Phương trình lượng giác cơ bản và các dạng bài tập có lời giải

Vy - 16/03/2022

Phương trình lượng giác cơ bản là kiến thức quan trọng mà các em cần nắm chắc trong chương trình Toán lớp 11. Đây chính là nền tảng cần thiết sẽ giúp các em giải quyết nhanh và chính xác các bài toán phương trình lượng giác khác nhau. Trong bài viết này, Marathon Education sẽ cung cấp cho các em một số kiến thức về lý thuyết cũng như chi tiết cách giải phương trình lượng giác cơ bản.

>>> Xem thêm: Hàm Số Lượng Giác – Lý Thuyết Và Các Công Thức Lượng Giác Đầy Đủ Nhất

Các phương trình lượng giác cơ bản 

các phương trình lượng giác cơ bản
Các phương trình lượng giác cơ bản (Nguồn: Internet)

Phương trình sin x = sin α, sin x = a (1)

  • Nếu |a|>1 thì phương trình vô nghiệm 
  • Nếu |a|≤1 thì chọn cung α sao cho sinα=a. Khi đó (1)
\begin{aligned}
&\bull Sin x = sin α ⇔ x = α + k2π \text{ hoặc x } = π - α + k2π, \text{ với } k ∈ Z\\
&\bull Sin x = a, \text{ điều kiện: }-1 ≤ a ≤ 1\\
&\ \ \ \ Sin x = a ⇔ x = arcsin a + k2π \text{ hoặc } x = π\ –\ arcsin a + k2π, \text{ với }k ∈ Z\\
&\bull Sin u = - sin v ⇔ sin u = sin (-v)\\
&\bull Sin u = cos v ⇔ sin u = sin \left(\frac{π}{2}\ –\ v\right)\\
&\bull Sin u = - cos v ⇔ sin u = sin \left(v\ –\ \frac{π}{2}\right)
\end{aligned}

Các trường hợp đặc biệt:

  • sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)
  • sin x =1 ⇔ x = π/2 + k2π (k ∈ Z)
  • sin x = -1 ⇔ x = -π/2 + k2π (k ∈ Z)
  • sin x = ±1 ⇔ sin x = 1 ⇔ cos x = 0 ⇔ cosx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ (k ∈ Z)

Phương trình cos x = cos α, cos x = a (2)

  • Nếu |a|>1 thì phương trình vô nghiệm.
  • Nếu |a|≤1 thì chọn cung α sao cho cosα = a.

Khi đó (2) ⇔ cosx = cosα ⇔ x = ± α + k2π (k ∈ Z)

b. cosx = a điều kiện -1 ≤ a ≤ 1

cosx = a ⇔ x = ± arccosa + k2π (k ∈ Z)

c. cosu = cosv ⇔ cosu = cos( π – v)

d. cosu = sinv ⇔ cosu = cos(π/2 – v)

e. cosu = – sinv ⇔ cosu = cos(π/2 + v)

Các trường hợp đặc biệt

các dạng phương trình lượng giác cơ bản lớp 11

Phương trình tan x = tan α, tan x = a (3)

Chọn cung α sao cho tanα=a. Khi đó (3)

giải phương trình lượng giác

Các trường hợp đặc biệt

  • tanx = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)
  • tanx = ±1 ⇔ x = ± π/4 + kπ (k ∈ Z)

Phương trình cot x = cot α, cot x = a (4)

Khi đó (3) cotx = cotα ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)

cotx = a ⇔ x = arccota + kπ (k ∈ Z)

Các trường hợp đặc biệt:

  • cotx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ (k ∈ Z)
  • cotx = ±1 ⇔ x = ± π/4 + kπ (k ∈ Z)

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Dạng asinx + b; acosx + b = 0; atanx + b = 0; acotx+ b = 0 (a, b ∈ Ζ, a ≠ 0)

Cách giải:

Đưa về phương trình cơ bản, ví dụ asinx + b = 0 ⇔ sinx = -b/a

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng asin x + bsinx + c = 0 (a, b ∈ Ζ, a ≠ 0)

Phương pháp

Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t.

Ví dụ: Giải phương trình asin x + bsinx + c = 0

Đặt t = sinx (-1≤ t ≤1) ta có phương trình at + bt + c = 0

Lưu ý khi đặt t = sinx hoặc t = cosx thì phải có điều kiện -1≤ t ≤1

Một số điều cần chú ý

  1. a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn

bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định

phương trình lượng giác cơ bản lớp 11

b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách

sau để kiểm tra điều kiện:

Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.

Dùng đường tròn lượng giác để biểu diễn nghiệm

Giải các phương trình vô định.

c) Sử dụng MTCT để thử lại các đáp án trắc nghiệm

Các dạng bài tập về phương trình lượng giác

Giải phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp: Dùng các công thức nghiệm tương ứng với mỗi phương trình

Ví dụ 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

  1. a) sinx = sin(π/6). c) tanx – 1 = 0
  2. b) 2cosx = 1. d) cotx = tan2x.

Lời giải

  1. a) sinx = sinπ/6

pt lượng giác

  1. b) 2cosx = 1 ⇔ cosx = ½ ⇔ x = ± π/3 + k2π (k ∈ Z)
  2. c) tanx = 1 ⇔ cosx = π/4 + kπ (k ∈ Z)
  3. d) cotx = tan2x

⇔cotx = cot(π/2 – 2x)

⇔ x = π/2 – 2x + kπ

⇔ x = π/6 + kπ/3 (k ∈ Z)

Ví dụ 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

  1. a) cos2 x – sin2x =0.
  2. b) 2sin(2x – 40º) = √3

Lời giải

  1. a) cos x – sin x=0 ⇔ cos x – 2sinx.cosx = 0

⇔ cosx (cosx – 2sinx )=0

các phương trình lượng giác cơ bản

b) 2 sin(2x-40º )=√3

⇔ sin(2x-40º )=√3/2

giải pt lượng giác

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx = 2sin2x.

một số phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình bậc nhất có một hàm lượng giác

Phương pháp: Đưa về phương trình cơ bản, ví dụ asinx + b = 0 ⇔ sinx = -b/a

Ví dụ: Giải phương trình sau:

phương trình lương giác cơ bản 11

Phương trình bậc hai có một hàm lượng giác

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng :

a.f (x) + b.f(x) + c = 0 với f(x) = sinu(x) hoặc f(x) = cosu(x), tanu(x), cotu(x).

Cách giải:

Đặt t = f(x) ta có phương trình : at + bt +c = 0

Giải phương trình này ta tìm được t, từ đó tìm được x

Khi đặt t = sinu(x) hoặc t = cosu(x), ta có điều kiện: -1 ≤ t ≤ 1

Ví dụ: sin x +2sinx – 3 = 0

giải phương trình lượng giác lớp 11

Ví dụ 2: 1 + sin2x + cosx + sinx = 0

Lời giải:

⇔ 1 + 2 sinx cosx + 2(cosx+sinx ) = 0

⇔ cos2x + sin2x + 2 sinxcosx + 2 (cosx+sinx )=0

⇔ (sinx + cosx)2 + 2 (cosx+sinx )=0

phương trình lượng giác cơ bản 11

Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

Xét phương trình asinx + bcosx = c (1) với a, b là các số thực khác 0.

giai phuong trinh luong giac

Ví dụ: Giải phương trình sau: cos x – sin2x = 0.

ptlg

Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng

Phương pháp

Phương trình đối xứng là phương trình có dạng:

a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (3)

Phương pháp giải:

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ:

phương trình lượng giác

Thay vào (3) ta được phương trình bậc hai theo t.

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng:

a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 (4)

Để giải phương trình này ta cũng đặt

các dạng phương trình lượng giác cơ bản lớp 11

Thay vào (4) ta có được phương trình bậc hai theo t.

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 2(sinx + cosx) + 3sin2x = 2.

giải phương trình lượng giác

>>> Xem thêm: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp – Lý thuyết Toán 11

Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education

Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 6 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

  • Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.
  • Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.
  • Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.
  • Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.
  • Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Các khóa học online tại Marathon Education

 

 

 

Lý thuyết cũng như cách giải phương trình lượng giác cơ bản vừa được Team Marathon Education tổng hợp và chia sẻ với các em ở trên. Mong rằng những kiến thức hữu ích này có thể giúp các em có thêm hành trang để tiếp tục hành trình chinh phục môn Toán học. Chúc các em học tốt và có nhiều thành tích cao!

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học trực tuyến online nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM