Các Dạng Tích Phân Hàm Ẩn Và Phương Pháp Giải Chi Tiết

\footnotesize \text{Nếu }u=u(x) \text{ và }v=v(x) \text{ thì }\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \text{ với }v\not=0. \text{ Nếu} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=h(x)\text{ thì }\frac{f(x)}{g(x)}=\int h(x)dx.

\footnotesize \text{Cho hàm số }f(x)\text{ thỏa mãn }f(2)=-\frac29 \text{ và } f'(x)=2x[f(x)]^2, \ \forall x\in\R. \text{ Các em hãy tính giá trị của }f(1).

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Ta có:}\\
&\footnotesize f'(x)=2x[f(x)]^2\\
&\footnotesize \Leftrightarrow\frac{f'(x)}{[f(x)]^2}=2x\\
&\footnotesize \Leftrightarrow\left[\frac{1}{f(x)}\right]'=-2x\\
&\footnotesize \Leftrightarrow\frac{1}{f(x)}=-\int2xdx\\
&\footnotesize \Leftrightarrow\frac{1}{f(x)}=-x^2+C\\
&\footnotesize \text{Lại có:}\\
&\footnotesize f(2)=\frac29\Rightarrow C=-\frac12 \Rightarrow \frac{1}{f(x)}=-x^2-\frac12 \Rightarrow f(1)=-\frac23
\end{aligned}

\footnotesize \text{Nếu }u=u(x) \text{ thì } (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\text{ với }u>0.\text { Nếu } \left[\sqrt{f(x)}\right]'=h(x) \text{ thì } \sqrt{f(x)}=\int h(x)dx.

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{ Cho hàm số }f(x)\text{ đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn: }\\
&\footnotesize f'(x)=2\sqrt{f(x)} \ \forall x\in[0;1] \text{ và } f(0)=1\\
&\footnotesize \text{Các em hãy tính tích phân của hàm số:} \intop_0^1f(x)dx\\


\end{aligned}

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Ta có:}\\
&\footnotesize f'(x)=2\sqrt{f(x)} \\
&\footnotesize\Leftrightarrow\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}=1\\
&\footnotesize\Leftrightarrow\left(\sqrt{f(x)}\right)'=1 \\
&\footnotesize \Leftrightarrow \sqrt{f(x)}=\int dx \Leftrightarrow \sqrt{f(x)}=x+C\\
&\footnotesize \text{Lại có:}\\
&\footnotesize f(0)=1 \Rightarrow C=1 \Rightarrow f(x)=(x+1)^2 \Rightarrow \intop_0^1(x+1)^2dx=\left.\frac13(x+1)^2\right|^1_0=\frac73
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Cho hàm số } f(x) \text{ có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn }f(0)=1 \text{ và } f'(x).e^{f(x)-x^2-1}=2x \ \forall x\in[0;1].\\
&\footnotesize \text{Tính giá trị của }\intop^1_0f(x)dx.
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Ta có: }\\
&\footnotesize f'(x).e^{f(x)-x^2-1}=2x\\
\Leftrightarrow &\footnotesize  f'(x)e^{f(x)}=2x.e^{x^2+1}\\
\Leftrightarrow &\footnotesize\left(e^{f(x)}\right)'=2x.e^{x^2+1}\\
\Leftrightarrow &\footnotesize e^{f(x)}=\int 2x.e^{x^2+1}\\
\Leftrightarrow &\footnotesize e^{f(x)}=e^{x^2+1}+C\\
&\footnotesize \text{Lại có:} f(0)=1 \Rightarrow C=0 \Rightarrow e^{f(x)}=e^{x^2+1} \Rightarrow f(x)=x^2+1\\
&\footnotesize \text{Do vậy:}\intop_0^1f(x)dx=\intop_0^1(x^2+1)dx=\left.\left(\frac13x^3+x\right)\right|^1_0=\frac43
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Nếu }u=u(x) \text{ nhận giá trị dương trên K thì }[lnu]'=\frac{u,}{u} \text{ trên K. }\\
&\footnotesize \text{Nếu } [ln(f(x))]'=g(x) \text{ thì } ln(f(x))=\int g(x)dx.
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Cho hàm số }y=f(x) \text{ có đạo hàm và liên tục trên đoạn [-1;1], thỏa mãn }f(x)>0\ \forall x\in\R \text{ và } f'(x)+2f(x)=0.\\
&\footnotesize \text{Biết }f(1)=1, \text{ tính }f(-1).
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\bull \footnotesize f'(x)+2f(x)=0\\
&\footnotesize \Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}=-2\\
&\footnotesize \Leftrightarrow \intop_{-1}^1\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\intop_{-1}^1-2dx\\
&\footnotesize \Leftrightarrow \intop_{-1}^1\frac{df(x)}{f(x)}=-4\\
&\footnotesize \Leftrightarrow lnf(x)|^1_{-1}=-4\\
&\bull \footnotesize ln\frac{f(1)}{f(-1)}=-4 \Leftrightarrow \frac{f(1)}{f(-1)}=e^{-4}\Leftrightarrow f(-1)=f(1).e^{4} =e^{4}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\footnotesize \intop_1^2f'(x)dx=f(x)|^2_1=f(2)-f(1)=f(2)\\
&\footnotesize \intop_1^2f'(x)dx=\intop^2_1(2x+3)dx=6\\
&\footnotesize \text{Vậy } f(2)=6
\end{aligned}

\footnotesize \text{Biết rằng: }\intop_3^{13}f(x)dx=16. \text{ Tính }J=\intop^6_1(2x+1)dx

\begin{aligned}
&\footnotesize J=\intop^6_1f(2x+1)dx=\frac12\intop^6_1f(2x+1)d(2x+1)\\
&\footnotesize \text{Đặt }u=2x+1\\
&\footnotesize\Rightarrow \frac12\intop^6_1f(2x+1)d(2x+1) =\frac12\intop^{13}_3f(u)du=8
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Cho hai hàm số liên tục }f(x) \text{ và }g(x) \text{ có nguyên hàm lần lượt là } F(x) \text{ và } G(x) \text{ trên } [1;2]. \text{ Biết rằng } F(1)=1,\\
&\footnotesize  F(2)=4,\ G(1)=\frac32,\ G(2)=2 \text{ và } \intop^2_1f(x)G(x)dx=\frac{67}{12}. \text{ Tính tích phân hàm ẩn sau: }\intop^2_1F(x)g(x)dx.
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Đặt }\begin{cases}u=F(x)\\dv=g(x)dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du=f(x)dx \\ v=G(x) \end{cases}\\
&\footnotesize \text{Vậy }\intop^2_1F(x)g(x)dx=F(x)G(x)|^2_1-\intop^2_1f(x)G(x)dx=8-\frac32-\frac{67}{12}=\frac{11}{12}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&+ \space Tìm\space P(x)\space =\intop p(x)dx\\
&+ Nhân\space hai\space vế\space e^{{\lmoustache p(x)dx}} ta\space được:\\
&f'(x).e^{{\lmoustache p(x)dx}}+p(x).e^{{\lmoustache p(x)dx}}.f(x)=h(x)e^{{\lmoustache p(x)dx}}\\
&\Leftrightarrow f'(x).e^p(x) +p(x).e^{p(x)}f(x)=q(x)e^{p(x)}\\
&\Leftrightarrow\lbrack f(x).e^{{\lmoustache p(x)dx}} \rbrack = h(x).e^{{\lmoustache p(x)dx}}\\

\end{aligned}

\begin{aligned}
&+\space Nhân\space hai\space vế\space với\space e^x\space ta\space được\space e^x.f'(x)+e^x.h(x) \Leftrightarrow \lbrack e^x.f(x) \rbrack'=e^x.h(x)\\ 
&+Suy\space ra\space e^x.f(x)= \lmoustache e^x.h(x)dx\\
& +Từ\space đây\space ta\space dễ\space dàng\space tìm\space được\space f(x)
\end{aligned}

\begin{aligned}
& \text{+Nhân hai vế với}\space e^x \text{ta được}\space e^{-x}.f'(x)-e^{-x} .f(x)=e^{-x}.h(x)\\
&\Leftrightarrow \lbrack e^{-x}.f(x) \rbrack' = e^{-x}.h(x)\\
& +Suy\space ra\space e^{-x} .f(x)=\lmoustache e^{-x} h(x)dx\\
& +\text{Từ đây ta dễ dàng tìm được f(x)}
\end{aligned}