Bất Đẳng Thức Mincopxki Và Bài Tập Vận Dụng Có Đáp Án Chi Tiết

Vy - 28/02/2022

Trong chương trình Toán học phổ thông, chuyên đề bất đẳng thức là mảng kiến thức “khó nhằn” với rất nhiều dạng bài khác nhau. Để giải chính xác các dạng bài tập này, các em cần biết vận dụng các bất đẳng thức cơ bản một cách hợp lý. Trong đó, bất đẳng thức Mincopxki được xem là một “trợ thủ đắc lực” hỗ trợ các em giải quyết các bài tập giải phương trình, bất phương trình chứa căn hay chứng minh bất đẳng thức. Trong bài viết này, Marathon Education sẽ chia sẻ đến các em nội dung về bất đẳng thức Mincopxki và những bài tập vận dụng.

>>> Xem thêm:

Bất Đẳng Thức Cosi Và Bài Tập Vận Dụng Có Đáp Án Chi Tiết

Dạng Bài Tập Và Cách Giải Bất Phương Trình Toán Lớp 10

Giải Bất Phương Trình Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối

Bất đẳng thức Mincopxki

Dạng tổng quát

Cho 2 dãy số thực: a1, a2,…, an và b1, b2,…, bn, ta luôn có:

\sqrt{a^2_1+b^2_1}\ +\sqrt{a^2_2+b^2_2}\ +...+\sqrt{a^2_n+b^2_n}\ge\sqrt{(a_1+a_2+...+a_n)^2+(b_1+b_2+...+b_n)^2}

Dấu bằng của đẳng thức xảy ra khi:

\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}

Quy ước: Nếu b1 = 0 thì a1 = 0, tương tự với b2, b3,.., bn.

>>> Xem thêm: Tổng Hợp Các Kí Hiệu Trong Toán Học Phổ Biến Đầy Đủ Và Chi Tiết

Dạng cụ thể

Dạng 1: Cho a, b, c, d ∈ R, ta có:

\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}

Dấu bằng của đẳng thức xảy ra khi:

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}

Dạng 2: Cho a, b, c, d, e, f ∈ R, ta có:

\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{e^2+f^2}\ge \sqrt{(a+c+e)^2+(b+d+f)^2}

Dấu bằng của đẳng thức xảy ra khi:

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}

Các em chú ý bất đẳng thức Mincopxki cũng được xem là hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

đăng ký học thử

Chứng minh bất đẳng thức Mincopxki 

Chứng minh rằng, với mọi a, b, x, y ∈ R ta luôn có bất đẳng thức sau:

\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}\ge \sqrt{(a+b)^2+(x+y)^2}

Bài giải:

Các em thực hiện bình phương 2 vế và biến đổi tương đương:

\begin{aligned}
&\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}\ge \sqrt{(a+b)^2+(x+y)^2}\\
&\Leftrightarrow a^2+x^2+b^2+y^2+2\sqrt(a^2+x^2)(b^2+y^2)\ge a^2+x^2+b^2+y^2+2ab+2xy\\
&\Leftrightarrow 2\sqrt{(a^2+x^2)(b^2+y^2)}\ge 2ab+2xy\\
&\Leftrightarrow \sqrt{(a^2+x^2)(b^2+y^2)}\ge ab+xy \ (*)
\end{aligned}
  • Nếu ab + xy ≤ 0 thì (*) luôn đúng.
  • Nếu ab + xy > 0 thì (*) ⇔ (a2 + x2) (b2 + y2) ≥ (ab + xy)2 ⇔ (bx – ay)2 ≥ 0 luôn đúng.

Vậy dấu bằng của đẳng thức xảy ra khi bx = ay.

Chú ý: Các em cũng có thể chứng minh bất đẳng thức trên bằng cách sử dụng bất đẳng thức vectơ như sau: 

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Đặt }\vec{u}=(a;x) \text{ và }\vec{v}=(b;y). \text{ Khi đó }\vec{u}+\vec{v}=(a+b;x+y).\\
&\footnotesize \text{Từ bất đẳng thức véc tơ }|\vec{u}+\vec{v}|\le |\vec{u}|+|\vec{v}| \text{ và công thức độ dài vectơ ta có ngay điều phải chứng minh.}
\end{aligned}

Nếu áp dụng 2 lần bất đẳng thức đẳng thức đã cho ở trên ta có bất đẳng thức Mincopxki cho 6 số như sau:

\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}+\sqrt{c^2+z^2}\ge\sqrt{(a+b+c)^2+(x+y+z)^2}

với a, b, c, x, y, z ∈ R

Ứng dụng bất đẳng thức Mincopxki để giải bài tập

Dạng 1: Giải bài tập bất phương trình

Ví dụ: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc

Các em hãy ứng dụng bất đẳng thức Mincopxki để chứng minh:

\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}\ge\sqrt3

Bài giải:

Ta biến đổi giả thiết:

ab+bc+ca=abc\Leftrightarrow\frac1a+\frac1b+\frac1c=1

Ta có:

\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}=\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{2}{b^2}}+\sqrt{\frac{1}{b^2} + \frac{2}{c^2}}+\sqrt{\frac{1}{c^2} + \frac{2}{a^2}}

Sử dụng bất đẳng thức Mincopxki ta có:

\begin{aligned}
&\small\sqrt{\frac{1}{a^2}+\left(\frac{\sqrt2}{b}\right)^2}+\sqrt{\frac{1}{b^2}+\left(\frac{\sqrt2}{c}\right)^2}+\sqrt{\frac{1}{c^2}+\left(\frac{\sqrt2}{a}\right)^2} \ge \sqrt{\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)^2 +2\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)^2}\\
&\text{Mà: }\frac1a+\frac1b+\frac1c =1 \Rightarrow \frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac} \ge\sqrt3
\end{aligned}

Dạng 2: Giải bài tập số phức

Cho số phức:

z=a+bi\ (a,b\in\R) \text{ thỏa mãn } |z-4-3i|=|\overline{z}-2+1|

Các em hãy tính giá trị biểu thức:

P = a^2 + b^2 \text{ khi }| z + 1 - 3i | + | z - 1 + i | \text{ đạt giá trị nhỏ nhất.}

Bài giải:

Từ giả thiết ta có:

\small \begin{aligned}
(a-4)^2 + (b-3)^2 &= (a-2)^2 + (1-b)^2 ⇔ b = 5-a\\
|z+1-3i|+|z-1+i|&=\sqrt{(a+1)^2+(b-3)^2}+\sqrt{(a-1)^2+(b+1)^2}\\
&=\sqrt{(a+1)^2+(2-a)^2}+\sqrt{(a-1)^2+(6-a)^2}\\
&=\sqrt{2a^2-2a+5}+\sqrt{2a^2-14a+37}\\
&=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt2}-\sqrt2a \right)^2+\left(\sqrt{\frac92}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt2a-\frac{7}{\sqrt2}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{25}{2}}\right)^2}\\
&=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt2}-\sqrt2a+\sqrt2a-\frac{7}{\sqrt2} \right)^2+ \left(\sqrt{\frac92}+\sqrt{\frac{25}{2}} \right)^2}=5\sqrt2
\end{aligned}

Dấu bằng xảy ra khi:

\frac{\frac{1}{\sqrt2}-\sqrt2a}{\sqrt2a-\frac{7}{\sqrt2}}=\frac{\sqrt{\frac92}}{\sqrt{\frac{25}{2}}}\Leftrightarrow 
\begin{cases}a=\frac{13}{8}\\b=\frac{27}{8}\end{cases} \Rightarrow P=\frac{13^2+27^2}{8^2}=\frac{449}{32}

Dạng 3: Giải bài tập hình học tọa độ

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y – 1)2 + z2 = 25 và 2 điểm A(7;9;0), B(0;8;0). Điểm M là một điểm di động trên mặt cầu (S). Các em hãy tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: MA + 2MB.

Bài giải:

Với M(x;y;z) ∈ (S) ⇒ (x – 1)2 + (y – 1)2 + z2 = 25

Khi đó:

\small \begin{aligned}
MA+2MB&=\sqrt{(x-7)^2+(y-9)^2+z^2}+2\sqrt{x^2+(y-8)^2+z^2}\\
&=\sqrt{(x-7)^2+(y-9)^2+z^3+3[(x-1)^2+(y-1)^2+z^2-25]}+2\sqrt{x^3+(y-8)^2+z^2}\\
&=2\left[\sqrt{\left(\frac52-x \right)^2+(3-y)^2+(-z)^2}+\sqrt{x^2+(y-8)^2+z^2}\right]\\
&\ge 2\sqrt{\left( \frac52-x+x\right)^2+(3-y+8-y)^2+(-z+z)^2}=5\sqrt5
\end{aligned}

Dấu bằng xảy ra khi:

\begin{cases} \frac{\frac52-x}{x}=\frac{3-y}{y-8}=k >0\\ z=0\\ (x-1)^2+(y-1)^2+z^2=25 \end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} x=1\\ y=6\\z=0\end{cases}\Leftrightarrow M(1;6;0)

Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education

Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Các khóa học online tại Marathon Education

 

Như vậy, bài viết này của Marathon Education đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Mincopxki. Bằng những bài tập cụ thể, anh chị hy vọng có thể giúp các em biết cách ứng dụng bất đẳng thức Mincopxki khi làm các bài tập. Các em hãy dựa vào những hướng dẫn trên để luyện tập và giải thành thạo những dạng toán bất đẳng thức liên quan nhé.

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM