Nguyên hàm lượng giác là kiến thức vô cùng quan trọng trong chương trình toán cấp 3. Các công thức nguyên hàm lượng giác có nhiều mức độ, từ hàm sơ cấp cho đến các công thức hàm hợp, theo đó là rất nhiều dạng bài tập khác nhau. Marathon Education sẽ tổng hợp các công thức lượng giác cơ bản, công thức nguyên hàm lượng giác và các dạng bài tập vận dụng liên quan qua bài viết sau.
>>> Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Một Số Bài Tập Ví Dụ
\begin{aligned}
&\small\text{1. Hằng đẳng thức lượng giác:}\\
& \ \ \ \ \bull sin^2x+cos^2x=1\\
& \ \ \ \ \bull \frac{1}{sin^2x}=1+cot^2x\\
& \ \ \ \ \bull \frac{1}{cos^2x}=1+tan^2x\\
&\small\text{2. Công thức cộng:}\\
& \ \ \ \ \ \bull sin(a\pm b)=sina.cosb\pm sinb.cosa\\
& \ \ \ \ \ \bull cos(a\pm b)=cosa.cosb\mp sina.cosb\\
& \ \ \ \ \ \bull tan(a\pm b)=\frac{tana \pm tanb}{1\mp tana.tanb}\\
&\small\text{3. Công thức nhân đôi:}\\
& \ \ \ \ \ \bull sin2a=2sina.cosa\\
& \ \ \ \ \ \bull cos2a=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a\\
&\small\text{4. Công thức nhân ba:}\\
& \ \ \ \ \ \bull sin3a=3sina-4sin^3a\\
& \ \ \ \ \ \bull cos3a=4cos^3a-3cosa\\
&\small\text{5. Công thức hạ bậc:}\\
& \ \ \ \ \ \bull sin^2a=\frac{1-cos2a}{2}\\
& \ \ \ \ \ \bull cos^2a=\frac{1+cos2a}{2}\\
&\small\text{6.Công thức biến đổi tích thành tổng:}\\
& \ \ \ \ \ \bull cosa.cosb=\frac{1}{2}[cos(a-b)+cos(a+b)]\\
& \ \ \ \ \ \bull sina.sinb=\frac{1}{2}[cos(a-b)-cos(a+b)]\\
& \ \ \ \ \ \bull sina.cosb=\frac{1}{2}[sin(a-b)+sin(a+b)]\\
\end{aligned}
>>> Xem thêm: Hàm Số Lượng Giác – Lý Thuyết Và Các Công Thức
>>> Xem thêm: Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết
Các bài toán tìm nguyên hàm lượng giác rất đa dạng và phức tạp. Mỗi dạng sẽ có cách biến đổi và hướng giải khác nhau. Vì vậy, Marathon Education đã tổng hợp 6 dạng toán thường gặp nhất và phương pháp giải của từng dạng để giúp các em nắm vững các bài toán dạng này.
I=\int\frac{dx}{sin(x+a)(sin(x+b)}
\begin{aligned}
&\text{Dùng đồng nhất thức:}\\
&1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=\frac{sin[(x+a)-(x+b)}{sin(a-b)}=\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}\\
&\text{Từ đó suy ra:}\\
&I=\frac{1}{sin(a-b)}\int\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(x+a)sin(x+b)}dx\\
&\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}\int \left[ \frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}-\frac{cos(x+a)}{sin(x+a)} \right]dx\\
&\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}[ln|sin(x+b)|-ln|sin(x+a)|]+C
\end{aligned}
Lưu ý
Với các này, ta có thể tìm được các nguyên hàm:
\begin{aligned}
&\bull J=\int\frac{dx}{cos(x+a)cos(x+b)} \text{ bằng các dùng đồng nhất thức }1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}.\\
&\bull K=\int\frac{dx}{sin(x+a)cos(x+b)} \text{ bằng các dùng đồng nhất thức }1=\frac{cos(a-b)}{cos(a-b)}.\\
\end{aligned}
Tính nguyên hàm sau đây:
I=\int \frac{dx}{sinx.sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}
\begin{aligned}
&\text{Ta có:}\\
&1=\frac{sin\frac{\pi}{6}}{sin\frac{\pi}{6}}=\frac{sin\left[\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-x\right]}{\frac{1}{2}}=2\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)cosx-cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)sinx \right]\\
&\text{Từ đó:}\\
&I=2\int\frac{\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)cosx-cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)sinx \right]}{sinx.sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}dx\\
&\ \ =2\int \left[\frac{cosx}{sinx}-\frac{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} \right]dx\\
&\ \ =2\int\frac{d(sinx)}{sinx}-2\int\frac{d\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right]}{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\\
&\ \ =2ln\left|\frac{sinx}{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)} \right|+C
\end{aligned}
I=\int tan(x+a)tan(x+b)dx
\begin{aligned}
&\text{Ta có:}\\
& tan(x+a)tan(x+b)\\
&=\frac{sin(x+a)sin(x+b)}{cos(x+a)cos(x+b)}\\
&=\frac{sin(x+a)sin(x+b)+cos(x+a)cos(x+b)}{cos(x+a)cos(x+b)}-1\\
&=\frac{cos(a-b)}{ cos(x+a)cos(x+b)}-1\\
&\text{Từ đó:}\\
&I=cos(a-b)\int\frac{dx}{cos(x+a)cos(x+b)}-1\\
&\text{Đến đây, ta gặp bài toán tìm nguyên hàm lượng giác ở \textbf{Dạng 1}.}
\end{aligned}
Lưu ý
Với các này, ta có thể tính được các nguyên hàm:
\begin{aligned}
&\bull J=\int cot(x+a)cot(x+b)dx\\
&\bull K=\int tan(x+a)tan(x+b)dx
\end{aligned}
Tính nguyên hàm sau đây:
K=\int tan\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cot\left(x+\frac{\pi}{6}\right)dx
\begin{aligned}
&\text{Ta có:}\\
&tan\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cot\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\\
&=\frac{sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\\
&=\frac{sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)- cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\\
&=\frac{sin\left[ \left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\left(x+\frac{\pi}{6}\right) \right]}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\\
&=\frac{1}{2}.\frac{1}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\\
&\text{Từ đó:}\\
&K=\frac{1}{2}\int \frac{1}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}dx+\int dx\\
&\ \ \ \ =\frac{1}{2}K_1+x+C\\
&\text{Đến đây, bằng cách tính ở dạng 1, ta tính được:}\\
&K_1=\int \frac{1}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}dx=\frac{2}{\sqrt3}ln\left| \frac{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\right|+C\\
&\text{Suy ra:}\\
&K=\frac{\sqrt3}{3}ln\left| \frac{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\right|+x+C
\end{aligned}
I=\int\frac{dx}{asinx+bcosx}
\begin{aligned}
&\text{Ta có:}\\
&asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx\right)\\
&\Rightarrow asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2}sin(x+\alpha)\\
&\Rightarrow I=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\int \frac{dx}{sin(x+\alpha)}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} ln \left|tan\frac{x+\alpha}{2} \right|+C
\end{aligned}
Tính nguyên hàm sau:
I=\int\frac{2dx}{\sqrt3 sinx+cosx}
\begin{aligned}
&I=\int\frac{2dx}{\sqrt3 sinx+cosx}=\int\frac{dx}{\frac{\sqrt3}{2} sinx+\frac{1}{2}cosx}=\int \frac{dx}{sinxcos\frac{\pi}{6}+cosxsin\frac{\pi}{6}}\\
& \ \ =\int \frac{dx}{sin\left(x+\frac{\pi}{6} \right)}=\int \frac{d\left(x+\frac{\pi}{6} \right)}{sin\left(x+\frac{\pi}{6} \right)}=ln\left| tan\frac{x+\frac{\pi}{6}}{2} \right|+C=ln\left| tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12} \right) \right|+C
\end{aligned}
I=\int\frac{dx}{asinx+bcosx}
\text{Đặt }tan\frac{x}{2}=t \Rightarrow
\begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\
sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\
cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\
tanx=\frac{2t}{1-t^2} \end{cases}
Tính nguyên hàm sau đây:
K=\int\frac{dx}{sinx+tanx}
\begin{aligned}
&\text{Đặt }tan\frac{x}{2}=t \Rightarrow
\begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\
sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\
tanx=\frac{2t}{1-t^2} \end{cases}\\
&\text{Từ đó:}\\
&K=\int \frac{\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{2t}{1-t^2}}=\frac{1}{2}\int \frac{1-t^2}{t}dt=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t}-\frac{1}{2}\int tdt\\
&\ \ \ = \frac{1}{2}ln|t|-\frac{1}{4}t^2+C= \frac{1}{2}ln\left|tan\frac{x}{2}\right|-\frac{1}{4}tan^2\frac{x}{2}+C
\end{aligned}
I=\int\frac{dx}{asin^2x+bsinxcosx+ccos^2x}
\begin{aligned}
&I=\int\frac{dx}{(atan^2x+btanx+c)cos^2x}\\
&\text{Đặt }tanx=t\Rightarrow \frac{dx}{cos^2x}=dt\\
&\text{Suy ra: }I=\int \frac{dt}{at^2+bt+c}
\end{aligned}
Tính nguyên hàm dưới đây:
J=\int \frac{dx}{sin^2x-2sinxcosx-2cos^2x}
\begin{aligned}
&\text{Đặt }tanx=t \Rightarrow\frac{dx}{cos^2x}=dt\\
&\Rightarrow J=\int\frac{dt}{t^2-2t-2}=\int \frac{d(t-1)}{(t-1)^2-(\sqrt3)^2}=\frac{1}{2\sqrt3}ln\left|\frac{t-1-\sqrt3}{t-1+\sqrt3} \right|+C\\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2\sqrt3}ln\left|\frac{tanx-1-\sqrt3}{tanx-1+\sqrt3} \right|+C
\end{aligned}
I=\int\frac{a_1sinx+b_1cosx}{a_2sinx+b_2cosx}dx
\begin{aligned}
&\text{Ta tìm A, B sao cho:}\\
&a_1sinx+b_1cosx=A(a_2sinx+b_2cosx)+B(a_2cosx-b_2sinx)
\end{aligned}
Tính nguyên hàm sau:
I=\int\frac{4sinx+3cosx}{sinx+2cosx}dx
\begin{aligned}
&\text{Ta tìm A, B sao cho:}\\
&4sinx +3cosx=A(sinx+2cosx)+B(cosx-2sinx)\\
&\Rightarrow 4sinx+3cosx=(A-2B)sinx+(2A+B)cosx \Rightarrow\begin{cases} A-2B=4\\
2A+B=3\end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} A=2\\B=-1\end{cases} \\
&\text{Từ đó:}\\
&I=\int\frac{2(sinx+2cosx)-(cosx-2sinx)}{sinx+2cosx}dx\\
& \ \ =2\int dx-\int \frac{d(sinx+2cosx)}{sinx+2cosx}\\
& \ \ =2x-ln|sinx+cos2x|+C
\end{aligned}
1. Tính nguyên hàm sau
I=\lmoustache sin^3x.cosx\space dx
\begin{aligned}
& Ta\space có:\space sin^3x.cosxdx=\lmoustache sin^3x.d(sinx)\\
& Đặt\space u=sinx\space ta\space được:\\
& I=\lmoustache sin^3x.cosxdx=\lmoustache sin^3d(sinx)\\
& u^3du=\frac{u^4}{4}+c=\frac{sin^4x}{4}+C
\end{aligned}
2. Tính nguyên hàm
\intop \frac{cos^5x}{sinx}dx
\begin{aligned}
& \intop \frac{cos^5x}{sinx}dx=\intop \frac{(1-sin^2x)^2dsinx}{sinx}=\intop \bigg( \frac{1}{sinx}-2sinx+sin^3x \bigg)dsinx\\
&ln|sinx|-sin^2x+\frac{sin^4x}{4}+C
\end{aligned}
3. Tính nguyên hàm D
D=\intop \frac{dx}{3cosx+5sinx+3}
\begin{aligned}
&Đặt\space tan\frac{x}{2}=t\\
&\rArr \begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\
cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}
\end{cases}\\
& Từ\space đó\space, D=\intop \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{3.\frac{1-t^2}{1+t^2}+5\frac{2t}{1+t^2}+3}
=\frac{2dt}{3-3t^2+10+3t+2t^2}=\intop\frac{2dt}{10t+6}\\
&=\frac{1}{5}\intop \frac{d(5t+3)}{5t+3}=\frac{1}{5}ln|5t+3|+C=\frac{1}{5}ln|5tan\frac{x}{2}=3|+C\\
\end{aligned}
Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education
Trên đây là những công thức nguyên hàm lượng giác và các dạng toán thường gặp. Các em có thể lưu về để có thể hoàn thành bài tập về chủ đề này nhanh chóng và hiệu quả hơn.
Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!
CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM
