Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian: Lý Thuyết và Bài Tập

\begin{cases}
x=x_0+at\\
y=y_0+bt\\
z=z_0+ ct
\end{cases}(t\in \R)

\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\ (a,b,c \not=0)




 

ĐĂNG KÝ NGAY

\begin{aligned}
&\small\text{Cho đường thẳng }d_0 \text{ đi qua một điểm }M_0(x_0; y_0; z_0) \text{ và có vectơ chỉ phương là }\vec{u_0}=(a_0; b_0; c_0). \\
&\small\text{Đồng thời, đường thẳng }d_1 \text{ đi qua điểm }M_1(x_1; y_1; z_1) \text{ và có vectơ chỉ phương }\vec{u_1}= (a_1; b_1; c_1).\\
&\small\text{Khi đó ta có: }\\
&\small \circ d_0 \text{ và } d_1 \text{ nằm trong một mặt phẳng ⇔ }[\vec{u_0},\vec{u_1}]. \overrightarrow{M_0M_1}=0\\
&\small\circ d_0 \text{ và } d_1 \text{ sẽ cắt nhau ⇔ }\begin{cases} [\vec{u_0},\vec{u_1}]. \overrightarrow{M_0M_1}=0 \\ [\vec{u_0},\vec{u_1}]\not=0\end{cases}\\
&\small\circ d_0\ ⊥\ d_1 ⇔ \vec{u_0}.\vec{u_1}=\vec{0}\\
&\small\circ d_0 \ //\  d_1 ⇔ \begin{cases}[\vec{u_0},{u_1}]=\vec{0} \\ [\vec{u_0}.\overrightarrow{M_0.M_1} \not=0\end{cases}\\
&\small\circ d_0 \equiv  d_1 ⇔[\vec{u_o},\vec{u_1}]=[\vec{u_0},\overrightarrow{M_0M_1}]=\vec{0}\\
&\small\circ d_0 \text{ và } d_1 \text{ chéo nhau ⇔ }[\vec{u_0},\vec{u_1}]. \overrightarrow{M_0M_1}\not=0\\
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\small\text{Khi đường thẳng d đi qua điểm }M_0 (x_0; y_0; z_0) \text{ và có vectơ chỉ phương }\vec{u}= (a; b; c). \text{ Bên cạnh đó, ta}\\
&\small\text{có mặt phẳng }(P) = Ax + By + Cz + D = 0 \text{ có vectơ pháp tuyến } \vec{n}= (A; B; C). \text{ Khi đó ta có: }\\
&\small \circ d \text{ cắt } (P) ⇔ Aa+Bb+Cc\not=0\\
&\small\circ d \ //\  (P) ⇔ \begin{cases} Aa+Bb+Cc=0\\Ax_0+By_0+Cz_0+D\not=0 \end{cases}\\
&\small\circ d\sub (P) ⇔ \begin{cases} Aa+Bb+Cc=0\\Ax_0+By_0+Cz_0+D=0 \end{cases}\\
&\small\circ d\  ⊥\  (P) ⇔ \vec{u}\text{ // }\vec{n} ⇔ [\vec{u},\vec{n}]=\vec{0}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\small\text{Đường thẳng d có vectơ chỉ phương }\vec{u}= (a; b; c). \text{ Đồng thời đường thẳng d' có vectơ chỉ phương }\\
&\small\vec{u'}= (a’; b’; c’). \text{ Gọi }0^\text{o} ≤ α ≤ 90^\text{o} \text{ là góc giữa 2 đường thẳng đó, chúng ta có:}\\
&cosα=\frac{|\vec{u}.\vec{u'}|}{|\vec{u}|.|\vec{u'}|}=\frac{|aa'+bb'+cc'|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{a'^2+b'^2+c'^2}}
\end{aligned}

\small \text{Ta có điểm }M_0 (x_0; y_0; z_0) \text{và có vectơ chỉ phương }\vec{u_0} = (a; b; c)

\begin{aligned}
&\small\bull\text{Phương trình tham số của đường thằng (d) là: }\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct \end{cases}\ (t\in \R)\\
&\small\bull\text{Nếu }a.b.c\not=0\text{ thì đường thẳng (d) sẽ có phương trình chính tắc là: }\\
&\ \ \ \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\ (a,b,c\not=0)
\end{aligned}

\vec{u}=(1;2;3)

\small \text{Ta có phương trình tham số của đường thẳng (d) là: }\begin{cases}x=1+t\\
y=2+2t\\
z=-1+3t\end{cases}

\begin{aligned}
&\small\bull\text{Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương }\overrightarrow{AB}\\
&\small\bull\text{Bước 2: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và nhận }\overrightarrow{AB}\text{ làm vectơ chỉ phương.}\\
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\small\bull\text{Ta có: }\overrightarrow{AB}(-2;1;3)\\
&\small\bull\text{Phương trình đường thẳng (d) đi qua A có vectơ chỉ phương  được phương trình tham số như sau: }\\
&\small\ \begin{cases} x=1-2t\\y=2-t\\z=3t \end{cases}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\small\bull\text{Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương }\vec{u} \text{ của đường thẳng (d).}\\
&\small\bull\text{Bước 2: Viết phương trình đường thẳng (d') đi qua điểm đã cho và nhận } \vec{u}\text{ làm vectơ chỉ phương.}\\
\end{aligned}

\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{z}{1}

\begin{aligned}
&\small\bull\text{Vì (d’) // (d) nên nhận }\vec{u_d}=(2;4;1)\text{ làm vectơ chỉ phương.}\\
&\small\bull\text{Ta được phương trình tham số của (d'): }\begin{cases}x=2+2t\\y=1+4t\\z=-3+t \end{cases}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\small\bull\text{Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương }\vec{n} \text{ của mặt phẳng (P).}\\
&\small\bull\text{Bước 2: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm đã cho và nhận } \vec{n}\text{ làm vectơ chỉ phương.}\\
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\small\bull\text{Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là }\vec{n}=(1;-1;-1)\text{ đồng thời là vectơ chỉ phương của }\\
&\small\text{ đường thẳng (d)}\\
&\small\bull\text{Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A và nhận } \vec{n} \text{ làm vectơ chỉ phương có phương trình}\\
&\small\text{tham số như sau:} \begin{cases}x=1+t\\y=1-t\\z=-2-t\end{cases}\\

\end{aligned}

d:\begin{cases}x=-t\\y=3t\\z=-1-2t\end{cases} \ ;\ d':\begin{cases}x=0\\y=9\\z=5t\end{cases}

\begin{aligned}
&\small\text{Đường thẳng d đi qua }M_0(0; 0; -1) \text{ và có vectơ chỉ phương là } \vec{u_d}=(-1;3;-2)\\
&\small\text{Đường thẳng d' đi qua }M'_0(0; 9; 0) \text{ và có vectơ chỉ phương là } \vec{u_d'}=(0;0;5)\\
&\small \Rightarrow\overrightarrow{M_0M'_0}=(0;9;1) \text{ và }[\vec{u_d}.\vec{u_d'}]=(15;5;0)\not=0\\
&\small\text{Ta có: }[\vec{u_d}.\vec{u_d'}].\overrightarrow{M_0M'_0}=15.0+9.5+1.0=45\not=0\\
&\small\text{Vậy d và d' chéo nhau.}
\end{aligned}

d:\begin{cases}x=1+2t\\y=2+4t\\z=3+t\end{cases}

\begin{aligned}
&\small\text{Đường thẳng D đi qua }M_0(1;2;3)\text{ và có vectơ chỉ phương }\vec{u}=(2;4;1)\\
&\small\text{Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: } \vec{n}=(1;1;1)\\
&\small\text{Ta có: }\vec{n}.\vec{u}=2+4+1=7\not=0\\
&\small\text{Vậy d cắt (P).}
\end{aligned}

cos\varphi=|cos(\vec{u_1},\vec{u_2})|=\frac{|\vec{u_1}.\vec{u_2}|}{|\vec{u_1}|.|\vec{u_2}|}

\Delta_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z}{2}\ ;\  \Delta_2:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{-1}

\begin{aligned}
&\small\text{Vectơ chỉ phương của }\Delta_1 \text{ là }\vec{u_1}=(2;-1;2)\\
&\small\text{Vectơ chỉ phương của }\Delta_2 \text{ là }\vec{u_2}=(2;2;-1)\\
&\small\text{Gọi }\varphi \text{ là góc giữa hai đường thẳng }\Delta_1 \text{ và } \Delta_2,\text{ ta có:}\\
&cos\varphi=|cos(\vec{u_1},\vec{u_2})|=\frac{|\vec{u_1}.\vec{u_2}|}{|\vec{u_1}|.|\vec{u_2}|}=0 \Rightarrow \varphi=90^\text{o}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\small\text{Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là }\vec{u}(a,b,c).\\
&\small\text{Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là }\vec{n}(A,B,C).\\
&\small\text{Góc }\varphi\text{ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P.}\\
&\small\text{Ta có công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian như sau:}\\
&\small sin\varphi=\frac{|\vec{u}.\vec{n}|}{|\vec{u}|.|\vec{n}|}=\frac{|Aa+Bb+Cc|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
\end{aligned}

d: \begin{cases}x=1+2t\\y=-1+3t\\z=2-t \end{cases}

\begin{aligned}
&\small\text{Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: }\vec{u_d}=(2;3;-1)\\
&\small\text{Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: }\overrightarrow{n_{(P)}}=(2;-1;-2)\\
&\small\text{Sin góc giữa d và (P) là:}\\
&\small sin(d;(P))=\frac{|\vec{u_d}.\overrightarrow{n_{(P)}}|}{|\vec{u_d}|.|\overrightarrow{n_{(P)}}|}=\frac{|4-3-2|}{\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}.\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\frac{1}{\sqrt{14}.3}=\frac{\sqrt{14}}{42}
\end{aligned}