Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số: Lý Thuyết Và Cách Tìm Đường Tiệm Cận

Marathon Team - 16/03/2022

Trong chương trình toán học 12 thì đường tiệm cận là khái niệm mới mà các em học sinh cần phải sử dụng nhiều để giải các bài toán. Vậy đường tiệm cận là gì? Cách tìm đường tiệm cận như thế nào? Cùng Team Marathon Education theo dõi và tìm hiểu ngay qua bài viết dưới đây.

>>> Xem thêm: Đạo Hàm Là Gì? Các Công Thức Tính Đạo Hàm Thường Gặp

Khái niệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Ta có: Cho đường thẳng y = f(x) có đồ thị C:

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (Nguồn: Internet)

Đường tiệm cận đứng

Đồ thị C có đường tiệm cận đứng là x = a nếu như f(x) thỏa mãn được 1 trong 4 điều kiện sau:

\begin{aligned}
&\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=+\infin\\
&\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=-\infin\\
&\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=+\infin\\
&\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=-\infin\\
\end{aligned}

Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng y = b sẽ là tiệm cận ngang của đồ thị (C) nếu thỏa mãn ít nhất một trong các điều kiện sau:

\begin{aligned}
&\lim\limits_{x\to +\infin}f(x)=b\\
&\lim\limits_{x\to-\infin}f(x)=b\\
\end{aligned}

Lưu ý: Đối với hàm số đa thức thì không có đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng. Do đó, đối với các bài toán dạng này các em không cần thực hiện tìm các đường tiệm cận này.

Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) được gọi là đường tiệm xiên của đồ thị (C) nếu như đường thẳng này thỏa mãn được ít nhất một trong 2 điều kiện dưới đây:

\begin{aligned}
\left[ \begin{array}{c}
\lim\limits_{x\to +\infin}[f(x)-(ax+b)]=0\\\lim\limits_{x\to -\infin}[f(x)-(ax+b)]=0
\end{array}\right.
\end{aligned}

Trong đó:

\begin{cases}
a=\lim\limits_{x\to +\infin}\frac{f(x)}{x}\\
b=\lim\limits_{x\to +\infin}[f(x)-ax]
\end{cases} \text{ hoặc }
\begin{cases}
a=\lim\limits_{x\to -\infin}\frac{f(x)}{x}\\
b=\lim\limits_{x\to -\infin}[f(x)-ax]
\end{cases} 

>>> Xem thêm: Cách Tính Đạo Hàm Hàm Hợp Và Bài Tập Ứng Dụng

Cách tìm đường tiệm cận và các dạng bài tập

Đối với mỗi dạng hàm số khác nhau sẽ có những phương pháp giải tìm đường tiệm cận riêng. Dưới đây là hướng dẫn cách để tìm đường tiệm cận chi tiết và dễ hiểu nhất mà các em có thể áp dụng đối với 3 dạng toán: Tìm đường tiệm cận của hàm số phân thức bậc nhất, hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số căn thức:

Dạng 1: Tìm đường tiệm cận của hàm số phân thức bậc nhất

Phương pháp giải 

Cho hàm số phân thức bậc nhất:

y=\frac{ax+b}{cx+d}
\begin{aligned}
&\small\text{Để hàm số trên tồn tại các đường tiệm cận thì hàm số phải thỏa mãn điều kiện: } c ≠ 0 \text{ và } ad\ – \ bc ≠ 0\\
&\small\text{Khi đó ta sẽ được các đường tiệm cận đứng }x=-\frac{d}{c} \text{ và đường tiệm cận ngang }y=\frac{a}{c}.
\end{aligned}

Ví dụ: Xác định đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số:

y=\frac{2x-1}{x+2}

Giải:

\begin{aligned}
&\small\text{TXĐ: } D=\R \setminus \{-2\}\\
&\small\text{Ta có: }\\
&\lim\limits_{x\to -\infin}y=\lim\limits_{x\to -\infin}\frac{2x-1}{x+2}=2\\
&\lim\limits_{x\to +\infin}y=\lim\limits_{x\to +\infin}\frac{2x-1}{x+2}=2\\
&\small\text{Vậy hàm số trên có đường tiệm cận ngang là }y = 2.\\
&\small\text{Ta có: }\\
&\lim\limits_{x\to (-2)^-}y=\lim\limits_{x\to (-2)^-}\frac{2x-1}{x+2}=-\infin\\
&\lim\limits_{x\to (-2)^+}y=\lim\limits_{x\to (-2)^+}\frac{2x-1}{x+2}=+\infin\\
&\small\text{Vậy hàm số trên có đường tiệm cận đứng là }x = -2.
\end{aligned}

Kết luận: Đồ thị hàm số hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang là y = 2 và đường tiệm cận đứng là x = -2.

Dạng 2: Tìm đường tiệm cận của hàm số phân thức hữu tỉ

Phương pháp giải

\begin{aligned}
&\small \text{Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số }y=\frac{A}{f(x)} \text{ với A là số thực khác 0 và f(x) là đa thức bậc n}\\
&\small \text{(n> 0).}\\
&\small \bull\text{Đồ thị hàm số } y=\frac{A}{f(x)} \text{ luôn có một tiệm cận ngang y = 0.}\\
&\small \bull\text{Tiệm cận đứng của hàm số } y=\frac{A}{f(x)} \text{là } x = x_0 \text{ nếu như thỏa mãn điều kiện }x_0 \text{ là nghiệm của}\\
&\small \text{đa thức }f(x) \text{ hay } f(x) = 0.\\
&\small \bull\text{Tiệm cận của }y=\frac{f(x)}{g(x)}
\end{aligned}

TH2:

\begin{aligned}
&\small \text{Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số }y=\frac{f(x)}{g(x)}, \text{trong đó f(x) và g(x) là các đa thức bậc khác 0.}\\
&\small \bull\text{Hàm số } y=\frac{f(x)}{g(x)} \text{có tiệm cận ngang nếu như thỏa mãn điều kiện bậc đa thức f(x) nhỏ hơn bậc }\\
&\small \text{của đa thức g(x).}\\
&\small \bull\text{Để đường thẳng }x = x_0 \text{ trở thành tiệm cận đứng của đồ thị hàm số }y=\frac{f(x)}{g(x)} \text{ thì }x_0 \text{ phải là }\\
&\small \text{ nghiệm của g(x) nhưng không phải của f(x) hoặc đồng thời }x_0 \text{ là nghiệm}\\
&\small \text{bội n của g(x) và nghiệm bội m của f(x) }(m < n).
\end{aligned}

Ví dụ: Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của hàm số

y=\frac{x^2-x+1}{x-1}

Giải:

\begin{aligned}
&\small\text{TXĐ: } D=\R \setminus \{1\}\\
&\small\text{Ta có: }\\
&\lim\limits_{x\to +\infin}y=\lim\limits_{x\to +\infin}\frac{x^2-x+1}{x-1}=+\infin\\
&\lim\limits_{x\to -\infin}y=\lim\limits_{x\to -\infin}\frac{x^2-x+1}{x-1}=-\infin\\
&\small\text{Vậy hàm số trên không có đường tiệm cận ngang.}\\
&\small\text{Ta có: }\\
&\lim\limits_{x\to 1^+}y=\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{x^2-x+1}{x-1}=+\infin\\
&\lim\limits_{x\to 1^-}y=\lim\limits_{x\to 1^-}\frac{x^2-x+1}{x-1}=-\infin\\
&\small\text{Vậy hàm số trên có đường tiệm cận đứng là }x = 1
\end{aligned}

Kết luận: Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = 1.

Dạng 3: Tìm đường tiệm cận của hàm số căn thức

Phương pháp giải:

Cho hàm số y = f(x) với f(x) là hàm số chứa căn.

Tìm tập xác định D của f(x)

Để hàm số y = f(x) có tồn tại tiệm cận ngang thì:

\begin{aligned}
&\small\bull \text{Trong tập xác định D của hàm số phải chứa ít nhất một trong hai kí hiệu -∞ hoặc +∞ }\\
&\small\bull \text{Một trong 2 giới hạn }\lim\limits_{x\to -\infin}y \text{ hoặc }\lim\limits_{x\to +\infin}y \text{ hữu hạn.}
\end{aligned}

Ví dụ 1: Xác định tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của hàm số

y=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}

Giải: 

\begin{aligned}
&\small\text{TXĐ: } D=\R \setminus \{0\}\\
&\small\text{Ta có: }\\
&\lim\limits_{x\to +\infin}y=\lim\limits_{x\to +\infin}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=-1\\
&\lim\limits_{x\to -\infin}y=\lim\limits_{x\to -\infin}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=-1\\
&\small\text{Vậy đường thẳng }y = -1 \text{ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.}\\
&\small\text{Ta có: }\\
&\lim\limits_{x\to 0^+}y=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=+\infin\\
&\lim\limits_{x\to 0^-}y=\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=-\infin\\
&\small\text{Vậy hàm số trên có đường tiệm cận đứng là }x = 0
\end{aligned}

Ví dụ 2: Xac định tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của hàm số

y=1+\sqrt{1-x^2}

Giải: 

Ta có:

y=1+\sqrt{1-x^2} \Leftrightarrow\begin{cases}-1 \le x\le 1\\ y\ge 1 \\ x^2+(y-1)^2=1\end{cases}

Vậy đồ thị hàm số là nửa đường tròn bán kính R = 1, tâm I(0;1) nên đồ thị không có đường tiệm cận.

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Toán 12 Cực Trị Của Hàm Số Và Phương Pháp Tìm Cực Trị

Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education

Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Các khóa học online tại Marathon Education


Trên đây là chia sẻ của Team Marathon Education về kiến thức toán học 12 đường tiệm cận và các phương pháp giải dễ hiểu nhất. Hi vọng qua bài viết này các em sẽ nắm rõ hơn được kiến thức và áp dụng vào các bài toán của mình thành công. Chúc các em đạt nhiều thành tích cao trong học tập.

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM