợp công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách như vậy có n cách thực hiện trong công đoạn B thì ta kết luận được rằng công việc đó sẽ có m.n cách thực hiện.

Công thức: Nếu các tập A₁, A₂,…, A_n đôi một rời nhau. Khi đó:

|A₁ ∩ A₂ ∩ … ∩ A_n | = |A₁|.|A₂|…|A_n|

Quy tắc cộng xác suất

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

• Mở rộng quy tắc cộng xác suất: Cho k biến cố A₁, A₂, A₃… A_k đôi một xung khắc. Khi đó:

P(A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪ … ∪ A_k) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) + … + P(A_k)

\footnotesize P(\overline{A}) = 1 - P(A)

Giả sử rằng A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử cụ thể, thì lúc đó: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Quy tắc nhân xác suất

• Ta có thể khẳng định rằng 2 biến cố A và B sẽ độc lập nhau khi và chỉ khi sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không gây ra những ảnh hưởng đến xác suất của B.
• Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B).

>>> Xem thêm: Quy Tắc Đếm – Lý Thuyết Toán 11 Và Bài Tập Vận Dụng

Các dạng bài tập tổ hợp xác suất và cách giải

Để giúp các em hình dung được cách áp dụng các quy tắc tính xác suất vào giải bài tập tổ hợp xác suất, Marathon Education chia sẻ đến các em một số dạng bài thường gặp về xác suất được trình bày cụ thể dưới đây. 

Dạng 1: Đếm số phương án

Để có thể thực hiện đếm số phương án của công việc H theo quy tắc nhân, ta cần phân tích công việc H được chia làm các giai đoạn H₁, H₂,…, H_n và đếm số cách thực hiện mỗi giai đoạn H_i (i = 1, 2,…, n).

Trên thực tế, ta thường gặp bài toán đếm số phương án thực hiện hành động H thỏa mãn tính chất T. Để giải bài toán này ta thường giải theo hai cách sau:

Cách 1: Đếm trực tiếp

• Ta tiến hành nhận xét đề bài để từ đó, phân chia được các trường hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm.
• Sau đó, ta đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó.
• Kết quả của bài toán sẽ được tính bằng tổng số phương án đếm trong cách trường hợp trên.

Cách 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)

Nếu như hành động H chia nhiều trường hợp thì ta thực hiện đếm phần bù của bài toán như sau:

• Đếm số phương án thực hiện hành động (không cần quan tâm liệu rằng phương án đó có thỏa tính chất T hay không), ta được a phương án.
• Đếm số phương án thực hiện hành động H không thỏa tính chất T, ta được b phương án.
• Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là a – b.

Ví dụ: Từ thành phố A đến thành phố B có 6 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 7 con đường. Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C, biết phải đi qua thành phố B.

Cách giải: Ta có, đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 6 con đường để đi. Với mỗi cách đi từ thành phố A đến thành phố B ta lại tiếp tục có 7 cách đi từ thành phố B đến thành phố C. Vậy, ta có 6.7 = 42 cách đi từ thành phố A đến C.

Dạng 2: Sắp xếp vị trí trong công việc và hình học

Để giải bài toán tổ hợp xác suất về sắp xếp vị trí trong công việc và hình học, các em cần vận dụng linh hoạt quy tắc cộng, quy tắc nhân cũng như các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, đếm gián tiếp, đếm phần bù.

Dưới đây là một số dấu hiệu giúp các em nhận biết dạng bài nào thì dùng được hoán vị, dạng bài nào áp dụng chỉnh hợp hay tổ hợp.

1) Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n phần tử là:

• Tất cả n phần tử đều phải có mặt.
• Mỗi phần tử xuất hiện một lần.
• Có thứ tự giữa các phần tử.

2) Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi:

• Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần.
• k phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự.

3) Khái niệm tổ hợp được áp dụng khi:

• Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần.
• Không quan tâm đến thứ tự k phần tử đã chọn.

Ví dụ 1: Đội tuyển HSG của một trường cụ thể có 18 em, trong đó, lần lượt có 7 HS khối 12, 6 HS khối 11 và 5 HS khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 HS đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 HS được chọn.

Cách giải: 

\begin{aligned}
&\footnotesize \bull \text{Số cách chọn 8 học sinh trong 18 em học sinh nêu trên là: }C^8_{18}\\
&\footnotesize \bull \text{Số cách chọn 8 học sinh có ở trong 2 khối là: }C_{13}^8+C_{11}^8+C_{12}^8=1947\\
&\footnotesize \bull \text{Số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: }C_{18}^8-1947=41811\\
\end{aligned}

Ví dụ 2: Hai nhóm người có nhu cầu cần mua nền nhà. Nhóm thứ nhất có 2 người và họ muốn mua 2 nền kề nhau, nhóm thứ hai có 3 người và họ muốn mua 3 nền kề nhau. Họ tìm được một lô đất chia thành 7 nền đang rao bán (các nền như nhau và chưa có người mua). Tính số cách chọn nền của mỗi người thỏa yêu cầu trên.

Cách giải:

Xem lô đất có 4 vị trí gồm 2 vị trí 1 nền, 1 vị trí 2 nền và 1 vị trí 3 nền.

• Bước 1: Nhóm thứ nhất chọn 1 vị trí cho 2 nền có 4 cách và mỗi cách sẽ có 2! = 2 cách chọn nền cho mỗi người. Suy ra có 4.2 = 8 cách chọn nền.
• Bước 2: Nhóm thứ hai chọn 1 trong 3 vị trí còn lại cho 3 nền có 3 cách và mỗi cách có 3! = 6 cách chọn nền cho mỗi người.

Suy ra có 3.6 = 18 cách chọn nền.

Vậy, tổng có 8.18 = 144 cách chọn nền cho mỗi người.

>>> Xem thêm: Hoán Vị, Chỉnh Hợp, Tổ Hợp – Lý Thuyết Toán 11 Và Bài Tập Vận Dụng

Dạng 3: Xác định phép thử, không gian mẫu và biến cố

Ở dạng toán tổ hợp xác suất này, các em sẽ thường sẽ áp dụng 2 cách giải như sau:

Cách 1: Tính xác suất bằng quy tắc cộng

Phương pháp: Ta sử dụng các quy tắc đếm và công thức biến cố đối, công thức biến cố hợp.

♦ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) với A và B là hai biến cố xung khắc.

♦ P(A) = 1 – P(A)

Cách 2: Tính xác suất bằng quy tắc nhân

Phương pháp: Ta áp dụng quy tắc nhân bằng cách:

♦ Chứng tỏ A và B độc lập

♦ Áp dụng công thức: P(A.B) = P(A).P(B).

Ví dụ: Một hộp đựng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh, 2 viên bi vàng, 1 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi tính xác suất biến cố A: “2 viên bi cùng màu”.

Cách giải: Gọi lần lượt các biến cố như sau D: “lấy được 2 viên đỏ”; X: “lấy được 2 viên xanh”; V: “lấy được 2 viên vàng”. Ta có D, X, V là các biến cố đôi một xung khắc và C = D ∪ X ∪ V.

P(C)=P(D)+P(X)+P(V)=\frac25+\frac{C_3^2}{45}+\frac{1}{15}+\frac29.

>>> Xem thêm: Phép Thử Và Biến Cố – Lý Thuyết Toán 11 Và Bài Tập Vận Dụng

Dạng 4: Tính xác suất dựa trên định nghĩa

• Khi tính xác suất theo thống kê, ta áp dụng công thức:

P(A)=\frac{\text{Số lần xuất hiện của biến cố A}}{N}

• Trong trường hợp cần tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển ta sử dụng công thức:

P(A)=\frac{n(A)}{N(Q)}

Ví dụ: Trong một chiếc hộp có 20 viên bi, gồm có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tìm xác suất để 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ.

Cách giải:

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Gọi biến cố A: "3 viên bi lấy ra đều màu đỏ"}\\
&\footnotesize \text{Số cách lấy 3 viên bi từ 20 viên bi là: }C_{20}^3\\
&\footnotesize \text{Từ đây, ta có: }|\Omega|=C_{20}^3=1140\\
&\footnotesize \text{Số cách lấy 3 viên bi màu đỏ là: }C_8^3=56 \text{ nên } |\Omega_A|=56\\
&\footnotesize \text{Do đó: }P(A)=\frac{|\Omega_a|}{|\Omega|}=\frac{56}{1140}=\frac{14}{285}
\end{aligned}

Dạng 5: Tính tổng bằng nhị thức Newton

Cuối cùng, dạng toán tổ hợp xác suất khác mà các em cần biết đó là tính tổng bằng nhị thức Newton. 

• Phương pháp 1: Dựa vào cách khai triển nhị thức Newton

(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b^1+C_n^2a^{n-2}b^2+...+C_n^nb^n

Ta tiến hành chọn những giá trị a, b thích hợp để thay vào công thức được nêu trên. 

Một số kết quả thường được sử dụng: 

\begin{aligned}
&\bull C_n^k=C_n^{n-k}\\
&\bull C_n^0+C_n^1+C_n^2+....+C_n^n=2^n\\
&\bull \sum^n_{k=0}C_{2n}^{2k}=\sum^n_{k=0}C_{2n}^{2k-1}=\frac12\sum^n_{k=0}C_{2n}^k\\
&\bull\sum^n_{k=0}C_n^ka^k=(1+a)^n
\end{aligned}

• Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng: 
  • Mấu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng.
  • Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.

Ví dụ: Tìm số nguyên dương n sao cho:

C_n^0+2C_n^1+4C_n^2+....+2^nC_n^n=243

Cách giải:

Khai triển:

(1+x)^n=C_n^0+xC_n^1+x^2C_n^2+....+x^nC_n^n

Giả sử x = 2, ta sẽ có:

C_0^+2C_n^1+4C_n^2+....+2^nC_n^n=3^n.

Từ đây, ta suy ra 3ⁿ = 243 = 3⁵ ⟹ n = 5

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Tổ hợp xác suất là phần kiến thức tuy “không dễ xơi” như lại quan trọng trong chương trình Đại số cấp 3. Hy vọng sau khi đọc xong bài viết này, các em sẽ nắm vững được lý thuyết về chuyên đề này và áp dụng vào giải bài tập hiệu quả. 

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online trực tuyến nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!