Hoán Vị, Chỉnh Hợp, Tổ Hợp – Lý Thuyết Toán 11

Bước vào chương trình Toán học 11, các em sẽ được học về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp. Nếu không nắm vững lý thuyết thì khi gặp 3 khái niệm này các em sẽ rất dễ nhầm lẫn, dẫn đến giải không chính xác yêu cầu đề bài. Bài viết sau của Marathon Education sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp và hướng dẫn giải một số bài tập liên quan.

>>> Xem thêm: Quy Tắc Đếm – Lý Thuyết Toán 11 Và Bài Tập Vận Dụng

>>> Xem thêm: Học Online Toán 11 Bứt Phá Điểm Số Với Marathon Education

Quy ước:

\begin{aligned}
&\small \bull 0!=1\\
&\small \bull n!=(n-1)!n\\
&\small \bull \frac{n!}{p!}=(p+1)(p+2)...n\text{ (với }n>p)\\
&\small \bull \frac{n!}{(n-p)!}=(n-p+1)(n-p+2)...n\text{ (với }n>p)\\
\end{aligned}

Hoán vị là gì? 

Định nghĩa: Hoán vị được hiểu đơn giản là hoán đổi vị trí. Cụ thế, cho một tập hợp có n phần tử khác nhau với n ≥ 1 thì mỗi cách sắp xếp của n phần tử mà mỗi phần tử xuất hiện một lần duy nhất thì được gọi là một hoán vị của n phần tử.

Định lý: P_n là ký hiệu số các hoán vị của n phần tử đã cho. Ta có:

P_n = n! = n(n-1)(n-2)…2.1

Ví dụ: Các em hãy tính số cách để sắp xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc.

Phương pháp giải:

Dựa theo định nghĩa hoán vị thì mỗi cách sắp xếp 6 bạn học sinh thành một hàng học là 1 hoán vị của 6 phần tử. Vậy nên, số cách để sắp xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc là:

P₆= 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 (cách)

>>> Xem thêm: Phép Thử Và Biến Cố – Lý Thuyết Toán 11 Và Bài Tập Vận Dụng

Chỉnh hợp là gì?

Định nghĩa: Tập hợp A có n phần tử và n ≥ 1. Khi lấy k phần tử khác nhau trong n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó thì kết quả là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử.

Các em cần chú ý mỗi hoán vị của n phần tử đã cho là một chỉnh hợp chập n của n phần tử.

Định lý:

\small  \ A_n^k \text{ là ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho. Ta có: }\\
\small A_n^k=n(n-1)...(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}\ (1\le k\le n)

Ví dụ: Cho các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ các chữ số này, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.

Phương pháp giải:

Mỗi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy 4 chữ số từ tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} và sắp xếp theo thứ tự nhất định. Mỗi số lập được chính là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử đã cho.

Vậy, từ tập hợp các số đã cho, có thể lập được số số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là:

A_7^4=840 \text{ số }

Tổ hợp là gì?

Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử khác nhau, n ≥ 1. Mỗi tập hợp con bao gồm k phần tử khác nhau của n phần tử đã cho (0 ≤ k ≤ n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

Quy ước tổ hợp chập 0 của n phần tử là một tập hợp rỗng.

Định lý:

\small \text{Số các tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được ký hiệu là }C_n^k\\
\small C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{A_n^k}{k!}\ (0 \le k \le n)

Với mọi n ≥ 1 và 0 ≤ k ≤ n, ta có:

\begin{aligned}
&\small \bull C_n^k=C_n^{n-k}\\
&\small \bull C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}
\end{aligned}

Ví dụ: Một bàn học có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ. Vậy có bao nhiêu cách để chọn ra 2 bạn làm trực nhật?

Phương pháp giải:

Cứ mỗi cách chọn ra 2 bạn làm trực nhật là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử khác nhau. Vậy, có tất cả số cách chọn là:

C_5^2=10

>>> Xem thêm: Các Dạng Bài Tập Tổ Hợp Xác Suất Và Cách Giải Nhanh, Chính Xác Nhất

Mối quan hệ giữa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Các em có thể thấy một chỉnh hợp chập k của n phần tử có thể được tạo thành bằng cách sau:

Bước 1: Lấy một tổ hợp chập k của n phần tử.

Bước 2: Thực hiện hoán vị k phần tử đó.

Mối quan hệ giữa hoán vị chỉnh hợp tổ hợp được cụ thể hóa qua công thức sau:

A_n^k=C_n^kP_k

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Qua bài viết này, các anh chị team Marathon Education đã cung cấp cho các em những kiến thức quan trọng liên quan đến hoán vị chỉnh hợp tổ hợp. Bằng những bài tập vận dụng có lời giải chi tiết, hy vọng các em có thể dễ dàng vận dụng để giải các bài tập tương tự. 

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!