Lý thuyết Toán 12: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

\begin{aligned}
&\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=+\infin\\
&\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=-\infin\\
&\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=+\infin\\
&\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=-\infin\\
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\lim\limits_{x\to +\infin}f(x)=b\\
&\lim\limits_{x\to-\infin}f(x)=b\\
\end{aligned}

\begin{aligned}
\left[ \begin{array}{c}
\lim\limits_{x\to +\infin}[f(x)-(ax+b)]=0\\\lim\limits_{x\to -\infin}[f(x)-(ax+b)]=0
\end{array}\right.
\end{aligned}

\begin{cases}
a=\lim\limits_{x\to +\infin}\frac{f(x)}{x}\\
b=\lim\limits_{x\to +\infin}[f(x)-ax]
\end{cases} \text{ hoặc }
\begin{cases}
a=\lim\limits_{x\to -\infin}\frac{f(x)}{x}\\
b=\lim\limits_{x\to -\infin}[f(x)-ax]
\end{cases} 

y=\frac{ax+b}{cx+d}

\begin{aligned}
&\small\text{Để hàm số trên tồn tại các đường tiệm cận thì hàm số phải thỏa mãn điều kiện: } c ≠ 0 \text{ và } ad\ – \ bc ≠ 0\\
&\small\text{Khi đó ta sẽ được các đường tiệm cận đứng }x=-\frac{d}{c} \text{ và đường tiệm cận ngang }y=\frac{a}{c}.
\end{aligned}

y=\frac{2x-1}{x+2}

\begin{aligned}
&\small\text{TXĐ: } D=\R \setminus \{-2\}\\
&\small\text{Ta có: }\\
&\lim\limits_{x\to -\infin}y=\lim\limits_{x\to -\infin}\frac{2x-1}{x+2}=2\\
&\lim\limits_{x\to +\infin}y=\lim\limits_{x\to +\infin}\frac{2x-1}{x+2}=2\\
&\small\text{Vậy hàm số trên có đường tiệm cận ngang là }y = 2.\\
&\small\text{Ta có: }\\
&\lim\limits_{x\to (-2)^-}y=\lim\limits_{x\to (-2)^-}\frac{2x-1}{x+2}=-\infin\\
&\lim\limits_{x\to (-2)^+}y=\lim\limits_{x\to (-2)^+}\frac{2x-1}{x+2}=+\infin\\
&\small\text{Vậy hàm số trên có đường tiệm cận đứng là }x = -2.
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\small \text{Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số }y=\frac{A}{f(x)} \text{ với A là số thực khác 0 và f(x) là đa thức bậc n}\\
&\small \text{(n> 0).}\\
&\small \bull\text{Đồ thị hàm số } y=\frac{A}{f(x)} \text{ luôn có một tiệm cận ngang y = 0.}\\
&\small \bull\text{Tiệm cận đứng của hàm số } y=\frac{A}{f(x)} \text{là } x = x_0 \text{ nếu như thỏa mãn điều kiện }x_0 \text{ là nghiệm của}\\
&\small \text{đa thức }f(x) \text{ hay } f(x) = 0.\\
&\small \bull\text{Tiệm cận của }y=\frac{f(x)}{g(x)}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\small \text{Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số }y=\frac{f(x)}{g(x)}, \text{trong đó f(x) và g(x) là các đa thức bậc khác 0.}\\
&\small \bull\text{Hàm số } y=\frac{f(x)}{g(x)} \text{có tiệm cận ngang nếu như thỏa mãn điều kiện bậc đa thức f(x) nhỏ hơn bậc }\\
&\small \text{của đa thức g(x).}\\
&\small \bull\text{Để đường thẳng }x = x_0 \text{ trở thành tiệm cận đứng của đồ thị hàm số }y=\frac{f(x)}{g(x)} \text{ thì }x_0 \text{ phải là }\\
&\small \text{ nghiệm của g(x) nhưng không phải của f(x) hoặc đồng thời }x_0 \text{ là nghiệm}\\
&\small \text{bội n của g(x) và nghiệm bội m của f(x) }(m < n).
\end{aligned}

y=\frac{x^2-x+1}{x-1}

\begin{aligned}
&\small\text{TXĐ: } D=\R \setminus \{1\}\\
&\small\text{Ta có: }\\
&\lim\limits_{x\to +\infin}y=\lim\limits_{x\to +\infin}\frac{x^2-x+1}{x-1}=+\infin\\
&\lim\limits_{x\to -\infin}y=\lim\limits_{x\to -\infin}\frac{x^2-x+1}{x-1}=-\infin\\
&\small\text{Vậy hàm số trên không có đường tiệm cận ngang.}\\
&\small\text{Ta có: }\\
&\lim\limits_{x\to 1^+}y=\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{x^2-x+1}{x-1}=+\infin\\
&\lim\limits_{x\to 1^-}y=\lim\limits_{x\to 1^-}\frac{x^2-x+1}{x-1}=-\infin\\
&\small\text{Vậy hàm số trên có đường tiệm cận đứng là }x = 1
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\small\bull \text{Trong tập xác định D của hàm số phải chứa ít nhất một trong hai kí hiệu -∞ hoặc +∞ }\\
&\small\bull \text{Một trong 2 giới hạn }\lim\limits_{x\to -\infin}y \text{ hoặc }\lim\limits_{x\to +\infin}y \text{ hữu hạn.}
\end{aligned}

y=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}

\begin{aligned}
&\small\text{TXĐ: } D=\R \setminus \{0\}\\
&\small\text{Ta có: }\\
&\lim\limits_{x\to +\infin}y=\lim\limits_{x\to +\infin}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=-1\\
&\lim\limits_{x\to -\infin}y=\lim\limits_{x\to -\infin}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=-1\\
&\small\text{Vậy đường thẳng }y = -1 \text{ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.}\\
&\small\text{Ta có: }\\
&\lim\limits_{x\to 0^+}y=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=+\infin\\
&\lim\limits_{x\to 0^-}y=\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=-\infin\\
&\small\text{Vậy hàm số trên có đường tiệm cận đứng là }x = 0
\end{aligned}

y=1+\sqrt{1-x^2}

y=1+\sqrt{1-x^2} \Leftrightarrow\begin{cases}-1 \le x\le 1\\ y\ge 1 \\ x^2+(y-1)^2=1\end{cases}