Giới Hạn Của Dãy Số: Lý Thuyết, Công Thức Và Giải Bài Tập SGK

Marathon Team - 22/06/2022

Giới hạn của dãy số là một điểm lý thuyết phổ biến thường có trong đề thi THPT Quốc Gia. Vì vậy việc nắm rõ khái niệm cũng như cách giải bài tập sẽ giúp ích hơn cho các em trong lúc thi. Hãy cùng Marathon Education tìm hiểu kỹ hơn trong bài viết sau đây! 

Lý thuyết giới hạn của dãy số

Dãy số có giới hạn 0

Định nghĩa 1:

Dãy số (un ) có giới hạn bằng 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu giá trị tuyệt đối của n có thể nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý, mọi số hạng của dãy số và kể từ số hạng bất kỳ nào đó trở đi. 

Định nghĩa 2:

Dãy số  (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu:

Tính chất: 

Dãy số có giới hạn vô cực

Dãy số có giới hạn +∞

Dãy số có giới hạn (un ) nếu với mọi số dương bất kỳ, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi đều sẽ lớn hơn số dương đó. 

Ký hiệu: lim un = + ∞

Dãy số có giới hạn – ∞

Dãy số có giới hạn (un ) nếu với mọi số âm bất kỳ cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạn nào đó trở đi đều sẽ nhỏ hơn số âm đó. 

Ký hiệu: lim un = – ∞.

Các quy tắc tìm giới hạn vô cực 

  • Quy tắc nhân
  • Quy tắc chia

Dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa:

  •  khi và chỉ khi có thể nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. 

Các định lý: 

  1. Nếu lim un = a và lim vn = b, thì:
  • lim (un + vn) = a + b.
  • lim (un – vn) = a – b.
  • lim (un.vn) = ab.
  1. Nếu un ≥ 0 với mọi n và lim un = a thì a > 0 và

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q thỏa mãn |q| < 1. Ta có công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn như sau: 

Giải bài tập giới hạn của dãy số SGK

Bài 2: (Trang 112 SGK Đại số 11) Biết dãy số (un) thỏa mãn với mọi n. Hãy chứng minh rằng: lim un = 1. 

Bài giải: 

Đặt vn = un – 1. 

Lấy số dương d > 0 bé tùy ý

⇒ Luôn tồn tại Giải bài 2 trang 121 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11 thỏa mãn Giải bài 2 trang 121 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 2 trang 121 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11 với mọi n ≥ n.

⇒ Vậy theo định nghĩa, ta có: 

Giải bài 2 trang 121 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 3: (Trang 121 SGK Đại số 11) Tìm các giới hạn: 

Bài giải: 

Bài 5: (Trang 122 SGK Đại số 11) Tính tổng  

Bài giải: 

Bài 6: (Trang 122): Cho a = 1,020202…(chu kì là 02) là số thập phân tuần hoàn. Các em hãy viết a dưới dạng một phân số:

Lời giải:

Bài 7 (Trang 122) Tính các giới hạn sau:

Giải bài 7 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài giải:

Giải bài 7 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11
Giải bài 7 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11
Giải bài 7 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11
Giải bài 7 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 8: (Trang 122): Cho hai dãy số (un) và (vn). Biết lim un = 3, lim vn = + ∞. Tính các giới hạn:

Giải bài 8 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài giải:

Giải bài 8 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11
Giải bài 8 trang 122 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Khóa học hè online chất lượng, uy tín tại Marathon Education

Trong 3 tháng hè sắp tới, để không quên những kiến thức đã học trên lớp, các em cần thiết lập thời gian biểu học tập hợp lý, đồng thời tìm kiếm những trung tâm học hè uy tín để ôn luyện, nâng cao kiến thức cùng những giáo viên giỏi.

Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.

Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký khóa hè trực tuyến lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K. 

Các khóa học online tại Marathon Education

Như vậy, các em đã được tìm hiểu về lý thuyết giới hạn của dãy số cũng như cách giải bài tập đơn giản, chi tiết. Hy vọng với những kiến thức được team Marathon truyền tải, các em có thể dễ dàng ôn luyện và giải bài hiệu quả hơn.

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM