Công thức và bài tập về cách tính tích phân từng phần
Warning: mysqli_query(): (HY000/1): Can't create/write to file '/tmp/#sql-temptable-b851-b7469-f1ce.MAI' (Errcode: 28 "No space left on device") in /opt/bitnami/wordpress/wp-includes/wp-db.php on line 2162
Tích phân từng phần là một trong những nội dung trọng tâm mà các em sẽ học trong chương trình toán học 12. Để học tốt nội dung này và đạt được điểm cao trong kỳ thi, Team Marathon Education sẽ cùng các em tìm hiểu cụ thể tích phân từng phần là gì, đồng thời tổng hợp công thức, các dạng toán thường gặp và cách giải để các em tham khảo.
Tích phân từng phần là gì?
Tích phân từng phần là phương pháp tìm tích phân của các hàm số có dạng tích dựa trên việc phân tích các nguyên hàm và đạo hàm của hàm số đó.
Phương pháp này thường được sử dụng để biến đổi nguyên hàm của tích các hàm số thành một nguyên hàm đơn giản hơn. Quy tắc có thể suy ra bằng cách tích hợp quy tắc nhân của đạo hàm.
Tích phân từng phần được sử dụng để tính tích phân nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa 2 hàm số khác nhau trong 4 hàm số, bao gồm: hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giác và hàm số mũ.
Công thức tính tích phân từng phần
Cho 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a,b] thì ta có công thức:
\intop_a^bu(x)v'(x)=u(x)v(x)|^b_a-\intop^b_au'(x)v(x)dx
Các em có thể viết gọn thành công thức tổng quát sau:
\intop_a^budv=uv|^b_a-\intop^b_avdu
Các dạng bài tập tích phân từng phần thường gặp và cách giải
Các bài toán tính tích phân từng phần được chia làm 4 dạng bài thường gặp. Các em có thể tham khảo qua những dạng toán này và ôn tập để chuẩn bị kiến thức cho những kỳ thi sắp tới.
Dạng 1: Hàm đa thức và hàm logarit
Công thức chung:
\intop^n_mf(x)ln(ax+b)dx
Trong đó, f(x) là một hàm đa thức.
Phương pháp giải:
Khi gặp dạng toán này, các em hãy thực hiện các bước sau để giải:
\begin{aligned}
&\footnotesize\textbf{Bước 1: }\text{Ta tiến hành đặt}\\
&\begin{cases}u=ln(ax+b)\\dv=f(x)dx\end{cases}\implies \begin{cases}du=\frac{a}{ax+b}dx\\v=\int f(x)dx\end{cases}\\
&\footnotesize\textbf{Bước 2: }\text{Tính tích phân theo công thức}\\
&\intop_m^nf(x)ln(ax+b)dx=uv|_m^n-\intop_m^nvdu
\end{aligned}
Ví dụ minh họa:
Tính tích phân của biểu thức sau:
I=\intop_1^2(4x+3)lnxdx
Bài giải:
\begin{aligned}
&\text{Đặt}\begin{cases}u=lnx\\dv=(4x+3)dx\end{cases}\implies \begin{cases}du=\frac{1}{x}dx\\v=2x^2+3x\end{cases}\\
&\text{Khi đó: }I=(2x^2+3x)lnx|^2_1-\intop_1^2\frac{2x^2+3x}{x}dx\\
&=14ln2-0-(x^2+3x)|^2_1\\
&=14ln2-0-[(2^2+3.2)-(1^2+3.1)]\\
&=14ln2-(10-4)\\
&=14ln2-6\\
\end{aligned}
Dạng 2: Hàm đa thức và hàm lượng giác
Công thức chung:
\small \intop_m^nf(x)sin(ax+b)dx\ \text{hoặc}\intop_m^nf(x)cos(ax+b)dx
Trong đó, f(x) là một hàm đa thức.
Phương pháp giải:
\begin{aligned}
&\footnotesize\textbf{Bước 1: }\text{Ta tiến hành đặt}\\
&\small\begin{cases}u=f(x)\\dv=sin(ax+b)dx\end{cases}\implies \begin{cases}du=f'(x)dx\\v=-\frac{1}{a}cos(ax+b)\end{cases}\\
&\small\text{hoặc}\begin{cases}u=f(x)\\dv=cos(ax+b)dx\end{cases}\implies \begin{cases}du=f'(x)dx\\v=\frac{1}{a}sin(ax+b)\end{cases}\\
&\small\footnotesize\textbf{Bước 2: }\text{Tính tích phân theo công thức}\\
&\small\intop_m^nf(x)sin(ax+b)dx=uv|_m^n-\intop_m^nvdu\\
&\text{hoặc }\small\intop_m^nf(x)cos(ax+b)dx=uv|_m^n-\intop_m^nvdu
\end{aligned}
Ví dụ minh họa:
B=\intop_0^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx
Bài giải:
\begin{aligned}
&B=\intop_0^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx\\
&\text{Đặt }u=x+1 \implies du=dx\\
&dv=sinxdx \implies v=-cosx\\
&\text{Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được:}\\
&B=\intop_0^\frac{\pi}{2}(x+1)sinxdx\\
&=-(x+1)cosx|_0^\frac{\pi}{2}+\intop_0^\frac{\pi}{2}cosxdx\\
&=-(x+1)cosx|_0^\frac{\pi}{2}+sinx|_0^\frac{\pi}{2}\\
&=1+1=2\\
&\text{Vậy }B=2
\end{aligned}
Dạng 3: Hàm mũ và hàm lượng giác
Công thức chung:
\small\intop_m^ne^{ax+b}sin(cx+d)dx\ \text{hoặc} \intop_m^ne^{ax+b}cos(cx+d)dx
Phương pháp giải:
Với dạng toán tìm tích phân của một biểu thức cho chứa hàm mũ và hàm lượng giác, các em hãy thực hiện giải toán bằng 2 bước sau:
\begin{aligned}
&\footnotesize\textbf{Bước 1: }\text{Ta tiến hành đặt}\\
&\small\begin{cases}u=e^{ax+b}\\dv=sin(cx+d)dx\end{cases}\text{hoặc}\begin{cases}u=e^{ax+b}\\dv=cos(cx+d)dx\end{cases}\\
&\footnotesize\textbf{Bước 2: }\text{Suy ra được công thức theo u và v như sau:}\\
&\intop_m^nudv=uv|_m^n-\intop_m^nvdu
\end{aligned}
Lưu ý: Phải thực hiện 2 lần tích phân từng phần.
Ví dụ minh họa:
Tính tích phân của biểu thức sau:
I = \int e^{-2x}cos3xdx
Bài giải:
\begin{aligned}
&\small\text{Đặt}\begin{cases}u=e^{-2x}\\dv=cos3xdx\end{cases}\implies\begin{cases}du=-2e^{-2x}\\v=\frac{1}{3}sin3x \end{cases}\\
&\small\text{Khi đó ta có: }\\
&I=\frac{1}{3}e^{-2x}sin3x+\frac{2}{3}\int e^{-2x}sin3xdx\\
&\small\text{Đặt}\begin{cases}u=e^{-2x}\\dv=sin3xdx\end{cases}\implies\begin{cases}du=-2e^{-2x}\\v=-\frac{1}{3}cos3x \end{cases}\\
&\small\text{Khi đó ta có: }\\
&I=\frac{1}{3}e^{-2x}sin3x+\frac{2}{3}\left[-\frac{1}{3}e^{-2x}cos3x -\frac{2}{3}\int e^{-2x}cos3xdx\right].\\
&\ \ =\frac{1}{9}e^{-2x}(3sin3x -2cos3x)-\frac{4}{9}\int e^{-2x}cos3xdx\\
&\ \ =\frac{1}{9}e^{-2x}(3sin3x -2cos3x)-\frac{4}{9}I\\
&\Rightarrow \frac{13}{9}I=\frac{1}{9}e^{-2x}(3sin3x -2cos3x)\\
&\small\text{Vậy }I=\frac{1}{13}e^{-2x}(3sin3x -2cos3x)+C
\end{aligned}
Dạng 4: Hàm mũ và hàm đa thức
Công thức chung:
\intop_a^b P(x)e^xdx
Trong đó, P(x) là một hàm đa thức.
Phương pháp giải:
Để tính tích phân của biểu thức chứa hàm đa thức và hàm mũ, các em tiến hành:
\text{Đặt}\begin{cases}u=P(x)\\dv=e^xdx\end{cases}
Ví dụ minh họa:
C=\intop_0^{1}xe^{-2x}dx
Bài giải:
\begin{aligned}
&\small\text{Đặt}\begin{cases}u=x\\dv=e^{-2x}dx\end{cases} \implies \begin{cases}du=dx\\dv=-\frac{1}{2}e^{-2x}\end{cases}\\
&\small\text{Áp dụng công thức tính tích phân từn phần, ta được:}\\
&\intop_0^{1}xe^{-2x}dx\\
&=\left.-\frac{x}{2}e^{-2x}\right|_0^1+\frac{1}{2}\intop_0^1e^{-2x}dx\\
&=\left.-\frac{x}{2}e^{-2x}\right|_0^1-\left.\frac{1}{4}e^{-2x}\right|_0^1\\
&=\frac{1}{4} \left( 1-\frac{3}{e^2}\right)\\
&\small\text{Vậy }C=\frac{e^2-3}{4e^2}
\end{aligned}
Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education
Thông qua bài viết này, Team Marathon Education đã chia sẻ cho các em nhiều thông tin về tích phân từng phần, công thức, các dạng toán thường gặp và phương pháp giải. Hy vọng những kiến thức này sẽ giúp các em ứng dụng để giải nhanh bài tập và có được kết quả học tập tốt nhất.
Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!
Fatal error: Uncaught wfWAFStorageFileException: Unable to save temporary file for atomic writing. in /opt/bitnami/wordpress/wp-content/plugins/wordfence/vendor/wordfence/wf-waf/src/lib/storage/file.php:34 Stack trace: #0 /opt/bitnami/wordpress/wp-content/plugins/wordfence/vendor/wordfence/wf-waf/src/lib/storage/file.php(658): wfWAFStorageFile::atomicFilePutContents() #1 [internal function]: wfWAFStorageFile->saveConfig() #2 {main} thrown in /opt/bitnami/wordpress/wp-content/plugins/wordfence/vendor/wordfence/wf-waf/src/lib/storage/file.php on line 34