Công Thức Tính Đạo Hàm Logarit. Bài Tập Minh Họa Có Lời Giải Chi Tiết

Marathon Team - 21/02/2022

Hàm số logarit và công thức tính đạo hàm log là những nội dung mà các em sẽ được học trong chương trình Toán 12. Đây là những kiến thức trọng tâm và xuất hiện nhiều trong các đề thi. Vì thế, trong bài viết sau, Marathon Education sẽ hệ thống lại những kiến thức cơ bản liên quan đến hàm logarit, công thức tính đạo hàm log và những ví dụ minh họa để giúp các em nắm chắc phần kiến thức này.

Hàm logarit là gì?

Định nghĩa hàm logarit

Để giải được những bài toán về đạo hàm log, trước tiên các em cần nắm được lý thuyết về hàm logarit. 

Hàm logarit là hàm số có dạng y=logax ( với a > 0 và a khác 1).

Tính chất của hàm logarit

Đồ thị của hàm log
Đồ thị của hàm số logarit (Nguồn: Internet)

Các tính chất cơ bản của hàm logarit:

\begin{aligned}
&\footnotesize\bull \text{Tập xác định: } D=(0; +∞).\\
&\footnotesize\bull \text{Đạo hàm log: }∀x∈(0;+∞), y' = \frac{1}{x.lna}.\\
&\footnotesize\bull \text{Chiều biến thiên:}\\
&\footnotesize\ \ \ \ \circ \text{Nếu a > 1 thì hàm số đã cho luôn đồng biến.}\\
&\footnotesize\ \ \ \ \circ \text{Nếu 0 < a < 1 thì hàm số đã cho luôn nghịch biến.}\\
&\footnotesize\bull \text{Tiệm cận: Trục Oy chính là tiệm cận đứng của hàm số.}\\
&\footnotesize\bull \text{Đồ thị nằm ở phía bên phải của trục tung và luôn cắt trục hoành tại điểm (1;0), đi qua điểm (a;1).}
\end{aligned}

Ngoài ra, các em cần chú ý một số điểm sau:

  • Nếu a > 1 thì lna > 0 ⇒ logax > 0, ∀x>0. Do đó, hàm số logarit với cơ số lớn hơn 1 là những hàm số luôn đồng biến.
  • Nếu 0 < a < 1 thì lna < 0 ⇒ logax < 0, ∀x>0. Do đó, hàm số logarit với cơ số nhỏ hơn 1 là những hàm số luôn nghịch biến.

Công thức tính đạo hàm logarit

Để giải các bài tập tính đạo hàm logarit, các em hãy áp dụng các công thức tính đạo hàm log như sau:

\begin{aligned}
&1. (log_ax)'=\frac{1}{x.lna}\ \ \ \ \  &&2.\ (log_au)'=\frac{u'}{u.lna}\\
&3. (lnx)'=\frac{1}{x}\ \ \ \ \  &&4.(lnu)'=\frac{u'}{u}

\end{aligned}

Bài tập minh họa

Để giải các bài tập tìm đạo hàm log của hàm số, các em cần tìm điều kiện để hàm logarit tồn tại. Phương pháp tìm tập xác định của hàm số logarit cụ thể như sau:

Cho hàm số y=logax (a>0, a # 1)

  • Tập xác định của hàm số trên là (0; +∞)

Hàm số y=logau(x) (a>0, a # 1)

  • Điều kiện để hàm số logarit xác định là u(x)>0 và u(x) xác định.

Sau đây là một số dạng bài tập tìm đạo hàm log để giúp các em hiểu hơn về kiến thức này.

Đạo hàm logarit cơ bản 

Bài tập 1: Các em hãy tìm đạo hàm log của hàm số:

y=log_3(2x+1)

Bài giải:

y'=[log_3(3x+1)]'=\frac{(2x+1)'}{(2x+1).ln3}=\frac{2}{(2x+1).ln3}

Bài tập 2: Các em hãy tìm đạo hàm log của hàm số:

y=log_5(3x^4-5x^2-2)

Bài giải:

y'=[log_5(3x^4-5x^2-2)]'=\frac{(3x^4-5x^2-2)'}{(3x^4-5x^2-2).ln5}=\frac{12x^3-10x}{(3x^4-5x^2-2).ln5}

Đạo hàm logarit chứa phân thức 

Tìm đạo hàm của hàm số:

y=log_4\left(\frac{x-2}{x^2+4}\right)

Bài giải:

y'=\left[log_4\left(\frac{x-2}{x^2+4}\right)\right]'=\frac{\left(\frac{x-2}{x^2+4}\right)'}{\frac{x-2}{x^2+4}.ln4}=\frac{-x^2+4x+4}{(x^2+4)^2.\frac{x-2}{x^2+4}.ln4}=\frac{-x^2+4x+4}{(x^2+4)(x-2).ln4}

Đạo hàm logarit chứa căn 

Tìm đạo hàm của hàm số:

y=log_3(\sqrt{x^2-4x+8})

Bài giải:

\begin{aligned}
y'&=\left[log_3(\sqrt{x^2-4x+8})\right]'\\
&=\frac{(\sqrt{x^2-4x+8})'}{\sqrt{x^2-4x+8}.ln3}\\
&=\frac{(\sqrt{x^2-4x+8})'}{2.\sqrt{x^2-4x+8}.\sqrt{x^2-4x+8}.ln3}\\
&=\frac{2x-4}{2(x^2-4x+8).ln3}\\
&=\frac{x-2}{(x^2-4x+8).ln3}
\end{aligned}

Đàm hàm logarit tự nhiên

Bài tập 1: Tìm đạo hàm của hàm số

y = ln(x^3-2x^2+9)

Bài giải:

y'=\left[ ln(x^3-2x^2+9)\right]'=\frac{(x^3-2x^2+9)'}{x^3-2x^2+9}=\frac{3x^2-4x}{x^3-2x^2+9}

Bài tập 2: Tìm đạo hàm của hàm số

y = ln(log_4(x^2+2))

Bài giải:

y'=\left[ln(log_4(x^2+2)) \right]'=\frac{[log_4(x^2+2)]'}{log4_(x^2+2)}=\frac{2x}{(x^2+2).ln4.log_4(x^2+2)}

Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education

Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Các khóa học online tại Marathon Education

Team Marathon Education vừa chia sẻ cho các em những kiến thức quan trọng về hàm số logarit cũng như công thức tính đạo hàm log. Hy vọng rằng bài viết này có thể trang bị cho các em những kiến thức nền tảng cần thiết để giúp các em học Toán tốt hơn và dành được điểm cao trong các kỳ thi sắp tới. Để cập nhật thêm nhiều nội dung mới, các em đừng quên theo dõi Marathon mỗi ngày. Chúc các em thành công!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM