Bất Phương Trình Mũ Và Bất Phương Trình Lôgarit – Lý Thuyết Toán 12

Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit là 2 lý thuyết cơ bản mà các em cần nắm vững vì các kiến thức này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và bài thi đại học. Vậy cụ thể bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit lý thuyết gồm những gì và các dạng bài tập nào? Các em hãy cùng Marathon Education tìm hiểu ngay trong bài viết sau.

>>> Xem thêm: Dạng Bài Tập Và Cách Giải Bất Phương Trình Toán Lớp 10

Bất phương trình mũ và lôgarit lý thuyết

Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ có dạng cơ bản là a^x > b (hoặc a^x ≥ b, a^x < b, a^x ≤ b). Trong đó a, b là 2 số đã cho, với a > 0 và a ≠ 1. 

Các em sẽ giải bất phương trình mũ cơ bản bằng cách lôgarit hóa và sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số lôgarit. Ta xét bất phương trình dạng a^x > b như sau: 

• Nếu b ≤ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là D = R vì a^x > 0 ≥ b, ∀x ∈ R.
• Nếu b > 0 thì bất phương trình sẽ tương đương với a^x > a^log_ab.
  • Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > log_ab.
  • Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < log_ab.

Bất phương trình lôgarit cơ bản

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng là log_ax > b (hoặc log_ax < b; log_ax ≥ b; log_ax ≤ b). Trong đó ta có a, b là hai số đã cho và a > 0, a ≠ 1. 

Ta giải bất phương trình lôgarit cơ bản theo cách mũ hóa dựa trên cơ sở sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ. Ta xét bất phương trình log_ax > b theo 2 trường hợp như sau: 

• a > 1, ta có log_ax > b ⇔ x > a^b 
• 0 < a < 1, ta có log_ax > b ⇔ 0 < x < a^b

Lưu ý: Các bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit cơ bản trong trường hợp b = a^x và b = log_aa thì có thể sử dụng được tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số lôgarit để giải. Các em không cần mũ hóa hay lôgarit hóa.

• Nếu a > 1 thì a^x > a^a ⇔ x > a.
• Nếu 0 < a < 1 thì log_ax > log_aa ⇔ 0 < x < a.

>>> Xem thêm: Cách giải phương trình logarit nhanh và chính xác nhất

Cách giải bài tập về bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Sau khi tìm hiểu về lý thuyết cơ bản, chúng ta sẽ thực hành dưới dạng bài tập để góp phần củng cố kiến thức hơn. 

Cách giải bất phương trình mũ

• Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

a^{f(x)}>a^{g(x)} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
\begin{cases} 0< a <1 \\ f(x)< g(x) \end{cases}\\
\begin{cases} a>1 \\ f(x)> g(x) \end{cases}
\end{array} \right.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình mũ 2^-x2+3x < 4 

\begin{aligned} &2^{-x^2+3x}<2^2 ⇔ -x^2 + 3x < 2 ⇔ x^2 - 3x + 2 > 0 ⇔ x < 1 \text{ hoặc }x > 2\\
& \text{Vậy S = }(-∞; 1) ∪ (2; +∞). \end{aligned}

Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau:

\left(\frac79\right)^{2x^2-3x} \ge \frac79 

\begin{aligned} &\left(\frac79\right)^{2x^2-3x} \ge \frac79\\ ⇔\ &\left(\frac79\right)^{2x^2-3x} \ge \left(\frac79\right)^1  \\⇔\ &2x^2 - 3x ≤ 1 \\⇔\ &2x^2 - 3x + 1 ≤ 0 \\⇔\ &12 ≤ x ≤ 1\\
&\text{Vậy S = }[12 ;1].
\end{aligned}

• Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

αa^2f(x) + βa^f(x) + λ = 0. Đặt t = a^f(x), (t > 0).

Ví dụ: Giải bất phương trình 4^x – 3.2^x + 2 > 0.

Đặt t = 2^x (t > 0 ), ta được bất phương trình:

t² – 3t + 2 > 0 ⇔ 0 < t < 1 hoặc t > 2 ⇔ 0 < 2^x < 1 hoặc 2^x > 2 ⇔ x < 0 hoặc x > 1.

Vậy S = (-∞; 0) Ս (1; +∞).

• Dạng 3: Phương pháp lôgarit hóa

\begin{aligned}
&a^{f(x)}>b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
\begin{cases} 0< a <1 \\ f(x)< log_ab \end{cases}\\
\begin{cases} a>1 \\ f(x)> log_ab \end{cases}
\end{array} \right.\\
&a^{f(x)}>b^{g(x)} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
\begin{cases} 0< a <1 \\ f(x)< g(x).log_ab \end{cases}\\
\begin{cases} a>1 \\ f(x)> g(x).log_ab \end{cases}
\end{array} \right.
\end{aligned}

Ví dụ: Giải bất phương trình 2^x-1 > 3

2^x-1 > 3 ⇔ log₂2^x-1 > log₂3 ⇔ x – 1 > log₂3 ⇔ x > log₂3 + 1 ⇔ x > log₂6

Vậy S = (log₂6; +∞).

Cách giải bất phương trình lôgarit

• Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

log_af(x)>log_ag(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
\begin{cases} 0< a <1 \\ f(x)< g(x)\end{cases}\\
\begin{cases} a>1 \\ f(x)> g(x) \end{cases}
\end{array} \right.\\

Ví dụ 1: Giải bất phương trình logarit log₈(4 – 2x) ≥ 2.

log₈(4 – 2x) ≥ 2 ⇔ 4 – 2x >= 8² ⇔ 2x ≤ -60 ⇔ x ≤ -30. 

Vậy S = (-∞; -30]

Ví dụ 2: Giải bất phương trình log_0,5(3x – 5) > log_0,5 (x + 1).

\begin{aligned}
&log_{0,5}(3x - 5) > log_{0,5} (x + 1) \\
⇔\ &\begin{cases}3x - 5>0\\ 3x - 5< x + 1\end{cases}\\
⇔\ &\begin{cases}x>\frac53\\ x<3\end{cases}\\
⇔\ &\frac53 < x <3\\
&\text{Vậy S }= \left(\frac53; 3\right).
\end{aligned}

• Dạng 2: Phương pháp mũ hóa

Với 0 < a ≠ 1.

log_af(x) = g(x) ⇔ f(x) = a^g(x)

Ví dụ: Giải phương trình log₅(5^x – 4 ) = 1 – x

\begin{aligned}
&log_5(5^x - 4 ) = 1 - x\\
&\text{ĐK: }5^x-4>0 ⇔x>log_54\\
⇔\ &log_5(5x - 4 ) = 1 - x ⇔ 5^x-4 = 5^{1- x}\\
⇔\ &\begin{cases} t=5^x>0 \\ t-4=\frac5t\end{cases}\\
⇔\ &\begin{cases} t=5^x \\ t^2-4t-5=0\end{cases}\\
⇔\ &\begin{cases} t=5^x \\ t=5\end{cases}⇔x=1\\
&\text{Vậy phương trình có nghiệm là }x=1
\end{aligned}

Giải bài tập sách giáo khoa

Bài 6 trang 87 SGK Toán Giải tích 12

\text{Giải bất phương trình}\space 2^x+2^{-x}-3 < 0

\begin{aligned}
&\text{Đặt}\space 2^x=1.\space ĐK:t>0.\space \text{Ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình}:\\
& t+\frac{1}{t}-3<0\\
&\Leftrightarrow \frac{t^2-3t+1}{t}<0\\
&\Leftrightarrow  t^2-3t+1<0 (do\space t>0)\\
&\Leftrightarrow \frac{3-\sqrt5}{2} < t <\frac{3-\sqrt5}{2}\\
&\Leftrightarrow log_2\frac{3-\sqrt5}{2}< x< log_2\frac{3+\sqrt5}{1}
\end{aligned}

Bài 1 trang 89 SGK Toán Giải Tích 12

a.

\begin{aligned}
& 2^{-x^2+3x}<4\\
&\Leftrightarrow 2^{-x^2+3x}<2^2\\
&\Leftrightarrow -x^2+3x<2\\
&\Leftrightarrow x^2-3x+2>0\\
&x<1\space hoặc\space x>2
\end{aligned}

b.

\begin{aligned}
&\bigg(\frac{7}{9}\bigg)^{2x^2-3x}\ge\frac{9}{7}\\
&\Leftrightarrow2x^2-3x\le log_{\frac{7}{9}} \bigg(\frac{9}{7}\bigg)\\
&\Leftrightarrow2x^2-3x\le -1\\
&\Leftrightarrow2x^2-3x+1\le 0\\
&\Leftrightarrow\frac{1}{2}\le x\le1

\end{aligned}

c.

\begin{aligned}
&4^x-3.2^x+2>0\\
&\Leftrightarrow (2^x)^2 -3.2x+2>0\\
&\text{Bất phương trình bậc 2 ẩn}\space 2^x\\
&\Leftrightarrow 2^x>2\space hoặc\space 2^x<1\\
&\Leftrightarrow x>1\space hoặc\space x>0\\
&\text{Vậy bất phương trình có tập nghiệm} S=(-\infin;0)U(1,+\infin)
\end{aligned}

Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education

Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Các khóa học online tại Marathon Education

Trên đây là chia sẻ về các kiến thức cơ bản về bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập thường gặp. Hy vọng với các thông tin hữu ích này sẽ giúp các em có thêm tự tin trong việc học môn Toán. Chúc các em học tốt và đạt được nhiều thành tích cao!