Bất đẳng thức có thể được coi là một kiến thức nền rất quan trọng, có liên quan hầu hết đến các dạng bài tập ở cả chương trình Toán trung học cơ sở và trung học phổ thông. Trong bài viết dưới đây, Marathon Education đã tổng hợp và chia sẻ đến các em đầy đủ và chi tiết kiến thức về khái niệm, tính chất và các dạng bất đẳng thức thường gặp trong chương trình Toán 8, Toán 9 và Toán 10.
Nếu a là số thực dương, ta kí hiệu a > 0.
Nếu a là số thực âm, ta kí hiệu a < 0.
Nếu a là số thực dương hoặc a = 0, ta nói a là số thực không âm, kí hiệu a ≥ 0.
Nếu a là số thực âm hoặc a = 0, ta nói a là số thực không dương, kí hiệu a ≤ 0.
Bất đẳng thức là một mệnh đề xác định có các dạng sau A > B, A < B, A ≥ B, A ≤ B. Trong đó, A và B là những biểu thức có chứa số và phép toán.
Biểu thức A sẽ được gọi là vế trái của bất đẳng thức, biểu thức B được gọi là vế phải của bất đẳng thức.
Từ định nghĩa, ta sẽ có một số hệ quả như sau:
Dưới đây là một số các tính chất thường gặp của bất đẳng thức:
Đầu tiên, bất đẳng thức có tính chất bắc cầu. Cụ thể, nếu ta có cùng lúc 2 biểu thức A < B và B < C thì các em có thể suy ra được A < C.
Tính chất cộng 2 vế của bất đẳng thức với 1 số khá đơn giản. Các em chỉ cần nhớ như sau:
A < B ⇔ A + C < B + C.
Nếu dữ kiện cho 2 bất đẳng thức cùng chiều A < C và B < D, các em sẽ kết luận được A + C < B + D.
Nếu đề bài cho A < B và C > 0 thì ta sẽ được AC < BC. Trong trường hợp A < B và C < 0, thì ta thu được AC > BC.
Nếu dữ kiện cung cấp 0 < A < B và 0 < C < D thì tính chất nhân 2 bất đẳng thức cùng chiều ta sẽ thu được kết quả AC < BD.
Khi A, B > 0, với n ∈ N∗ thì ta sẽ có:
A < B ⇔ A^n< B^n
Khi A, B > 0, với n ∈ N∗ thì ta sẽ có:
A < B ⇔ \sqrt[n]{A} < \sqrt[n]{B}
Bất đẳng thức Côsi còn được gọi với cái tên khác là bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân hay bất đẳng thức AM – GM. Cụ thể:
\begin{aligned}
&\footnotesize\bullet\text{Ta đặt } \frac{a+b}{2} \ \text{là trung bình cộng của 2 số a, b. Theo đó, các em sẽ có tổng quát}\\
&\footnotesize\text{trung bình cộng của n số } a_1, a_2,...a_n \ \text{sẽ là } \frac{a_1 + a_2 +...+ a_n}{n}.\\
&\footnotesize\bullet\text{Trung bình nhân của 2 số không âm a ≥ 0, b ≥ 0 sẽ là } \sqrt{ab}. \text{ Vậy, trung bình nhân}\\
&\footnotesize\text{của n số không âm } a_1 ≥0, a_2≥0,..., a_n≥0 \text{ sẽ là } \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}.
\end{aligned}
Bất đẳng thức Côsi cho 2 số a và b không âm
\sqrt{ab}≤ \frac{a+b}{2}\ \ \ (∀ a, b ≥ 0)
Dấu “=” chỉ xảy ra khi a = b.
Theo đó, ta cũng có bất đẳng thức Côsi cho 3 số a, b và c không âm:
\sqrt[3]{abc}≤ \frac{a+b+c}{3}\ \ \ (∀ a, b, c ≥ 0)
\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}≤ \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\ \ \ (∀ a_1,a_2,...a_n ≥ 0)
Từ công thức của bất đẳng thức Côsi, ta sẽ thu được một số hệ quả như sau:
Dưới đây là một số bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối các em có thể áp dụng để giải nhiều dạng toán bất đẳng thức nâng cao:
|a| - |b| ≤ |a+b| ≤ |a| + |b|, ∀ a, b ∈ R. \ Dấu \ “=” chỉ \ xảy \ ra \ khi \ ab ≥ 0
|x| ≤ a \Leftrightarrow -a ≤ x ≤ a \ (∀a > 0)
|x|\geq a\Leftrightarrow |x|\geq a \ hoặc\ |x| \leq -a \ (∀ a > 0)
Nếu a, b, c là 3 cạnh trong tam giác, ta sẽ có các bất đẳng thức tam giác sau:
Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education
Bất đẳng thức là phần kiến thức cần nắm thật vững nếu các em muốn “xử đẹp” môn Toán Đại số THPT. Qua bài viết, mong rằng các em sẽ nắm vững những lý thuyết về bất đẳng thức để áp dụng giải bài tập nhanh chóng và hiệu quả.
Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học trực tuyến nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!
CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM
