Các Dạng Toán Tìm Phần Thực Và Phần Ảo Của Số Phức

Marathon Team - 25/02/2022

Số phức và các dạng toán về số phức là một trong những nội dung Toán 12 quan trọng, thường xuất hiện trong các bài thi đại học. Do vậy, trong bài viết này, Marathon Education đã hệ thống lại một số dạng toán cơ bản về tìm phần thực và phần ảo của số phức, đồng thời hướng dẫn phương pháp giải các dạng bài tập này. Các em hãy theo dõi ngay nội dung bài viết dưới đây.

>>> Dạng Bài Tập Và Cách Giải Bất Phương Trình Toán Lớp 10

Xác định phần thực và phần ảo của số phức

Xác định phần thực và phần ảo của số phức
Xác định phần thực và phần ảo của số phức (Nguồn: Internet)

Phương pháp giải

Số phức có dạng: z = a + bi (a, b ∈ ) có a là phần thực và b là phần ảo.

Ví dụ: Xác định phần thực và phần ảo của số phức sau:

  1. z = 4 + 3i
  2. z = 4i – 6
  3. z = 5
  4. z = 18i

Hướng dẫn giải

  1. Số phức z = 4 + 3i có phần thực a = 4 và phần ảo b = 3.
  2. Số phức z = 4i – 6 có phần thực a = -6 và phần ảo b = 4.
  3. Số phức z = 5 có phần thực a = 5 và phần ảo b = 0.
  4. Số phức z = 18i có phần thực a = 0 và phần ảo b = 18.

Tìm phần thực và phần ảo của số phức

Phương pháp giải

Để tìm được phần thực và phần ảo của số phức z, các em cần đưa z về dạng chung đó là z = x + iy (x, y ∈ ). Lúc này phần thực của z là x và phần ảo là y. Để thực hiện được các em cần nắm vững một số kiến thức cơ bản đã học như:

\begin{aligned}
&\bull\  \frac{\overline{z_1}}{z_2}=\frac{z_1.\overline{z_2}}{|z_2|^2}\text{ với }z_1,z_2\in\Complex.\\
&\bull\ (1+i)^2=2i \text{ và }(1-i)^2=-2i\text{ với i là đơn vị ảo.}\\
&\bull\ \text{Công thức nhị thức Newton:}\\
&\text{Cho z = a + bi ⋲ C (Với a, b ∈ ℝ và n ∈ ℕ). Khi đó ta có:}\\
&z^n=(a+bi)^n=\sum^n_{k=0}C^k_na^{n-k}(bi)^k=\sum^n_{k=0}C_n^ka^{n-k}b^ki^k
\end{aligned}

Sau đó, để viết được kết quả dưới dạng đại số thì các em phải áp dụng các công thức: i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1. Từ đó, ta có công thức tổng quát như sau:

i^n=\begin{cases}
1\text{ nếu }n=4k\\
i\text{ nếu }n=4k+1\\
-1\text{ nếu }n=4k+2\\
-i\text{ nếu }n=4k+3\\
\end{cases}
\ \ \ (k\in\N)

Ví dụ: Cho số phức z = -i(7i + 6). Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.

Hướng dẫn giải

Ta có: 

z = -i(7i + 6) = -7i2 – 6i = 7 – 6i

Vậy phần thực là 7 và phần ảo của số phức là -6.

Bài tập nâng cao tìm phần thực và phần ảo của số phức

Bài tập 1: Tìm phần thực và phần ảo của số phức

z=\frac{\sqrt3-i}{1+i}-\frac{\sqrt2-1}{i}

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{aligned}
&z=\frac{\sqrt3-i}{1+i}-\frac{\sqrt2-1}{i}\\
&=\frac{(\sqrt3-1)(1-i)}{(1+i)(1-i)}-\frac{(\sqrt2-i)2i}{2i^2}\\
&=\frac{\sqrt3-i\sqrt3-i+i^2}{2}+\frac{2+2i\sqrt2}{2}\\
&=\frac{\sqrt3+1+i(2\sqrt2-\sqrt3-1)}{2}\\
&=\frac{\sqrt3+1}{2}+\frac{2\sqrt2-\sqrt3-1}{2}i\\
&\text{Vậy số phức z cần tìm có phần thức là }\frac{\sqrt3+1}{2}\text{ và phần ảo là }\frac{2\sqrt2-\sqrt3-1}{2}
\end{aligned}

Bài tập 2: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z nếu:

(1 + i)^2. (2 - i)z = 8 + i + (1 + 2i)z

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{aligned}
&(1 + i)^2.(2 - i)z = 8 + i + (1 + 2i)z\\
&⇔ 2i(2 - i)z = 8 + i + (1 + 2i)z\\
&⇔ 2(1 + 2i)z = 8 + i + (1 + 2i)z\\
&⇔ (1 + 2i)z = 8 + i\\
&⇔z = \frac{8+i}{1+2}i = \frac{(8 + i)(1 - 2i)}{(1 + 2 i)(1 - 2i)} = \frac{10 - 15i}{5} = 2 - 3i
\end{aligned}

Vậy số phức cần tìm có phần thực là 2 và phần ảo bằng -3.

Bài tập 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:

z = \left(\frac{1 + i\sqrt3}{1 + i}\right)^3

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\begin{aligned}
&z = \left(\frac{1 + i\sqrt3}{1 + i}\right)^3\\
&\ \ =\frac{1+3\sqrt3i+3(\sqrt3i)^2+(\sqrt3i)^3}{2i(1+i)}\\
&\ \ =\frac{1+3\sqrt3i-9-3\sqrt3i}{-2+2i}\\
&\ \ =\frac{-8}{-2+2i}=\frac{-8(-2-2i)}{8}=2+2i
\end{aligned}

Vậy số phức có phần thực 2 và phần ảo 2.

Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education

Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Các khóa học online tại Marathon Education

Hy vọng với những kiến thức về các dạng bài tập tìm phần thực và phần ảo của số phức Marathon đã chia sẻ trong bài viết trên sẽ giúp các em có thể giải bài tập tốt hơn. Ngoài ra, để biết thêm nhiều thông tin bổ ích khác thì các em có thể truy cập vào website Marathon Education. Chúc các em luôn đạt điểm tốt và học tập hiệu quả!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM