Lý thuyết và bài tập về bất đẳng thức Cosi – Toán 9

Bất đẳng thức Cosi là một trong những kiến thức toán học phổ biến, được sử dụng để giải nhiều dạng toán về phương trình và bất phương trình khác nhau cũng như tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Trong bài viết này, Team Marathon Education sẽ giúp các em hiểu rõ hơn những kiến thức về bất đẳng thức Cosi cho 2 số, cho 3 số, dạng tổng quát và hệ quả với một số bài tập vận dụng có đáp án.

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Bất Đẳng Thức Đại Số Lớp 10

Bất đẳng thức Cosi là gì?

Bất đẳng thức Cosi là một bất đẳng thức cổ điển trong toán học, bắt nguồn từ bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM – GM). BĐT Cosi được chứng minh bởi nhà toán học người pháp Augustin – Louis Cauchy. Ngoài tên Cosi, nhiều người còn gọi là bất đẳng thức Cauchy hay bất đẳng thức AM – GM (viết tắt của của Arithmetic Mean và Geometric Mean).

>>> Xem thêm: Bất Đẳng Thức Mincopxki Và Bài Tập Vận Dụng Có Đáp Án Chi Tiết

Các dạng biểu diễn bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức Côsi có thể được biểu diễn bằng dạng tổng quát hoặc dưới nhiều dạng đặc biệt khác nhau.

Bất đẳng thức Côsi dạng tổng quát

• Với các số thực không âm x₁, x₂,…, x_n ta có thể biểu diễn bất đẳng thức Cosi dưới 3 dạng như sau: 

\begin{aligned}
&\bull \textbf{Dạng 1}: \frac{x_!+x_2+...+x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}\\
&\bull \textbf{Dạng 2}: x_1+x_2+...+x_n\ge n. \sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}\\
&\bull \textbf{Dạng 3}:\left(\frac{x_!+x_2+...+x_n}{n} \right)^n\ge x_1.x_2...x_n
\end{aligned}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x₁ = x₂ = … = x_n

• Với các số thực dương x₁, x₂,…, x_n ta có:

\begin{aligned}
&\bull \textbf{Dạng 1}: \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\ge \frac{n^2}{x_1+x_2+...+x_n}\\
&\bull \textbf{Dạng 2}: (x_1+x_2+...+x_n)\left( \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\right) \ge n^2
\end{aligned}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x₁ = x₂ = … = x_n

Dạng đặc biệt của bất đặng thức Cauchy

Một số dạng biểu diễn đặc biệt khác của bất đẳng thức Côsi:

Hệ quả của bất đẳng thức Côsi

Từ công thức tổng quát và các dạng đặc biệt, ta có 2 hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy mà các em cần ghi nhớ dưới đây. Các hệ quả này thường được áp dụng nhiều trong việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

• Hệ quả 1: Nếu tổng của 2 số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau.
• Hệ quả 2: Nếu tích của 2 số dương không đổi thì tổng của 2 số này nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực không âm

Với 2 số thực không âm a và b, ta thấy khi a và b đều bằng 0 thì biểu thức này luôn đúng. Lúc này, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức Cosi luôn đúng với 2 số a, b dương.

Cách chứng minh như sau:

\begin{aligned}
&\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\\
&\Leftrightarrow a+b \ge 2\sqrt{ab}\\
&\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge 0\\
&\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge0\text{ (luôn đúng }\forall a,b\ge0)
\end{aligned}

Như vậy, ta đã chứng minh được BĐT Cosi luôn đúng với 2 số thực không âm.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số thực không âm

• Với a, b, c đều bằng 0, bất đẳng thức Cosi luôn đúng
• Với a, b, c dương, ta chứng minh BĐT Cosi như sau:

\begin{aligned}
&\text{Đặt }x=\sqrt[3]a, \ y=\sqrt[3]b,\ z=\sqrt[3]c\\
&\Rightarrow x,y,z\ge0\Rightarrow x+y+z\ge0
\end{aligned}

Lúc này, ta quay về dạng chứng minh bất đẳng thức của 3 số thực x, y, z dương

\begin{aligned}
&(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz \ge0\\
&\Leftrightarrow (x+y+z)[(x+y)^2-(x+y)z+z^2]-3xy(x+y+z)\ge 0\\
&\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz)-3xy(x+y+z)\ge 0\\
&\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)\ge 0\\
&\Leftrightarrow 2(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)\ge 0\\
&\Leftrightarrow (x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz)\ge 0\\
&\Leftrightarrow (x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2]\ge 0\text{ (luôn đúng }\forall x,y,z\ge0)\\
\end{aligned}

Khi đó, dấu bằng xảy ra khi x = y = z hay a = b = c

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

Theo chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương ta được biểu thức luôn đúng. Suy ra, với n = 2 (2 số thực không âm) thì BĐT Cosi luôn đúng.

Do đó, để chứng minh bất đẳng thức luôn đúng với n số thì cần chứng minh nó cũng đúng với 2n số. Cách chứng minh như sau:

x_1+x_2+...+x_n\ge n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}+n\sqrt[n]{x_{n+1}x_{n+2}...x_{2n}}\ge 2n\sqrt[2n]{x_{n+1}x_{n+2}...x_{2n}}

Theo tính chất quy nạp thì bất đẳng thức này đúng với n là một lũy thừa của 2.

Giả sử bất đẳng thức Cosi đúng với n số, ta chứng minh được nó luôn đúng với n-1 số như sau:

\begin{aligned}
&x_1+x_2+...x_n\ge n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}\\
&x_n=\frac{s}{n-1} \text{ với }s=x_1+x_2+...+x_n\\
&\Rightarrow s \ge (n-1)\sqrt[n-1]{x_1x_2...x_{n-1}}
\end{aligned}

BĐT Cosi với 2n số và (n – 1) số luôn đúng, từ đó ta có thể kết luận rằng BĐT Cosi với n số thực không âm luôn đúng.

Bài tập vận dụng

Dạng 1: Áp dụng bất đẳng thức Cosi trực tiếp

Cho 3 số dương a, b, c, hãy chứng minh: 

\left(a+\frac1b\right)\left(b+\frac1c\right)\left(c+\frac1a\right)\ge 8

Hướng dẫn giải:

Áp dụng BĐT Cosi, ta có:

\begin{aligned}
&a+\frac1b \ge 2\sqrt{\frac{a}{b}}\ ;\ b+\frac1c \ge 2\sqrt{\frac{b}{c}}\ ;\ c+\frac1a \ge 2\sqrt{\frac{c}{a}}\\
&\Leftrightarrow \left(a+\frac1b\right)\left(b+\frac1c\right)\left(c+\frac1a\right)\ge 8\sqrt{\frac{a}{b}}.\sqrt{\frac{b}{c}}\sqrt{\frac{c}{a}}=8\text{ (điều phải chứng minh)}

\end{aligned}

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Dạng 2: Biến đổi nhân chia, thêm, bớt một biểu thức

Cho 3 số thực dương a, b, c, chứng minh rằng:

\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:

\begin{aligned}
&\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge 2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\ (1)\\
&\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge 2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}}=2c\ (2)\\
&\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge 2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}}=2a\ (3)\\
&(1)+(2)+(3) \Leftrightarrow2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge 2(a+b+c)\\
&\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\text{ (điều phải chứng minh)}
\end{aligned}

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Qua bài viết trên đây, Team Marathon Education đã chia sẻ đến các em toàn bộ nội dung liên quan đến bất đẳng thức Cosi lớp 8, lớp 9, lớp 10 bao gồm định nghĩa, hệ quả, cách chứng minh cùng với những dạng bài tập thường gặp có đáp án chi tiết. Hy vọng với những kiến thức này, các em có thể giải tốt các bài tập liên quan đến bất đẳng thức Côsi trong các bài kiểm tra toán sắp tới. 

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online trực tuyến nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!