Số Phức Liên Hợp Là Gì? Các Tính Chất Và Cách Tìm Số Phức Liên Hợp

Marathon Team - 22/02/2022

Số phức là một trong những nội dung quan trọng trong phần Đại số lớp 12 và thường xuất hiện trong đề thi đại học. Vậy số phức là gì? Số phức liên hợp là gì? Cách tìm số phức liên hợp như thế nào? Trong bài viết này, Marathon Education sẽ giúp các em củng cố những lý thuyêt liên quan bao gồm khái niệm, các tính chất và hướng dẫn các em giải một số bài tập cơ bản.

>>> Xem thêm:

Số Phức Đối Là Gì? Cách Tìm Điểm Biểu Diễn Của Số Phức Đối

Dạng Bài Tập Và Cách Giải Bất Phương Trình Toán Lớp 10

Số phức là gì?

Số phức là gì?
Số phức là gì? (Nguồn: Internet)

Các phương trình bậc hai như x2 + 1 = 0 không có nghiệm thực, vì x2 không thể bằng -1. Với mong muốn mở rộng tập hợp số thực để mọi phương trình bậc n đều có nghiệm, người ta đã đưa ra khái niệm số phức. Đơn vị ảo của số phức có kí hiệu là i và là nghiệm của phương trình i2 = -1.

Vậy, số phức (tên tiếng Anh là complex number) là số có dạng z = a + bi. Trong đó a và b là các số thực, còn i là đơn vị ảo với i2 = -1. Đồng thời, a được gọi là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo.

Tập hợp các số phức ký hiệu là C. 

Ví dụ: 

Số phức 6 + 8i có phần thực là 6, phần ảo là 8.

Số phức 5 – 9i cóphần thực là 5, phần ảo là -9.

Số phức -7 – i, có phần thực là -7, phần ảo là -1.

Số phức có thể được biểu diễn trên mặt phẳng phức. Trục hoành là trục số thực và trục tung là trục số ảo. Do đó, một số phức được xác định bằng một điểm có tọa độ (a,b). Một số phức nếu có phần thực bằng không thì gọi là số thuần ảo (số ảo). Nếu số phức đó có phần ảo bằng không thì trở thành số thực R. Việc mở rộng trường số phức giúp chúng ta giải những bài toán không thể giải trong trường số thực.

>>> Xem thêm: Tổng Hợp Các Kí Hiệu Trong Toán Học Phổ Biến Đầy Đủ Và Chi Tiết

Số phức liên hợp là gì?

Số phức liên hợp là gì?
Số phức liên hợp là gì? (Nguồn: Internet)

Theo như định nghĩa về số phức ở trên, số phức có dạng a + bi với i2 = -1. 

\begin{aligned}
&\textbf{Số phức liên hợp }\text{chính là a – bi và được ký hiệu là } \overline{z}, \text{ với }\overline{z} = a - bi.\\
&\text{Ví dụ: ta có: z = 2 + 3i, vậy số phức liên hợp của z là } \overline{z}= 2 – 3i.

\end{aligned}

Các tính chất của số phức liên hợp

Số phức liên hợp có một số tính chất như sau:

|z| = |\overline{z}|; ∀z∈\Complex
\small \text{Do đó, 2 điểm biểu diễn của z và } \overline{z} \text{ sẽ đối xứng với nhau qua trục Oxy trên mặt phẳng tọa độ Oxy.}
\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}

Theo công thức này, liên hợp của một tổng sẽ bằng tổng các số phức liên hợp. Công thức trên còn đúng với cả phép trừ, phép nhân và phép chia.

z . \overline{z} = a^2 + b^2

Đây là công thức quan trọng và thường được áp dụng nhiều trong các bài toán.

\begin{aligned}
&\text{Với z là số thực, thì ta có trong mọi trường hợp } z = \overline{z}\\
&\text{Với z là số ảo tức là phần thực của nó = 0 thì }z = –\overline{z}
\end{aligned}

Cách tìm số phức liên hợp

\text{Cho số phức z = a + bi. Ta gọi }\textbf{số phức liên hợp }\text{của số phức z = a + bi là }\overline{z} = a - bi.

Kết quả: ∀ z ∈ C ta có:

\begin{aligned}
&\bull |z| = |\overline{z}|\\
&\bull \overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2}\\
&\bull \overline{z_1.z_2}=\overline{z_1}.\overline{z_2}\\
&\bull \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\\
&\bull \text{z là số thực khi }z = \overline{z}\\
&\bull \text{z là số thuần ảo khi }z = - \overline{z}
\end{aligned}

Bài tập vận dụng về số phức liên hợp

Để giúp các em nắm vững hơn kiến thức về số phức liên hợp, Team Marathon Education đã tổng hợp một số bài tập vận dụng và hướng dẫn giải chi tiết sau:

Bài tập 1:

\text{Cho số phức }z = 1 + 3i .\text{ Tìm số phức }\overline{z}.

Cách giải:

z = 1 + 3i \Rightarrow \overline{z} = 1 - 3i

Bài tập 2:

Tìm số phức liên hợp của các số phức sau:

a. z = -3 + 5i

b. z = 3 – 4i

c. z = 5 – 3i

d. z = i(3i +1)

Cách giải:

\begin{aligned}
&\text{a. Số phức liên hợp của z = -3 + 5i là } \overline{z}=-3-5i\\
&\text{b. Số phức liên hợp của z = 3 - 4i là } \overline{z}=3+4i\\
&\text{c. Số phức liên hợp của z = 5 - 3i là } \overline{z}=5+3i\\
&\text{d. Ta có về dạng cơ bản: z = i(3i + 1) = -3 + i}\\
&\text{Vậy số phức liên hợp của z = -3 + i là } \overline{z}=-3-i\\
\end{aligned}

Bài tập 3

\text{Tìm số phức liên hợp của số phức }z=\frac{1+i}{2-i}.

Cách giải:

\begin{aligned}
&\frac{1+i}{2-i}=\frac{(1+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{1+3i}{2^2-i^2}=\frac15+\frac35i\\
&\Rightarrow \overline{z}=\frac15-\frac35i
\end{aligned}

Bài tập 4:

\text{Tìm số phức z thỏa mãn }z - (2 + 3i)\overline{z} = 1 - 9i .

Cách giải:

\begin{aligned}
&\text{Gọi }z = a + bi => \overline{z}=a-bi\\
&z - (2 + 3i)\overline{z} = 1 - 9i\\
&\Leftrightarrow (a+bi)-(2+3i)(a-bi)=1-9i\\
&\Leftrightarrow a + bi -2a+2bi-3ai+3b.i^2=1-9i\\
&\Leftrightarrow a+ bi - 2a + 2bi - 3ai - 3b = 1 - 9i\\
&\Leftrightarrow -a-3b+(b+2b-3a)i=1-9i\\
&\Leftrightarrow \begin{cases} -a-3b=1\\-3a+3b=-9\end{cases}\\
&\Leftrightarrow \begin{cases} a=2 \\b=-1\end{cases}\\
&\text{Vậy }z = 2 - i
\end{aligned}

Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education

Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Các khóa học online tại Marathon Education

Với kiến thức đã chia sẻ trong bài viết, Team Marathon Education hy vọng đã giúp các em nắm vững kiến thức về số phức, số phức liên hợp bao gồm khái niệm, tính chất, cách tìm và ví dụ minh họa để giải quyết tốt các bài tập trong kỳ thi sắp đến. Chúc các em thành công!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM