Đạo Hàm Là Gì? Ý Nghĩa Và Các Công Thức Tính Đạo Hàm Thường Gặp

Marathon Team - 07/02/2022

Trong chương trình Toán học trung học phổ thông, đạo hàm của hàm số là một nội dung vô cùng quan trọng. Vậy đạo hàm là gì? Những công thức tính đạo hàm nào hay gặp nhất? Trong bài viết này, Team Marathon Education sẽ tổng hợp cho các em lý thuyết đạo hàm là gì và các công thức tính đạo hàm thường gặp.

>>> Xem thêm:

Đạo hàm là gì?

Để giải các bài toán về đạo hàm, các em cần hiểu rõ khái niệm đạo hàm là gì. Theo toán học giải tích, đạo hàm thực chất là một đại lượng được dùng để mô tả sự biến thiên của hàm số tại một điểm nào đó.

Định nghĩa

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Cho hàm số y = f(x) được xác định trên khoảng (a;b) và }x_0 \text{ ∈ (a;b).}\\
&\footnotesize\text{Giới hạn hữu hạn của tỉ số }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \text{ (nếu có) khi x} \to x_0 \text{ được gọi là}\\
&\footnotesize\text{đạo hàm của hàm số f(x) tại }x_0. \text{ Ký hiệu đạo hàm là }f'(x_0)\text{ hay }y'(x_0).
\end{aligned}

Như vậy:

f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

Đặt: x – x = ∆x và ∆y = f(x+∆x) – f(x) thì các em sẽ có được:

f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}

Trong đó:

  • ∆x là số gia của đối số tại x0.
  • ∆y được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

Cách tính đạo hàm dựa trên định nghĩa

Khi các em đã biết được đạo hàm là gì, nội dung này cũng sẽ trở nên đơn giản hơn. Dựa vào định nghĩa trên, các em có thể tính đạo hàm của hàm số theo các bước sau:

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Bước 1: Tính } Δy = f(x0+Δx) − f(x0)\text{ với Δx là số gia của số đối tại }x_0.\\
&\footnotesize\text{Bước 2: Lập tỉ số }\frac{\Delta y}{\Delta x}.\\
&\footnotesize\text{Bước 3: Tính}\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}
\end{aligned}

Nhận xét: Nếu các em thay x0 = xthì sẽ có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x ∈ (a;b).

Quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm

Định lý: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0.

Lưu ý: Nếu hàm số y = f(x) gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại điểm x. Tuy nhiên, một hàm số liên tục tại một điểm cũng có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

Ý nghĩa của đạo hàm là gì?

Ý nghĩa hình học

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) thì f’(x) là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M (x; f(x)).

Lúc này, phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M (x;f(x)) sẽ là:

y - f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)

Ý nghĩa vật lý

Ngoài ý nghĩa hình học thì đạo hàm còn có ý nghĩa vật lý. Vậy ý nghĩa vật lý của đạo hàm là gì? 

Trong một chuyển động thẳng, vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t có thể được tính bằng công thức v(t) = s'(t).

Các công thức tính đạo hàm thường gặp

Sau khi biết được đạo hàm là gì, các em hãy ghi nhớ một số công thức tính đạo hàm thường gặp sau để áp dụng giải các bài tập.

Công thức tính đạo hàm hàm hợp:

\begin{array}{ccc}
(u+v)'=u'+v' & (uv)'=u'v+uv'&\left( \frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\
y'_x=y'_u.u'_x&(ku)'=k.u'&\left( \frac{k}{u}\right)'=\frac{k.u'}{u^2}
\end{array}

Công thức tính đạo hàm các hàm số sơ cấp:

Công thức tính đạo hàm các hàm số sơ cấp - đạo hàm là gì

Công thức tính đạo hàm cấp cao:

Công thức tính đạo hàm cấp cao

Các quy tắc tính đạo hàm:

Các quy tắc tính đạo hàm là gì

Công thức tính đạo hàm của một số phân thức hữu tỉ thường gặp:

Công thức tính đạo hàm của một số phân thức hữu tỉ thường gặp

Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education

Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Các khóa học online tại Marathon Education

Qua bài viết này, Marathon Education đã tổng hợp những nội dung cơ bản để các em hiểu rõ đạo hàm là gì và các công thức tính đạo hàm thường gặp. Đây là kiến thức trọng tâm để chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG. Các em hãy chú ý học thuộc, nắm chắc các công thức để giải đúng các bài tập và dễ dàng vượt qua các kỳ thi. Chúc các em học tập tốt!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM