Bất Đẳng Thức Mincopxki Và Bài Tập Vận Dụng Có Đáp Án Chi Tiết

Vy - 28/02/2022

Trong chương trình Toán học phổ thông, chuyên đề bất đẳng thức là mảng kiến thức “khó nhằn” với rất nhiều dạng bài khác nhau. Để giải chính xác các dạng bài tập này, các em cần biết vận dụng các bất đẳng thức cơ bản một cách hợp lý. Trong đó, bất đẳng thức Mincopxki được xem là một “trợ thủ đắc lực” hỗ trợ các em giải quyết các bài tập giải phương trình, bất phương trình chứa căn hay chứng minh bất đẳng thức. Trong bài viết này, Marathon Education sẽ chia sẻ đến các em nội dung về bất đẳng thức Mincopxki và những bài tập vận dụng.

>>> Xem thêm:

Bất Đẳng Thức Cosi Và Bài Tập Vận Dụng Có Đáp Án Chi Tiết

Dạng Bài Tập Và Cách Giải Bất Phương Trình Toán Lớp 10

Giải Bất Phương Trình Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối

Bất đẳng thức Mincopxki

Dạng tổng quát

Cho 2 dãy số thực: a1, a2,…, an và b1, b2,…, bn, ta luôn có:

\sqrt{a^2_1+b^2_1}\ +\sqrt{a^2_2+b^2_2}\ +...+\sqrt{a^2_n+b^2_n}\ge\sqrt{(a_1+a_2+...+a_n)^2+(b_1+b_2+...+b_n)^2}

Dấu bằng của đẳng thức xảy ra khi:

\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}

Quy ước: Nếu b1 = 0 thì a1 = 0, tương tự với b2, b3,.., bn.

>>> Xem thêm: Tổng Hợp Các Kí Hiệu Trong Toán Học Phổ Biến Đầy Đủ Và Chi Tiết

Dạng cụ thể

Dạng 1: Cho a, b, c, d ∈ R, ta có:

\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}

Dấu bằng của đẳng thức xảy ra khi:

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}

Dạng 2: Cho a, b, c, d, e, f ∈ R, ta có:

\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{e^2+f^2}\ge \sqrt{(a+c+e)^2+(b+d+f)^2}

Dấu bằng của đẳng thức xảy ra khi:

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}

Các em chú ý bất đẳng thức Mincopxki cũng được xem là hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

chương trình học thử

Chứng minh bất đẳng thức Mincopxki 

Chứng minh rằng, với mọi a, b, x, y ∈ R ta luôn có bất đẳng thức sau:

\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}\ge \sqrt{(a+b)^2+(x+y)^2}

Bài giải:

Các em thực hiện bình phương 2 vế và biến đổi tương đương:

\begin{aligned}
&\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}\ge \sqrt{(a+b)^2+(x+y)^2}\\
&\Leftrightarrow a^2+x^2+b^2+y^2+2\sqrt(a^2+x^2)(b^2+y^2)\ge a^2+x^2+b^2+y^2+2ab+2xy\\
&\Leftrightarrow 2\sqrt{(a^2+x^2)(b^2+y^2)}\ge 2ab+2xy\\
&\Leftrightarrow \sqrt{(a^2+x^2)(b^2+y^2)}\ge ab+xy \ (*)
\end{aligned}
  • Nếu ab + xy ≤ 0 thì (*) luôn đúng.
  • Nếu ab + xy > 0 thì (*) ⇔ (a2 + x2) (b2 + y2) ≥ (ab + xy)2 ⇔ (bx – ay)2 ≥ 0 luôn đúng.

Vậy dấu bằng của đẳng thức xảy ra khi bx = ay.

Chú ý: Các em cũng có thể chứng minh bất đẳng thức trên bằng cách sử dụng bất đẳng thức vectơ như sau: 

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Đặt }\vec{u}=(a;x) \text{ và }\vec{v}=(b;y). \text{ Khi đó }\vec{u}+\vec{v}=(a+b;x+y).\\
&\footnotesize \text{Từ bất đẳng thức véc tơ }|\vec{u}+\vec{v}|\le |\vec{u}|+|\vec{v}| \text{ và công thức độ dài vectơ ta có ngay điều phải chứng minh.}
\end{aligned}

Nếu áp dụng 2 lần bất đẳng thức đẳng thức đã cho ở trên ta có bất đẳng thức Mincopxki cho 6 số như sau:

\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}+\sqrt{c^2+z^2}\ge\sqrt{(a+b+c)^2+(x+y+z)^2}

với a, b, c, x, y, z ∈ R

Ứng dụng bất đẳng thức Mincopxki để giải bài tập

Dạng 1: Giải bài tập bất phương trình

Ví dụ: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc

Các em hãy ứng dụng bất đẳng thức Mincopxki để chứng minh:

\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}\ge\sqrt3

Bài giải:

Ta biến đổi giả thiết:

ab+bc+ca=abc\Leftrightarrow\frac1a+\frac1b+\frac1c=1

Ta có:

\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}=\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{2}{b^2}}+\sqrt{\frac{1}{b^2} + \frac{2}{c^2}}+\sqrt{\frac{1}{c^2} + \frac{2}{a^2}}

Sử dụng bất đẳng thức Mincopxki ta có:

\begin{aligned}
&\small\sqrt{\frac{1}{a^2}+\left(\frac{\sqrt2}{b}\right)^2}+\sqrt{\frac{1}{b^2}+\left(\frac{\sqrt2}{c}\right)^2}+\sqrt{\frac{1}{c^2}+\left(\frac{\sqrt2}{a}\right)^2} \ge \sqrt{\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)^2 +2\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)^2}\\
&\text{Mà: }\frac1a+\frac1b+\frac1c =1 \Rightarrow \frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac} \ge\sqrt3
\end{aligned}

Dạng 2: Giải bài tập số phức

Cho số phức:

z=a+bi\ (a,b\in\R) \text{ thỏa mãn } |z-4-3i|=|\overline{z}-2+1|

Các em hãy tính giá trị biểu thức:

P = a^2 + b^2 \text{ khi }| z + 1 - 3i | + | z - 1 + i | \text{ đạt giá trị nhỏ nhất.}

Bài giải:

Từ giả thiết ta có:

\small \begin{aligned}
(a-4)^2 + (b-3)^2 &= (a-2)^2 + (1-b)^2 ⇔ b = 5-a\\
|z+1-3i|+|z-1+i|&=\sqrt{(a+1)^2+(b-3)^2}+\sqrt{(a-1)^2+(b+1)^2}\\
&=\sqrt{(a+1)^2+(2-a)^2}+\sqrt{(a-1)^2+(6-a)^2}\\
&=\sqrt{2a^2-2a+5}+\sqrt{2a^2-14a+37}\\
&=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt2}-\sqrt2a \right)^2+\left(\sqrt{\frac92}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt2a-\frac{7}{\sqrt2}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{25}{2}}\right)^2}\\
&=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt2}-\sqrt2a+\sqrt2a-\frac{7}{\sqrt2} \right)^2+ \left(\sqrt{\frac92}+\sqrt{\frac{25}{2}} \right)^2}=5\sqrt2
\end{aligned}

Dấu bằng xảy ra khi:

\frac{\frac{1}{\sqrt2}-\sqrt2a}{\sqrt2a-\frac{7}{\sqrt2}}=\frac{\sqrt{\frac92}}{\sqrt{\frac{25}{2}}}\Leftrightarrow 
\begin{cases}a=\frac{13}{8}\\b=\frac{27}{8}\end{cases} \Rightarrow P=\frac{13^2+27^2}{8^2}=\frac{449}{32}

Dạng 3: Giải bài tập hình học tọa độ

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y – 1)2 + z2 = 25 và 2 điểm A(7;9;0), B(0;8;0). Điểm M là một điểm di động trên mặt cầu (S). Các em hãy tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: MA + 2MB.

Bài giải:

Với M(x;y;z) ∈ (S) ⇒ (x – 1)2 + (y – 1)2 + z2 = 25

Khi đó:

\small \begin{aligned}
MA+2MB&=\sqrt{(x-7)^2+(y-9)^2+z^2}+2\sqrt{x^2+(y-8)^2+z^2}\\
&=\sqrt{(x-7)^2+(y-9)^2+z^3+3[(x-1)^2+(y-1)^2+z^2-25]}+2\sqrt{x^3+(y-8)^2+z^2}\\
&=2\left[\sqrt{\left(\frac52-x \right)^2+(3-y)^2+(-z)^2}+\sqrt{x^2+(y-8)^2+z^2}\right]\\
&\ge 2\sqrt{\left( \frac52-x+x\right)^2+(3-y+8-y)^2+(-z+z)^2}=5\sqrt5
\end{aligned}

Dấu bằng xảy ra khi:

\begin{cases} \frac{\frac52-x}{x}=\frac{3-y}{y-8}=k >0\\ z=0\\ (x-1)^2+(y-1)^2+z^2=25 \end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} x=1\\ y=6\\z=0\end{cases}\Leftrightarrow M(1;6;0)

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

 

 

 

Như vậy, bài viết này của Marathon Education đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Mincopxki. Bằng những bài tập cụ thể, anh chị hy vọng có thể giúp các em biết cách ứng dụng bất đẳng thức Mincopxki khi làm các bài tập. 

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học trực tuyến nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM