Nguyên Hàm Ln x Là Gì? Tính Nguyên Hàm Ln, Cách Giải Bài Tập

Trong chương trình toán học Giải tích lớp 12, các em sẽ được học về hàm số ln x và cách tính nguyên hàm ln x. Đây cũng là dạng toán thường gặp trong các đề thi học kỳ, đề thi THPTQG. Vì thế, nếu các em muốn có được điểm số tuyệt đối thì cần phải ghi nhớ chính xác lý thuyết và các công thức tính. Trong bài viết này, Marathon Education sẽ cùng các em ôn tập cách tính nguyên hàm ln x và tổng hợp những bài tập cụ thể để các em tham khảo.

Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Một Số Bài Tập Ví Dụ

Nguyên hàm ln x là gì?

Ta có hàm số f(x) xác định trên H. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên H khi F(x)’=f(x), với mọi x trên H. Nguyên hàm ln x được tính như sau:

\begin{aligned}
&\text{Đặt u}=\begin{cases}u=lnx\\dv=dx
\end{cases}\rArr \begin{cases}du=\frac{1}{x}dx\\v=x \end{cases}\\
&\text{Ta có} \intop ln\space xdx=xlnx-\lmoustache dx=xlnx-x+C
\end{aligned}

Logarit tự nhiên ln x là gì?

Logarit cơ số e của một số dương x được gọi là logarit tự nhiên (hay còn gọi là logarit Nê-pe) của số x, ký hiệu là ln x.

Ln x = a ⇔ x = e^a (x>0) với e~2,71828…

Tính chất của hàm số logarit tự nhiên ln x: Logarit tự nhiên có đầy đủ tính chất của logarit với cơ số lớn hơn 1.

>>> Xem thêm: Công Thức Tính Nguyên Hàm e Mũ u Và Các Hàm Số Đơn Giản

Bảng nguyên hàm cơ bản

Bảng nguyên hàm dưới đây tổng hợp công thức nguyên hàm cơ bản mà các em nên học thuộc

Tính nguyên hàm ln x

Tính nguyên hàm của hàm số:

∫lnxdx

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned}
&\text{Đặt} \begin{cases} u=lnx\\dv=dx\end{cases}\Rightarrow
\begin{cases} du=\frac1xdx\\v=x\end{cases}\\
&\text{Ta có: }∫lnxdx=xlnx-∫dx=xlnx-x+C
\end{aligned}

Bài tập vận dụng tính nguyên hàm ln x

Dạng 1: Tính nguyên hàm ln x cơ bản

Bài tập 1: Các em hãy tìm nguyên hàm của hàm số sau:

∫xlnx.dx

Bài giải:

\begin{aligned}
&\text{Đặt} \begin{cases} u=lnx\\dv=xdx\end{cases}\Rightarrow
\begin{cases} du=\frac1xdx\\v=\frac{x^2}{2}\end{cases}\\
&\text{Ta có: }∫xlnx.dx=\frac{x^2}{2}lnx-∫\frac{x^2}{2}.\frac1xdx=\frac{x^2}{2}lnx-\frac12∫xdx=\frac{x^2}{2}lnx-\frac{x^2}{4}+C
\end{aligned}

Bài tập 2: Biết rằng:

\intop_1^2ln(x+1)dx=a.ln3+b.ln2+c

Biết rằng a, b, c là những số nguyên, các em hãy tính tổng S = a + b + c.

Bài giải:

\begin{aligned}
&\text{Đặt} \begin{cases} u=ln(x+1)\\dv=dx\end{cases}\Rightarrow
\begin{cases} du=\frac{1}{x+1}dx\\v=x+1\end{cases}\\
&\text{Khi đó: }\\
&\intop_1^2ln(x+1)dx=(x+1).ln(x+1)|_1^2-\intop_1^2dx=3ln3-2ln2-1\\
&\text{Vậy }a=3,b=-2,c=-1\\
&\Rightarrow S=a+b+c=0
\end{aligned}

Dạng 2: Tính nguyên hàm ln x chứa phân thức

Bài tập 1: Các em hãy tính nguyên hàm của hàm số:

\int\frac{lnx.dx}{x}

Bài giải:

\begin{aligned}
&\text{Đặt }t=lnx \Rightarrow dt=\frac1xdx\\
&\text{Ta có: }\int\frac{lnx.dx}{x}=\int tdt=\frac{t^2}{2}+C=\frac{ln^2x}{2}=C
\end{aligned}

Dạng 3: Tính nguyên hàm ln x chứa căn thức

Bài tập 1: Các em hãy tính nguyên hàm ln x của hàm số:

I=\int\frac{1}{x\sqrt{lnx+1}}dx

Bài giải:

\begin{aligned}
&\text{Đặt }t=\sqrt{lnx+1} \Rightarrow t^2=lnx+1 \Rightarrow 2t.dt=\frac1xdx\\
&I=\int\frac{1}{x\sqrt{lnx+1}}dx=\int\frac{2t.dt}{t}=\int2dt=2t+C=2\sqrt{lnx+1}+C
\end{aligned}

Học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education

Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Marathon Education cam kết đầu ra 7+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Các khóa học online tại Marathon Education

Qua bài viết trên, Team Marathon Education đã tổng hợp cho các em những kiến thức về hàm logarit tự nhiên ln x, cách tính nguyên hàm ln x và những dạng bài tập cụ thể. Các em hãy tham khảo và đừng quên áp dụng thường xuyên. Chúc các em học tốt và gặt hái nhiều thành công!