Hàm Số Lượng Giác – Lý Thuyết Và Các Công Thức Lượng Giác Đầy Đủ Nhất

\begin{aligned}
& sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1
\\
& tan\alpha.cot\alpha = 1\left( \alpha {=}\mathllap{/\,} k \frac{\pi}{2} \right), k \in\Z
\\
& 1 + tan^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha} \left(\alpha  {=}\mathllap{/\,} \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \Z \right)
\\
& 1 + cot^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha} ( \alpha {=}\mathllap{/\,} k\pi, k \in \Z)
\\
& tan\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} \ ; \ cot\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx\\
&\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}-x)=sinx\\
&\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}-x)=cotx\\
&\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}-x)=tanx
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}+x)=cosx\\
&\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}+x)=-sinx\\
&\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}+x)=-cotx\\
&\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}+x)=-tanx
\end{aligned}

\begin{aligned}
& sin(a \pm b) = sina.cosb\plusmn sinb.sina
\\
& cos(a\pm b) = cosa.cosb \pm sina.sinb
\\
& tan(a\pm b) = \frac{tana\pm tanb}{1\pm tana.tanb}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&sin2\alpha=2sin\alpha.cos\alpha
\\
&\begin{aligned}
cos2\alpha
&=cos^2\alpha-sin^2\alpha\\
&=2cos^2\alpha-1\\
&=1-2sin^2\alpha
&\end{aligned}\\
&tan2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-2tan^2\alpha}\\
&cot2\alpha=\frac{cot^2\alpha-1}{2cot\alpha}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&sin3\alpha=3sin\alpha-4sin^3\alpha\\
&cos3\alpha=4cos^3\alpha-3cos\alpha\\
&tan3\alpha=\frac{3tan\alpha-tan^3\alpha}{1-3tan^2\alpha}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\begin{matrix}
sin^2\alpha=\frac{1-cos2\alpha}{2} & cos^2\alpha=\frac{1+cos2\alpha}{2}
\\
sin^3\alpha=\frac{3sin\alpha-sin3\alpha}{4} & cos^3\alpha=\frac{3cos\alpha+cos3\alpha}{4}
\end{matrix}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&sinx+cosx=\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\\
&sinx-cosx=\sqrt{2}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\\
&cosx-sinx=\sqrt{2}sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)
\end{aligned}

\begin{aligned}
&Đặt\ t=tan\frac{x}{2} \ (với  \ t ≠\pi+k2\pi, \ k\in\Z)\\
&sinx=\frac{2t}{1+t^2} \ \ \ \ \ \ \ cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2} \ \ \ \ \ \ \ tanx=\frac{2t}{1-t^2}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&cosa+cosb=2cos\frac{a+b}{2}.cos\frac{a-b}{2}\\
&cosa-cosb=-2sin\frac{a+b}{2}.sin\frac{a-b}{2}\\
&sina+sinb=2sin\frac{a+b}{2}.cos\frac{a-b}{2}\\
&sina-sinb=2cos\frac{a+b}{2}.sin\frac{a-b}{2}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&cosa.cosb=\frac{1}{2}\lbrack cos(a-b)+cos(a+b) \rbrack\\
&sina.sinb=\frac{1}{2}\lbrack cos(a-b)-cos(a+b)\rbrack\\
&sina.cosb=\frac{1}{2}\lbrack sin(a-b)+sin(a+b)\rbrack\\
\end{aligned}

\begin{aligned}
&sin^3\alpha+cos^3\alpha=(sin\alpha+cos\alpha)(1-sin\alpha cos\alpha)\\
&sin^3\alpha-cos^3\alpha=(sin\alpha-cos\alpha)(1+sin\alpha cos\alpha)\\
&sin^4\alpha+cos^4\alpha=1-2sin^2\alpha cos^2\alpha\\
&sin^4\alpha-cos^4\alpha=sin^2\alpha-cos^2\alpha=-cos2\alpha\\
&sin^6\alpha+cos^6\alpha=1-3sin^2\alpha cos^2\alpha\\
&sin^6\alpha-cos^6\alpha =-cos2\alpha(1-sin^2\alpha cos^2\alpha)
\end{aligned}

\begin{aligned}
\begin{matrix}
sin^2a=\frac{1-cos2a}{2} & cos^2a=\frac{1+cos2a}{2}\\
sin^3a=\frac{3sina-sin3a}{4}& cos^3a=\frac{3cosa+cos3a}{4}
\end{matrix}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&tana-tanb=\frac{-sin(a-b)}{cosacosb}\\
&cota+cotb=\frac{sin(a+b)}{sinasinb}\\
&cota-cotb=\frac{-sin(a-b)}{sinasinb}\\
&tana+cotb=\frac{sin(a-b)}{cosasinb}\\
&tana+cota=\frac{2}{2sin2a}\\
&cota-tanb=\frac{cos(a+b)}{sinacosb}\\
&cota-tana=2cot2a
\end{aligned}

\begin{aligned}
&1.sinA+sinB+sinC=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}\\
&2.sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC\\
&3.cosA+cosB+cosC=1+4sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\\
&4.cos2A+cos2B+cos2C+-1-4cosAcosBcosC\\
&5.cosacos(\frac{\pi}{3}-a)cos(\frac{\pi}{3}+a)=\frac{1}{4}cos3a\\
&6.sinasin(\frac{\pi}{3}-a)sin(\frac{\pi}{3}+a)=\frac{1}{4}sin3a\\
&7.tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC\\
&8.tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}+tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}+tan\frac{C}{2}tan\frac{A}{2}=1\\
&9.cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1\\
&10.cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2}+cot\frac{C}{2}=cot\frac{A}{2}cot\frac{B}{2}cot\frac{C}{2}\\
&11.sinA+sinB+sinC\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\\
&12.sin\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2}\le\frac{3}{2}\\
&13.cosA+cosB+cosC\le\frac{3}{2}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\footnotesize\bull\text{Hàm số y = sin x đồng biến trên }[0;\frac{\pi}{2}] \text{ và nghịch biến trên }[\frac{\pi}{2};\pi].\\
&\footnotesize\bull\text{Như đã đề cập, y = sinx là hàm số lẻ nên khi lấy đối xứng đồ thị hàm số }\\
&\footnotesize\text{này trên đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O, ta sẽ thu được đồ thị hàm số trên}\\
 &\footnotesize\text{đoạn [–π; 0].}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\footnotesize\bull\text{Trên tập xác định R, khi tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số trên đoạn [–π; π]}\\
&\footnotesize\text{theo các vectơ } \vec{v}=(2\pi;0) \text{ và } -\vec{v}=(-2\pi;0) \text{, ta sẽ có dạng đồ thị hàm số }\\
&\footnotesize\text{y = sinx như bên dưới (với tập giá trị xác định của hàm số y = sin x là [–1; 1]).}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\footnotesize\bull\text{Để có được đồ thị hàm số y = cosx, ta tiến hành tịnh tiến đồ thị hàm số }\\
&\footnotesize\text{y = sinx theo vectơ  } \vec{u}=(-\frac{-\pi}{2};0)
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\footnotesize\bull\text{Theo hình vẽ, hàm số y = cosx đồng biến trên [–π; 0] và nghịch biến trên}\\
&\footnotesize\text{[0; π], với tập giá trị xác định là [–1; 1].}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Công thức để xác định hàm số tang là }y=\frac{sinx}{cosx} \ (cosx \not =0)\footnotesize\text{.  Ký hiệu của }\\
&\footnotesize\text{hàm số tang: y = tanx.}\\
&\footnotesize\text{Không giống với hàm số sin và côsin, tập xác định của hàm số tang được ký}\\
&\footnotesize\text{hiệu là D với D = R}\setminus\left \lbrace\frac{\pi}{2}+k\pi, \ k\in\Z\right \rbrace.\\

\end{aligned}

\begin{aligned}
&\footnotesize\bull\text{Đồ thị hàm số tang có tâm đối xứng chính là gốc tọa độ O. Dạng đồ thị này }\\
&\footnotesize\text{sẽ đồng biến trên }[0; \frac{\pi}{2}] \text{. Vì thế, khi lấy đối xứng qua tâm O đồ thị hàm số}\\
&\footnotesize\text{y = tanx trên }[0; \frac{\pi}{2}], \text{ta sẽ thu được đồ thị hàm số y = tanx trên }[\frac{-\pi}{2}; 0].\\
&\footnotesize\bull\text{Ngoài ra, để xác định đồ thị hàm số y = tanx trên D, ta tiến hành tịnh tiến đồ }\\
&\footnotesize\text{thị hàm số trên khoảng }(\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \ \text{song song với trục hoành sao cho từng đoạn }\\
&\footnotesize\text{có độ dài = π, ta được kết quả như sau:}\\
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Hàm số côtang có ký hiệu là y = cotx và được xác định bằng công thức }\\
&\footnotesize y=\frac{cosx}{sinx} \ (sin x \not= 0).\\
&\footnotesize\text{Đây là hàm số lẻ và có tập xác định là D, với }
D = R\setminus \lbrace kπ, k ∈ Z\rbrace.
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\small\fracπ6;\fracπ4;1,5;2;3,1;4,25;5\\
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\small\fracπ6;\fracπ4;1,5;2;3,1;4,25;5\\
&\small sin\fracπ6=\frac12\ ;\ cos\fracπ6=\frac{\sqrt3}{2}\\
&\small sin\fracπ4=cos\fracπ4=\frac{\sqrt2}{2}\\
&\small sin1,5=0,9975\ ;\ cos1,5=0,0707\\
&\small sin2=0,9093\ ;\ cos2=-0,4161\\
&\small sin3,1=0,0416\ ;\ cos3,1=-0,9991\\
&\small sin4,25=-0,8950\ ;\ cos4,25=-0,4461\\
&\small sin5=-0,9589\ ;\ cos5=0,2837\\
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\small a)\ y=\frac{1+cosx}{sinx}\\
&\small b)\ y=\sqrt\frac{1+cosx}{1-cosx}\\
&\small c)\ y=tan\left(x-\frac{\pi}{3} \right) \\
&\small d)\ y=cot\left(x+\frac{\pi}{6}\right)
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\small \text{a) Hàm số }y=\frac{1+cosx}{sinx}\text{ xác định khi } sinx≠0⇔ x≠kπ,k∈Z\\
&\small \text{Vậy tập xác định của hàm số là }D=\R \backslash\{kπ,k∈Z\}\\
&\small\text{b) Hàm số }y=\sqrt\frac{1+cosx}{1-cosx}\text{ xác định khi } \frac{1+cosx}{1-cosx} \ge0\\
&\small \frac{1+cosx}{1-cosx} \ge0\text{ với mọi x thỏa mãn }1-cosx\not=0\\
&\small ⇔cosx≠1 ⇔x≠k2π,k∈Z\\
&\small \text{Vậy tập xác định của hàm số là }D=\R \backslash\{k2π,k∈Z\}\\
&\small\text{c) Hàm số }y=tan\left(x-\frac{\pi}{3} \right)\text{ xác định khi } y=cos\left(x-\frac{\pi}{3} \right)\not=0\\
&\small ⇔x-\frac{\pi}{3}≠\frac{\pi}{2}+kπ⇔x≠\frac{5\pi}{6}+kπ,k∈Z\\
&\small \text{Vậy tập xác định của hàm số là }D=\R \backslash\left\{\frac{5\pi}{6}+kπ,k∈Z\right\}\\
&\small\text{d) Hàm số }y=cot\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\text{ xác định khi } y=sin\left(x+\frac{\pi}{6} \right)\not=0\\
&\small ⇔x+\frac{\pi}{6}≠kπ⇔x≠-\frac{\pi}{6}+kπ,k∈Z\\
&\small \text{Vậy tập xác định của hàm số là }D=\R \backslash\left\{-\frac{\pi}{6}+kπ,k∈Z\right\}\\
\end{aligned}

\begin{aligned}
& \small \text{Ta có: } y =
\begin{cases}
sinx \ khi \ sinx \ ≥ \ 0
\\
- sinx \ khi \ sinx \ ≤ \ 0
\end{cases}
\\
& \small \text{Từ đó, dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, ta có thể suy ra đồ thị của hàm số y = |sinx| bằng cách: }
\\
& \small \bull \text{Giữ nguyên phần đồ thị ở phía trên trục Ox (sin x ≥ 0)}
\\
& \small \bull \text{Vẽ phần đồ thị ở phía dưới bằng cách lấy đối xứng phần đồ thị ở phía trên trục Ox (sin x ≤ 0)}
\\
& \small \bull \text{Đồ thị của hàm số y = |sinx| chính là phần liền nét trong hình dưới đây:}
\end{aligned}

\begin{aligned}
& \small \text{a. Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các giá trị của x để cosx = } \frac{1}{2}
\\
& \small \text{b. Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm.}
\end{aligned}

\begin{aligned}
& \small \text{a. Dựa vào đồ thị trên, ta thấy đường thẳng } y = \frac{1}{2} \text{ cắt đồ thị hàm số y = cosx tại các điểm có hoành độ }
\\
& \small \frac{\pi}{3} + k2\pi \text{ và } \frac{-\pi}{3} + k2\pi \ (k \in Z)
\\
& \small \text{Vậy để cosx = } \frac{1}{2}
\\
& \small \iff x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \ (k \in Z)
\\
& \small \text{b. Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx: }
\\
& y = cosx  < 0
\\
& \iff x \in ... \  \cup \left( \frac{-3\pi}{2}; \frac{-\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{5pi}{2}; \frac{7\pi}{2} \right) \cup ...
\\
& \iff x \in \left( \frac{\pi}{2} + k2\pi; \frac{3\pi}{2} + k2\pi \right) (k \in Z)
\end{aligned}