Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp – Lý thuyết Toán 11

Phương trình lượng giác là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông. Phương trình lượng giác có rất nhiều dạng bài và cách giải khác nhau. Vậy cụ thể phương trình lượng giác là gì? Phương pháp giải phương trình lượng giác có khó không? Team Marathon Education sẽ trình bày kỹ hơn về định nghĩa này và một số phương trình lượng giác thường gặp qua bài viết này.

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Và Cách Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

>>> Xem thêm: Học Online Toán 11 Bứt Phá Điểm Số Với Marathon Education

Phương trình lượng giác bậc nhất

Để có cái nhìn toàn diện hơn về phương trình lượng giác bậc nhất, các em có thể tham khảo định nghĩa và các ví dụ cụ thể dưới đây:

Định nghĩa

Phương trình lượng giác bậc nhất là phương trình có dạng at + b = 0. 

Trong đó:

• a và b là các hằng số (a ≠ 0)
• t là một trong các hàm số lượng giác

Phương pháp giải phương trình lượng giác bậc nhất

Các bước giải phương trình lượng giác bậc nhất:

• Bước 1: Thực hiện chuyển vế
• Bước 2: Chia hai vế phương trình cho a
• Bước 3: Giải phương trình lượng giác cơ bản

Ví dụ

Giải phương trình:

2sinx-\sqrt3=0

Ta có:

\begin{aligned}
&2sinx\ –\ \sqrt3 = 0\\
⇔ &\ 2sinx = \sqrt3\\
⇔ &\ sinx =\frac{\sqrt3}{2}\\
⇔ &\left[\def\arraystretch{1.25}
\begin{array}{c}
x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi
\end{array}\right.(k\in\Z)
\end{aligned}

>>> Xem thêm: Công Thức Đạo Hàm Lượng Giác Đầy Đủ Và Bài Tập Đạo Hàm Lượng Giác

Phương trình lượng giác bậc hai

Phương trình lượng giác bậc hai là một trong những phương trình lượng giác thường gặp nhất. Đây là dạng phương trình đòi hỏi sự linh hoạt trong cách xử lý bài toán của các em từ khâu đặt ẩn, đưa ra điều kiện cho ẩn và thực hiện phân tích giải bài toán.

Định nghĩa

Phương trình lượng giác bậc hai là phương trình có dạng: at² + bt + c = 0. Trong đó: 

• a, b và c là các hằng số (a ≠ 0).
• t là một trong các hàm số lượng giác.

Phương pháp giải phương trình lượng giác bậc hai

Phương pháp giải phương trình lượng giác bậc hai bao gồm các bước như sau:

• Bước 1: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có)
• Bước 2: Thực hiện giải phương trình bậc hai theo ẩn phụ đã đặt
• Bước 3: Đưa về dạng bài giải các phương trình lượng giác cơ bản

Ví dụ

Giải phương trình: 3cos²x – 2cos x – 1 = 0

Hướng dẫn giải:

Đặt cos x = t với điều kiện –1 ≤ t ≤ 1 (*)

Khi đó, ta có phương trình như sau:

\begin{aligned}
&3t^2\ –\ 2t\ –\ 1 = 0\\
⇔&\left[ \begin{array}{cc}\ t_1 =1\\t_2=-\frac{1}{3}\\ \end{array}\right.\\
⇔&\left[ \begin{array}{cc}\ cos x = 1\\cos x =-\frac{1}{3}\\ \end{array}\right.\\
⇔&x = k2π \text{ hoặc }x = ±arccos \left(-\frac{1}{3}\right) + k2π\ (k ∈ Z)
\end{aligned}

>>> Xem thêm: Công Thức Đạo Hàm Lượng Giác Đầy Đủ Và Bài Tập Đạo Hàm Lượng Giác

Phương trình lượng giác bậc nhất đối với sinx và cosx

Ngoài một số phương trình lượng giác thường gặp nêu trên, có một loại phương trình nữa mà các em cũng nên đặc biệt lưu tâm đó là phương trình lượng giác bậc nhất đối với sinx và cosx.

Dạng tổng quát: asinx + bcosx = c (1)

Trong đó: a và b là các số thực khác 0 (a² + b² ≠ 0)

Cách giải phương trình này sẽ được thực hiện như sau: 

• Bước 1: Kiểm tra
  • Nếu a² + b² < c² ⇒ Phương trình vô nghiệm
  • Nếu a² + b² ≥ c² ⇒ Phương trình được thực hiện tiếp theo bước 2:
• Bước 2: Giải phương trình:

\begin{aligned}
&\text{Chia cả hai vế cho }\sqrt{a^2+b^2} \text{ ta được:}\\
&\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\ (1)\\
&\text{Ta chọn α sao cho:}\\
&cosα=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}; sinα=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\
&(1)⇔sin(x+α)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{aligned}

Từ đây ta đưa về dạng phương trình cơ bản của sin.

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Trên đây là những chia sẻ liên quan đến phương trình lượng giác và một số phương trình lượng giác thường gặp trong chương trình Toán học phổ thông. Hy vọng những kiến thức tổng hợp này giúp ích nhiều hơn cho các em trong quá trình ôn luyện và làm bài. Đừng quên đăng ký khóa học trực tuyến tại Marathon Education ngay hôm nay để được trải nghiệm lớp học trực tuyến sinh động, giúp các em nâng cao hiệu quả học tập mọi lúc mọi nơi.