Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình – Lý Thuyết Và Bài Tập

Marathon Team - 24/02/2022

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình là kiến thức Toán học nền tảng mà các em cần nắm vững. Việc hiểu rõ lý thuyết cũng như làm bài tập mỗi ngày có thể giúp các em học tốt môn Toán và cải thiện điểm số của mình. Team Marathon Education đã tổng hợp chi tiết về nội dung này và các dạng bài tập cơ bản trong bài viết dưới đây.

>>> Xem thêm: Cách Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Và Bài Tập Minh Họa

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Các bước giải toán bằng cách lập hệ phương trình
Các bước giải toán bằng cách lập hệ phương trình (Nguồn: Internet)

Bước 1: Lập hệ phương trình

  • Chọn giá trị để để đặt ẩn và tìm điều kiện phù hợp với bài toán.
  • Biểu diễn những đại lượng cần phải tìm theo ẩn và đại lượng đã biết.
  • Lập hai phương trình cho thấy mối quan hệ giữa các đại lượng với nhau.

Bước 2: Giải hệ phương trình đã lập

Các em có thể thực hiện giải theo các cách sau: 

  • Phương pháp biến đổi đại số: Biến đổi hệ phương trình hoặc phương pháp cộng đại số, phép thế.
  • Phương pháp hàm số

Bước 3: Kiểm tra nghiệm của hệ phương trình có thỏa mãn điều kiện đề bài đã cho và kết luận.

>>> Xem thêm: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai – Lý Thuyết Toán 10

4 dạng bài toán giải bằng cách lập hệ phương trình và ví dụ minh họa

Dạng 1: Bài toán về chuyển động

Một số kiến thức cần nhớ:

  • Quãng đường = Vận tốc x Thời gian (Vận tốc tỉ lệ thuận với quãng đường đi được và tỉ lệ nghịch với thời gian).
  • Trường hợp 2 xe đi ngược chiều nhau khi gặp nhau lần đầu thì thời gian 2 xe đi được là như nhau. Tổng quãng đường 2 xe đi được bằng quãng đường cần đi của 2 xe.
  • Nếu hai phương tiện di chuyển cùng chiều từ 2 điểm khác nhau là A và B (xe A chuyển động nhanh hơn xe từ B) thì khi xe từ A đuổi kịp xe từ B, các em luôn có: Quãng đường xe từ đi được A – Quãng đường xe từ B đi được = Quãng đường AB.
  • Đối với chuyển động trên nước của tàu và ca nô, các em cần chú ý:
    • Khi đi xuôi dòng: Vận tốc phương tiện = Vận tốc riêng + Vận tốc dòng nước.
    • Khi đi ngược dòng: Vận tốc phương tiện = Vận tốc riêng – Vận tốc dòng nước.

Ví dụ: Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ 2 tỉnh P và Q cách nhau 400km đi ngược chiều và gặp nhau sau 5h. Nếu vận tốc của mỗi xe như nhau nhưng xe đi chậm xuất phát trước xe kia 40 phút thì 2 xe gặp nhau sau 5h22 phút kể từ lúc xe chậm khởi hành. Tính vận tốc mỗi xe?

Hướng dẫn giải:

Ta gọi vận tốc của xe nhanh hơn là x (km/h), vận tốc của xe chậm là y (km/h, với x và y >0).

Vì hai xe cùng khởi hành một lúc và đi ngược chiều sau 5h gặp nhau nên ta có phương trình:

\begin{aligned}
&\footnotesize 5(x + y) = 400\ (*)\\
&\footnotesize \text{Thời gian xe đi chậm: 5h22’} = \frac{161}{30} (giờ)\\
&\footnotesize \text{Vì xe đi chậm xuất phát trước }40’ = \frac{2}{3}\ (giờ)\\
&\footnotesize \text{Thời gian xe đi nhanh hết} \frac{161}{30} - \frac23 = \frac{141}{30}x\ (giờ)\\
&\footnotesize \text{Quãng đường xe đi chậm đi được là }\frac{161}{30}y\ (km)\\
&\footnotesize \text{Quãng đường xe đi nhanh đi được là }\frac{141}{30}x\ (km)\\
&\footnotesize \text{Cả hai xe đi được quãng đường là: }14130x + 16130y = 400\ (**)\\
&\footnotesize \text{Từ (*) và (**), ta có hệ phương trình:}\\
&\footnotesize \begin{cases} 5(x+y)=400\\\frac{141x}{30}+\frac{161y}{30}=400\end{cases}\\
\footnotesize \Leftrightarrow&\begin{cases} x+y=80\\141x+161y=12000\end{cases}\\
\footnotesize \Leftrightarrow&\begin{cases} x=80-y\\141(80-y)+161y=12000\end{cases}\\
\footnotesize \Leftrightarrow&\begin{cases} x=80-y\\11280+20y=12000\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=44\\y=36 \end{cases}\\
\end{aligned}

Vậy vận tốc của xe nhanh là 44 km/h, vận tốc của xe chậm là 36 km/h

Dạng 2: Bài toán về năng suất lao động

Ba đại lượng chính cần ghi nhớ khi giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình – dạng toán về năng suất lao động là: Khối lượng công việc = năng suất lao động x thời gian

Ví dụ: Trong tháng 3, hai tổ may được 800 cái áo, sang tháng thứ 4 tổ 1 vượt mức 15% và tổ 2 vượt mức 20%. Tới cuối tháng 4, cả hai tổ may được tổng cộng 945 cái áo. Hỏi trong tháng 3 các tổ may được bao nhiêu cái áo?

Hướng dẫn giải:

Ta gọi số áo tổ 1 may được trong tháng 3 là x (cái áo), số áo tổ 2 may được trong tháng 3 là x (x, y ⋲ N)

Theo đề bài đã cho, ta có hệ phương trình: 

\begin{cases} x+y=800\\ 1,15x+1,2y=945\end{cases}

Giải hệ phương trình, ta được x = 300 và y = 500.

Vậy trong tháng 3, tổ 1 may được 300 cái áo và tổ 2 may được 500 cái áo.

Dạng 3: Bài toán về số và chữ số

  • Số tự nhiên có hai chữ số: 
\overline{ab}=10.a+b\ (a\not=0)
  • Số tự nhiên có ba chữ số:
\overline{abc}=100.a+10.b+c\ (a\not=0)

Ví dụ: Tìm 2 số tự nhiên biết tổng của chúng là 1006, nếu lấy số lớn chia cho số bé thì thương là 2 và số dư là 124.

Hướng dẫn giải:

Ta gọi số lớn cần tìm là x, số bé là y (x,y ⋲ N).

Ta có hệ phương trình:

\begin{cases} x+y=1006\\x=2y+124\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=712\\y=294 \end{cases}

Vậy số lớn cần tìm là 712 và số bé là 294.

Dạng 4: Bài toán về hình học

Một số kiến thức cần nhớ

  • Khi đặt ẩn là độ dài các cạnh hay độ dài đoạn thẳng thì điều kiện là ẩn dương.
  • Diện tích hình chữ nhật là S = a x b (a là chiều rộng và b là chiều dài).
  • Diện tích tam giác là:
S=\frac12a.h_a\\ \text{ (a là độ dài một cạnh tam giác, ha là chiều cao ứng với cạnh đó).}
  • Định lý Pitago trong tam giác vuông có độ dài cạnh huyền (c), độ dài hai cạnh góc vuông là a và b: a2 + b2 = c2

Ví dụ: Tìm ba cạnh trong một tam giác MNP, biết tam giác vuông tại M, chu vi tam giác là 12m và tổng bình phương của ba cạnh là 50m.

Hướng dẫn giải:

Gọi cạnh MN là x (m), cạnh MP là y (m) và cạnh NP là z (m)

Ta có hệ phương trình:

\begin{cases} x+y+z=12\\x^2+y^2+z^2=50\end{cases}

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông MNP, ta có: x2 + y2 = z2

Giải ra ta được: x = 4, y = 3, z = 5

Vậy 3 cạnh của tam giác vuông MNP lần lượt là: MN = 4m, AC = 3m, BC = 5m.

Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education

Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Các khóa học online tại Marathon Education

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình là nội dung khá quan trọng với các em học sinh. Bên cạnh việc nắm bắt kiến thức trên lớp thì các em có thể tham gia thêm các lớp học online tại Marathon Education để giúp nâng cao điểm số. Hy vọng sau khi đọc xong bài viết, các em sẽ biết thêm nhiều kiến thức Toán học bổ ích. Chúc các em có những buổi học vui vẻ và đạt được nhiều thành công!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM