Lý Thuyết Toán 10 Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung

Vy - 21/02/2022

Lý thuyết Toán 10 giá trị lượng giác của một cung là một trong những kiến thức quan trọng mà các em cần nắm vững. Do đó, việc nắm vững những nội dung liên quan đến chủ đề này như định nghĩa, hệ quả, công thức cơ bản,… và các dạng bài tập cơ bản là vô cùng quan trọng. Các em hãy cùng Team Marathon Education tìm hiểu chi tiết về kiến thức này Toán 10 giá trị lượng giác của một cung qua bài viết dưới đây.

>>> Xem thêm: Hàm Số Lượng Giác – Lý Thuyết Và Các Công Thức

Định nghĩa giá trị lượng giác của một cung

Định nghĩa giá trị lượng giác của một cung
Định nghĩa giá trị lượng giác của một cung (Nguồn: Internet)

Trên đường tròn lượng giác tâm O, cho điểm M(x; y) sao cho số đo cung AM = α thì:

\begin{aligned}
&\bullet sinα=\overline{OQ}=y_0\\
&\bullet cosα=\overline{OP}=x_0\\
&\bullet tanα = \frac{sinα}{cosα}\ (cosα ≠ 0)\\
&\bullet cotα = \frac{cosα}{sinα} (sinα ≠ 0)
\end{aligned}

Định nghĩa: Các giá trị sinα, cosα, tanα và cotα là các giá trị lượng giác của một cung. Các em có thể gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục cosin.

Ví dụ: Tính cos (-240o)

Hướng dẫn:

Để tính được giá trị lượng giác của cung AM có số đo α bất kỳ, các em tiến hành thực hiện theo các bước sau:

  • Biểu diễn cung AM trên đường tròn lượng giác tâm O.
  • Xác định tọa độ điểm M, từ đó suy ra các giá trị lượng giác cần tìm.
hướng dẫn giá trị lượng giác
\begin{aligned}
&\text{Ta có: } -240^\circ = 120^\circ  - 360^\circ \\
&\text{Suy ra: }cos(-240^\circ)=cos120^\circ=-\frac{1}{2}
\end{aligned}

Hệ quả giá trị lượng giác của một cung

hệ quả
\begin{aligned}
&\small \text{1. Với sinα và cosα luôn xác định với mọi giá trị α ∈ R, ta có:}\\
&\small\ \ \ \bull sin (α+ 2kπ) = sinα\ (⩝k ∈ Z)\\
&\small\ \ \ \bull cos (α+ 2kπ) = cosα (⩝k ∈ Z)\\
&\small2. \ -1 < sinα ≤ 1, -1 ≤ cosα ≤ 1\\
&\small3. ⩝m ∈ R \text{ và }-1 ≤ m ≤ 1 \text{ đều tồn tại giá trị α và β sao cho }sinα = m\text{ và }cosα = m.\\
&\small \text{4. tanα xác định }⩝α ≠ \frac{π}{2} + kπ\ (k ∈ Z)\\
&\small \text{5. cotα xác định }⩝α ≠ kπ (k ∈ Z)
\end{aligned}

Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Một số giá trị lượng giác của các cung đặc biệt để thể hiện thông qua bảng sau:

giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Giá trị lượng giác của các cung có liên quan

Cung đối nhau

hai cung đối nhau

Vì các điểm cuối của hai cung AM, AM’ đối xứng với nhau qua trục hoành, nên ta có:

\begin{aligned}
&\bull sin (-α) = -sinα\\
&\bull cos (-α) = cosα\\
&\bull tan (-α) = -tanα\\
&\bull
cot (-α) = -cotα

\end{aligned}

Cung bù nhau

Hai cung bù nhau toán 10 giá trị lượng giác của một cung

Vì các điểm cuối của hai cung AM, AM’ đối xứng với nhau qua trục tung, nên ta có:

\begin{aligned}
&\bull sin (\pi-α) = sinα\\
&\bull cos (\pi-α) = -cosα\\
&\bull tan (\pi-α) = -tanα\\
&\bull cot (\pi-α) = -cotα

\end{aligned}

Cung phụ nhau

Hai cung phụ nhau

Các điểm cuối của hai cung đối xứng với nhau qua đường phân giác d của góc xOy, nên ta có:

\begin{aligned}
&\bull sin \left(\frac{\pi}{2}-α\right) = cosα\\
&\bull cos \left(\frac{\pi}{2}-α\right) = sinα\\
&\bull tan \left(\frac{\pi}{2}-α\right) = cotα\\
&\bull cot \left(\frac{\pi}{2}-α\right) = tanα
\end{aligned}

Cung hơn kém nhau π

hai cung hơn kém nhau pi toán 10 giá trị lượng giác cảu môt cung

Các điểm cuối của hai cung đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O, nên ta có:

\begin{aligned}
&\bull sin (α+\pi) = -sinα\\
&\bull cos(α+\pi) = -cosα\\
&\bull tan(α+\pi)= tanα\\
&\bull cot (α+\pi) = cotα
\end{aligned}

Chú ý: Để có thể ghi nhớ các công thức trên một cách dễ dàng, các em có thể học thuộc bí kíp sau “cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém pi”.

Các công thức lượng giác cơ bản

Một số công thức lượng giác cơ bản mà các em có thể tham khảo như:

\begin{aligned}
&\bull sin^2α  + cos^2α = 1\\
&\bull tanα.cotα = 1\\
&\bull 1 + tan^2α = \frac{1}{cos^2α}\\
&\bull 1 + cot^2α = \frac{1}{sin^2α}
\end{aligned}

Ý nghĩa hình học của tan và cotan

Ý nghĩa hình học của tanα

\begin{aligned}
&\small \text{Tanα được biểu diễn trong đường tròn lượng giác bởi độ dài đại số của vectơ } \overrightarrow{AT} \text{ trên trục t’At. }\\
&\small\text{Trục t’At được gọi là trục tan.}
\end{aligned}
Ý nghĩa hình học của tan
Ý nghĩa hình học của tan (Nguồn: Internet)

Ý nghĩa hình học của cotα

\begin{aligned}
&\small \text{Cotα được biểu diễn trong đường tròn lượng giác tâm O bởi độ dài đại số của vectơ }\overrightarrow{BS} \text{ trên trục s’Bs.}\\
&\small\text{Trục s’Bs được gọi là trục cot.}\\
\end{aligned}
Ý nghĩa hình học của cot
Ý nghĩa hình học của cot (Nguồn: Internet)

4 ví dụ minh họa về giá trị lượng giác của một cung

Ví dụ 1:

\text{Cho }sinα = \frac{\sqrt3}{2}\ với\ 0 < α < \frac{π}{2}. \text{ Tính cosα}

Hướng dẫn:

ví dụ 1 toán 10 giá trị lượng giác của một cung
\begin{aligned}
&\text{Ta có: }sin^2α  + cos^2α = 1\\
 &cos^2α = 1 - sin^2α = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\\
&\text{Vì } 0 < α < \frac{π}{2} \text{ nên }cosα > 0 ⟹ cosα = \frac12
\end{aligned}

Ví dụ 2:

\text{Cho }cosα = \frac{\sqrt{11}}{6} \text{ với } \frac{3π}{2} <  α < 2π. \text{ Tính sinα.}

Hướng dẫn:

ví dụ 2 toán 10 giá trị lượng giác của một cung
\begin{aligned}
&\text{Ta có: }sin^2α  + cos^2α = 1\\
&⟹ sin^2α = 1 - cos^2α = 1 - \left(\frac{\sqrt{11}}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}
&⟹ sinα = ± \frac56\\
&\text{Vì }\frac{3π}{2} <  α < 2π \text{ nên } sinα < 0 ⟹ sinα = -\frac56
\end{aligned}

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức B sau đây: 

B = cos (90o – x).sin (180o – x) – sin (90o – x).cos (180o – x)

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức cung bù nhau và cung phụ nhau, ta có:

B = cos (90o – x).sin (180o – x) – sin (90o – x).cos (180o – x)

= sinx.sinx – cosx.(-cosx)

= sin2x + cos2x

= 1

Ví dụ 4:

\text{Tính }cos \frac{-11π}{4}

Hướng dẫn:

\begin{aligned}
&\text{Sử dụng cung đối, ta có: }\\
&cos \frac{-11π}{4} = cos\frac{11π}{4} = cos\left(2π + \frac{3π}{4}\right) = cos \frac{3π}{4} = cos (π - \frac{π}{4}) = - cos \frac{π}{4} = - \frac{\sqrt2}{2}
\end{aligned}

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

 

 

 

Giá trị lượng giác của một cung là một trong những dạng toán liên quan đến việc vận dụng nhiều công thức lượng giác với nhau. Muốn nắm vững lý thuyết và giải tốt dạng bài tập này đòi hỏi các em cần dành nhiều thời gian cho việc học thuộc các giá trị lượng giác của cung đặc biệt và công thức lượng giác cơ bản.

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học trực tuyến nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM