Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian: Lý Thuyết và Bài Tập

Vy - 21/03/2022

Phương trình đường thẳng trong không gian là phần nội dung thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia. Vì vậy các em cần nắm vững kiến thức để có thể làm bài hiệu quả và chính xác hơn. Để tìm hiểu rõ lý thuyết và cách giải bài tập phương trình đường thẳng trong không gian, các em hãy theo dõi bài viết dưới đây của Marathon Education nhé!

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Toán 10 Phương Trình Đường Tròn

Lý thuyết về phương trình đường thẳng trong không gian

Lý thuyết phương trình đường thẳng trong không gian
Lý thuyết phương trình đường thẳng trong không gian (Nguồn: Internet)

Phương trình tham số của đường thẳng trong không gian

Trong không gian, chúng ta có đường thẳng Δ đi qua điểm M (x; y; z) với vecto chỉ phương = (a; b; c) có phương trình tham số dưới dạng như sau:

\begin{cases}
x=x_0+at\\
y=y_0+bt\\
z=z_0+ ct
\end{cases}(t\in \R)

Trong đó, t được gọi là tham số. 

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Toán 10 Phương Trình Đường Thẳng

Phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian

Nếu cả 3 số a, b, c đều khác không, chúng ta có thể viết phương trình trên ở dạng phương trình chính tắc: 

\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\ (a,b,c \not=0)

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

Cho đường thẳng d đi qua một điểm M(x; y; z) và có vectơ chỉ phương là = (a; b; c). Đồng thời, đường thẳng d1 đi qua điểm M1(x1; y1; z1) và có vectơ chỉ phương 1= (a1; b1; c1). Khi đó ta có:

\begin{aligned}
&\small\text{Cho đường thẳng }d_0 \text{ đi qua một điểm }M_0(x_0; y_0; z_0) \text{ và có vectơ chỉ phương là }\vec{u_0}=(a_0; b_0; c_0). \\
&\small\text{Đồng thời, đường thẳng }d_1 \text{ đi qua điểm }M_1(x_1; y_1; z_1) \text{ và có vectơ chỉ phương }\vec{u_1}= (a_1; b_1; c_1).\\
&\small\text{Khi đó ta có: }\\
&\small \circ d_0 \text{ và } d_1 \text{ nằm trong một mặt phẳng ⇔ }[\vec{u_0},\vec{u_1}]. \overrightarrow{M_0M_1}=0\\
&\small\circ d_0 \text{ và } d_1 \text{ sẽ cắt nhau ⇔ }\begin{cases} [\vec{u_0},\vec{u_1}]. \overrightarrow{M_0M_1}=0 \\ [\vec{u_0},\vec{u_1}]\not=0\end{cases}\\
&\small\circ d_0\ ⊥\ d_1 ⇔ \vec{u_0}.\vec{u_1}=\vec{0}\\
&\small\circ d_0 \ //\  d_1 ⇔ \begin{cases}[\vec{u_0},{u_1}]=\vec{0} \\ [\vec{u_0}.\overrightarrow{M_0.M_1} \not=0\end{cases}\\
&\small\circ d_0 \equiv  d_1 ⇔[\vec{u_o},\vec{u_1}]=[\vec{u_0},\overrightarrow{M_0M_1}]=\vec{0}\\
&\small\circ d_0 \text{ và } d_1 \text{ chéo nhau ⇔ }[\vec{u_0},\vec{u_1}]. \overrightarrow{M_0M_1}\not=0\\
\end{aligned}

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

\begin{aligned}
&\small\text{Khi đường thẳng d đi qua điểm }M_0 (x_0; y_0; z_0) \text{ và có vectơ chỉ phương }\vec{u}= (a; b; c). \text{ Bên cạnh đó, ta}\\
&\small\text{có mặt phẳng }(P) = Ax + By + Cz + D = 0 \text{ có vectơ pháp tuyến } \vec{n}= (A; B; C). \text{ Khi đó ta có: }\\
&\small \circ d \text{ cắt } (P) ⇔ Aa+Bb+Cc\not=0\\
&\small\circ d \ //\  (P) ⇔ \begin{cases} Aa+Bb+Cc=0\\Ax_0+By_0+Cz_0+D\not=0 \end{cases}\\
&\small\circ d\sub (P) ⇔ \begin{cases} Aa+Bb+Cc=0\\Ax_0+By_0+Cz_0+D=0 \end{cases}\\
&\small\circ d\  ⊥\  (P) ⇔ \vec{u}\text{ // }\vec{n} ⇔ [\vec{u},\vec{n}]=\vec{0}
\end{aligned}

Góc giữa 2 đường thẳng

\begin{aligned}
&\small\text{Đường thẳng d có vectơ chỉ phương }\vec{u}= (a; b; c). \text{ Đồng thời đường thẳng d' có vectơ chỉ phương }\\
&\small\vec{u'}= (a’; b’; c’). \text{ Gọi }0^\text{o} ≤ α ≤ 90^\text{o} \text{ là góc giữa 2 đường thẳng đó, chúng ta có:}\\
&cosα=\frac{|\vec{u}.\vec{u'}|}{|\vec{u}|.|\vec{u'}|}=\frac{|aa'+bb'+cc'|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{a'^2+b'^2+c'^2}}
\end{aligned}

Các dạng toán về phương trình đường thẳng trong không gian

Giải bài tập phương trình đường thẳng trong không gian
Giải bài tập phương trình đường thẳng trong không gian (Nguồn: Internet)

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm

\small \text{Ta có điểm }M_0 (x_0; y_0; z_0) \text{và có vectơ chỉ phương }\vec{u_0} = (a; b; c)

Phương pháp giải:

\begin{aligned}
&\small\bull\text{Phương trình tham số của đường thằng (d) là: }\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct \end{cases}\ (t\in \R)\\
&\small\bull\text{Nếu }a.b.c\not=0\text{ thì đường thẳng (d) sẽ có phương trình chính tắc là: }\\
&\ \ \ \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\ (a,b,c\not=0)
\end{aligned}

Ví dụ:

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua một điểm A(1;2;-1) và có vectơ chỉ phương là:

\vec{u}=(1;2;3)

Hướng dẫn giải:

\small \text{Ta có phương trình tham số của đường thẳng (d) là: }\begin{cases}x=1+t\\
y=2+2t\\
z=-1+3t\end{cases}

 

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Khi viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B. Các em sẽ giải bài tập theo 2 bước cơ bản như sau:

\begin{aligned}
&\small\bull\text{Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương }\overrightarrow{AB}\\
&\small\bull\text{Bước 2: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và nhận }\overrightarrow{AB}\text{ làm vectơ chỉ phương.}\\
\end{aligned}

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(-1; 1; 3)

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned}
&\small\bull\text{Ta có: }\overrightarrow{AB}(-2;1;3)\\
&\small\bull\text{Phương trình đường thẳng (d) đi qua A có vectơ chỉ phương  được phương trình tham số như sau: }\\
&\small\ \begin{cases} x=1-2t\\y=2-t\\z=3t \end{cases}
\end{aligned}

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng d

Các bước để viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng d bất kỳ:

\begin{aligned}
&\small\bull\text{Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương }\vec{u} \text{ của đường thẳng (d).}\\
&\small\bull\text{Bước 2: Viết phương trình đường thẳng (d') đi qua điểm đã cho và nhận } \vec{u}\text{ làm vectơ chỉ phương.}\\
\end{aligned}

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2; 1; -3) và song song với đường thẳng d có phương trình là:

\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{z}{1}

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned}
&\small\bull\text{Vì (d’) // (d) nên nhận }\vec{u_d}=(2;4;1)\text{ làm vectơ chỉ phương.}\\
&\small\bull\text{Ta được phương trình tham số của (d'): }\begin{cases}x=2+2t\\y=1+4t\\z=-3+t \end{cases}
\end{aligned}

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng P

Khi đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng P, ta sẽ viết được phương trình đường thẳng theo các bước như sau: 

\begin{aligned}
&\small\bull\text{Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương }\vec{n} \text{ của mặt phẳng (P).}\\
&\small\bull\text{Bước 2: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm đã cho và nhận } \vec{n}\text{ làm vectơ chỉ phương.}\\
\end{aligned}

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 1; -2) và vuông góc với mặt phẳng (P): x – y – z – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned}
&\small\bull\text{Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là }\vec{n}=(1;-1;-1)\text{ đồng thời là vectơ chỉ phương của }\\
&\small\text{ đường thẳng (d)}\\
&\small\bull\text{Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A và nhận } \vec{n} \text{ làm vectơ chỉ phương có phương trình}\\
&\small\text{tham số như sau:} \begin{cases}x=1+t\\y=1-t\\z=-2-t\end{cases}\\

\end{aligned}

Dạng 5: Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường thẳng trong không gian

Ví dụ: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

d:\begin{cases}x=-t\\y=3t\\z=-1-2t\end{cases} \ ;\ d':\begin{cases}x=0\\y=9\\z=5t\end{cases}

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned}
&\small\text{Đường thẳng d đi qua }M_0(0; 0; -1) \text{ và có vectơ chỉ phương là } \vec{u_d}=(-1;3;-2)\\
&\small\text{Đường thẳng d' đi qua }M'_0(0; 9; 0) \text{ và có vectơ chỉ phương là } \vec{u_d'}=(0;0;5)\\
&\small \Rightarrow\overrightarrow{M_0M'_0}=(0;9;1) \text{ và }[\vec{u_d}.\vec{u_d'}]=(15;5;0)\not=0\\
&\small\text{Ta có: }[\vec{u_d}.\vec{u_d'}].\overrightarrow{M_0M'_0}=15.0+9.5+1.0=45\not=0\\
&\small\text{Vậy d và d' chéo nhau.}
\end{aligned}

Dạng 6: Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Ví dụ:

Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (P): x + y + z + 2 =0 và đường thẳng

d:\begin{cases}x=1+2t\\y=2+4t\\z=3+t\end{cases}

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned}
&\small\text{Đường thẳng D đi qua }M_0(1;2;3)\text{ và có vectơ chỉ phương }\vec{u}=(2;4;1)\\
&\small\text{Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: } \vec{n}=(1;1;1)\\
&\small\text{Ta có: }\vec{n}.\vec{u}=2+4+1=7\not=0\\
&\small\text{Vậy d cắt (P).}
\end{aligned}

Dạng 7: Tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian

Phương pháp giải:

Góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian bằng hoặc bù so với góc giữa hai vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó. Vì vậy, để tính góc của 2 đường thẳng chéo nhau, ta sử sụng công thức sau:

cos\varphi=|cos(\vec{u_1},\vec{u_2})|=\frac{|\vec{u_1}.\vec{u_2}|}{|\vec{u_1}|.|\vec{u_2}|}

Ví dụ:

Tính góc giữa 2 đường thẳng

\Delta_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z}{2}\ ;\  \Delta_2:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{-1}

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned}
&\small\text{Vectơ chỉ phương của }\Delta_1 \text{ là }\vec{u_1}=(2;-1;2)\\
&\small\text{Vectơ chỉ phương của }\Delta_2 \text{ là }\vec{u_2}=(2;2;-1)\\
&\small\text{Gọi }\varphi \text{ là góc giữa hai đường thẳng }\Delta_1 \text{ và } \Delta_2,\text{ ta có:}\\
&cos\varphi=|cos(\vec{u_1},\vec{u_2})|=\frac{|\vec{u_1}.\vec{u_2}|}{|\vec{u_1}|.|\vec{u_2}|}=0 \Rightarrow \varphi=90^\text{o}
\end{aligned}

Dạng 8: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Phương pháp giải:

\begin{aligned}
&\small\text{Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là }\vec{u}(a,b,c).\\
&\small\text{Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là }\vec{n}(A,B,C).\\
&\small\text{Góc }\varphi\text{ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P.}\\
&\small\text{Ta có công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian như sau:}\\
&\small sin\varphi=\frac{|\vec{u}.\vec{n}|}{|\vec{u}|.|\vec{n}|}=\frac{|Aa+Bb+Cc|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
\end{aligned}

Ví dụ:

Tiin1h sin góc giữa mặt phẳng (P): 2x – y + 2z -1 =0 và đường thẳng d có phương trình tham số là:

d: \begin{cases}x=1+2t\\y=-1+3t\\z=2-t \end{cases}

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned}
&\small\text{Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: }\vec{u_d}=(2;3;-1)\\
&\small\text{Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: }\overrightarrow{n_{(P)}}=(2;-1;-2)\\
&\small\text{Sin góc giữa d và (P) là:}\\
&\small sin(d;(P))=\frac{|\vec{u_d}.\overrightarrow{n_{(P)}}|}{|\vec{u_d}|.|\overrightarrow{n_{(P)}}|}=\frac{|4-3-2|}{\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}.\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\frac{1}{\sqrt{14}.3}=\frac{\sqrt{14}}{42}
\end{aligned}

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

 

 

 

Trên đây là chia sẻ của team Marathon về các kiến thức cơ bản của phương trình đường thẳng trong không gian và các dạng bài tập thường gặp. Việc ôn tập và ghi chú những nội dung quan trọng sẽ giúp các em học tập có hiệu quả và tự tin hơn trong môn Toán. 

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM