Nguyên Hàm Của Hàm Số Lượng Giác

Marathon Team - 11/04/2022

Nguyên hàm lượng giác là kiến thức vô cùng quan trọng trong chương trình toán cấp 3. Các công thức nguyên hàm lượng giác có nhiều mức độ, từ hàm sơ cấp cho đến các công thức hàm hợp, theo đó là rất nhiều dạng bài tập khác nhau. Marathon Education sẽ tổng hợp các công thức lượng giác cơ bản, công thức nguyên hàm lượng giác và các dạng bài tập vận dụng liên quan qua bài viết sau.

>>> Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Một Số Bài Tập Ví Dụ

Các công thức lượng giác cần nhớ

\begin{aligned}
&\small\text{1. Hằng đẳng thức lượng giác:}\\
& \ \ \ \ \bull sin^2x+cos^2x=1\\
& \ \ \ \ \bull \frac{1}{sin^2x}=1+cot^2x\\
& \ \ \ \ \bull \frac{1}{cos^2x}=1+tan^2x\\
&\small\text{2. Công thức cộng:}\\
& \ \ \ \ \ \bull sin(a\pm b)=sina.cosb\pm sinb.cosa\\
& \ \ \ \ \ \bull cos(a\pm b)=cosa.cosb\mp sina.cosb\\
& \ \ \ \ \ \bull tan(a\pm b)=\frac{tana \pm tanb}{1\mp tana.tanb}\\
&\small\text{3. Công thức nhân đôi:}\\
& \ \ \ \ \ \bull sin2a=2sina.cosa\\
& \ \ \ \ \ \bull cos2a=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a\\
&\small\text{4. Công thức nhân ba:}\\
& \ \ \ \ \ \bull sin3a=3sina-4sin^3a\\
& \ \ \ \ \ \bull cos3a=4cos^3a-3cosa\\
&\small\text{5. Công thức hạ bậc:}\\
& \ \ \ \ \ \bull sin^2a=\frac{1-cos2a}{2}\\
& \ \ \ \ \ \bull cos^2a=\frac{1+cos2a}{2}\\
&\small\text{6.Công thức biến đổi tích thành tổng:}\\
& \ \ \ \ \ \bull cosa.cosb=\frac{1}{2}[cos(a-b)+cos(a+b)]\\
& \ \ \ \ \ \bull sina.sinb=\frac{1}{2}[cos(a-b)-cos(a+b)]\\
& \ \ \ \ \ \bull sina.cosb=\frac{1}{2}[sin(a-b)+sin(a+b)]\\
\end{aligned}

>>> Xem thêm: Hàm Số Lượng Giác – Lý Thuyết Và Các Công Thức

Bảng công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản

Công thức tính nguyên hàm lượng giác cơ bản

Bảng công thức nguyên hàm lượng giác hàm số hợp

Bảng công thức nguyên hàm lượng giác hàm số hợp u = u(x)

công thức nguyên hàm hàm số hợp u = u(x)

Bảng công thức nguyên hàm lượng giác hàm số hợp u = ax + b

công thức nguyên hàm hàm số hợp u = ax + b

>>> Xem thêm: Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết

6 dạng nguyên hàm lượng giác thường gặp và phương pháp giải

Các bài toán tìm nguyên hàm lượng giác rất đa dạng và phức tạp. Mỗi dạng sẽ có cách biến đổi và hướng giải khác nhau. Vì vậy, Marathon Education đã tổng hợp 6 dạng toán thường gặp nhất và phương pháp giải của từng dạng để giúp các em nắm vững các bài toán dạng này.

Dạng 1

I=\int\frac{dx}{sin(x+a)(sin(x+b)}
  • Phương pháp giải:
\begin{aligned}
&\text{Dùng đồng nhất thức:}\\
&1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=\frac{sin[(x+a)-(x+b)}{sin(a-b)}=\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}\\
&\text{Từ đó suy ra:}\\
&I=\frac{1}{sin(a-b)}\int\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(x+a)sin(x+b)}dx\\
&\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}\int \left[ \frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}-\frac{cos(x+a)}{sin(x+a)} \right]dx\\
&\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}[ln|sin(x+b)|-ln|sin(x+a)|]+C
\end{aligned}

Lưu ý

Với các này, ta có thể tìm được các nguyên hàm:

\begin{aligned}
&\bull J=\int\frac{dx}{cos(x+a)cos(x+b)} \text{ bằng các dùng đồng nhất thức }1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}.\\
&\bull K=\int\frac{dx}{sin(x+a)cos(x+b)} \text{ bằng các dùng đồng nhất thức }1=\frac{cos(a-b)}{cos(a-b)}.\\
\end{aligned}
  • Ví dụ:

Tính nguyên hàm sau đây:

I=\int \frac{dx}{sinx.sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}
  • Bài giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta có:}\\
&1=\frac{sin\frac{\pi}{6}}{sin\frac{\pi}{6}}=\frac{sin\left[\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-x\right]}{\frac{1}{2}}=2\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)cosx-cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)sinx  \right]\\
&\text{Từ đó:}\\
&I=2\int\frac{\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)cosx-cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)sinx  \right]}{sinx.sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}dx\\
&\ \ =2\int \left[\frac{cosx}{sinx}-\frac{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} \right]dx\\
&\ \ =2\int\frac{d(sinx)}{sinx}-2\int\frac{d\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right]}{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\\
&\ \ =2ln\left|\frac{sinx}{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)} \right|+C
\end{aligned}

Dạng 2

I=\int tan(x+a)tan(x+b)dx
  • Phương pháp giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta có:}\\
& tan(x+a)tan(x+b)\\
&=\frac{sin(x+a)sin(x+b)}{cos(x+a)cos(x+b)}\\
&=\frac{sin(x+a)sin(x+b)+cos(x+a)cos(x+b)}{cos(x+a)cos(x+b)}-1\\
&=\frac{cos(a-b)}{ cos(x+a)cos(x+b)}-1\\
&\text{Từ đó:}\\
&I=cos(a-b)\int\frac{dx}{cos(x+a)cos(x+b)}-1\\
&\text{Đến đây, ta gặp bài toán tìm nguyên hàm lượng giác ở \textbf{Dạng 1}.}
\end{aligned}

Lưu ý

Với các này, ta có thể tính được các nguyên hàm:

\begin{aligned}
&\bull J=\int cot(x+a)cot(x+b)dx\\
&\bull K=\int tan(x+a)tan(x+b)dx
\end{aligned}
  • Ví dụ:

Tính nguyên hàm sau đây:

K=\int tan\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cot\left(x+\frac{\pi}{6}\right)dx
  • Bài giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta có:}\\
&tan\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cot\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\\
&=\frac{sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\\
&=\frac{sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)- cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\\
&=\frac{sin\left[ \left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\left(x+\frac{\pi}{6}\right) \right]}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\\
&=\frac{1}{2}.\frac{1}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\\
&\text{Từ đó:}\\
&K=\frac{1}{2}\int \frac{1}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}dx+\int dx\\
&\ \ \  \ =\frac{1}{2}K_1+x+C\\
&\text{Đến đây, bằng cách tính ở dạng 1, ta tính được:}\\
&K_1=\int \frac{1}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}dx=\frac{2}{\sqrt3}ln\left| \frac{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\right|+C\\
&\text{Suy ra:}\\
&K=\frac{\sqrt3}{3}ln\left| \frac{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\right|+x+C
\end{aligned}

Dạng 3

I=\int\frac{dx}{asinx+bcosx}
  • Phương pháp giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta có:}\\
&asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx\right)\\
&\Rightarrow asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2}sin(x+\alpha)\\
&\Rightarrow I=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\int \frac{dx}{sin(x+\alpha)}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} ln \left|tan\frac{x+\alpha}{2} \right|+C

\end{aligned}
  • Ví dụ:

Tính nguyên hàm sau:

I=\int\frac{2dx}{\sqrt3 sinx+cosx}
  • Bài giải:
\begin{aligned}
&I=\int\frac{2dx}{\sqrt3 sinx+cosx}=\int\frac{dx}{\frac{\sqrt3}{2} sinx+\frac{1}{2}cosx}=\int \frac{dx}{sinxcos\frac{\pi}{6}+cosxsin\frac{\pi}{6}}\\
& \ \ =\int \frac{dx}{sin\left(x+\frac{\pi}{6} \right)}=\int \frac{d\left(x+\frac{\pi}{6} \right)}{sin\left(x+\frac{\pi}{6} \right)}=ln\left| tan\frac{x+\frac{\pi}{6}}{2} \right|+C=ln\left| tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12} \right) \right|+C
\end{aligned}

Dạng 4

I=\int\frac{dx}{asinx+bcosx}
  • Phương pháp giải:
\text{Đặt }tan\frac{x}{2}=t \Rightarrow
\begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\
sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\
cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\
tanx=\frac{2t}{1-t^2} \end{cases}
  • Ví dụ:

Tính nguyên hàm sau đây:

K=\int\frac{dx}{sinx+tanx}
  • Bài giải:
\begin{aligned}
&\text{Đặt }tan\frac{x}{2}=t \Rightarrow
\begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\
sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\
tanx=\frac{2t}{1-t^2} \end{cases}\\
&\text{Từ đó:}\\
&K=\int \frac{\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{2t}{1-t^2}}=\frac{1}{2}\int \frac{1-t^2}{t}dt=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t}-\frac{1}{2}\int tdt\\
&\ \ \ = \frac{1}{2}ln|t|-\frac{1}{4}t^2+C= \frac{1}{2}ln\left|tan\frac{x}{2}\right|-\frac{1}{4}tan^2\frac{x}{2}+C
\end{aligned}

Dạng 5

I=\int\frac{dx}{asin^2x+bsinxcosx+ccos^2x}
  • Phương pháp giải:
\begin{aligned}
&I=\int\frac{dx}{(atan^2x+btanx+c)cos^2x}\\
&\text{Đặt }tanx=t\Rightarrow \frac{dx}{cos^2x}=dt\\
&\text{Suy ra: }I=\int \frac{dt}{at^2+bt+c}
\end{aligned}
  • Ví dụ:

Tính nguyên hàm dưới đây:

J=\int \frac{dx}{sin^2x-2sinxcosx-2cos^2x}
  • Bài giải:
\begin{aligned}
&\text{Đặt }tanx=t \Rightarrow\frac{dx}{cos^2x}=dt\\
&\Rightarrow J=\int\frac{dt}{t^2-2t-2}=\int \frac{d(t-1)}{(t-1)^2-(\sqrt3)^2}=\frac{1}{2\sqrt3}ln\left|\frac{t-1-\sqrt3}{t-1+\sqrt3} \right|+C\\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2\sqrt3}ln\left|\frac{tanx-1-\sqrt3}{tanx-1+\sqrt3} \right|+C
\end{aligned}

Dạng 6

I=\int\frac{a_1sinx+b_1cosx}{a_2sinx+b_2cosx}dx
  • Phương pháp giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta tìm A, B sao cho:}\\
&a_1sinx+b_1cosx=A(a_2sinx+b_2cosx)+B(a_2cosx-b_2sinx)
\end{aligned}
  • Ví dụ:

Tính nguyên hàm sau:

I=\int\frac{4sinx+3cosx}{sinx+2cosx}dx
  • Bài giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta tìm A, B sao cho:}\\
&4sinx +3cosx=A(sinx+2cosx)+B(cosx-2sinx)\\
&\Rightarrow 4sinx+3cosx=(A-2B)sinx+(2A+B)cosx \Rightarrow\begin{cases} A-2B=4\\
2A+B=3\end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} A=2\\B=-1\end{cases} \\
&\text{Từ đó:}\\
&I=\int\frac{2(sinx+2cosx)-(cosx-2sinx)}{sinx+2cosx}dx\\
& \ \ =2\int dx-\int \frac{d(sinx+2cosx)}{sinx+2cosx}\\
& \ \ =2x-ln|sinx+cos2x|+C
\end{aligned}

Bài tập nguyên hàm lượng giác

1. Tính nguyên hàm sau

 I=\lmoustache sin^3x.cosx\space dx
\begin{aligned}
& Ta\space có:\space sin^3x.cosxdx=\lmoustache sin^3x.d(sinx)\\
& Đặt\space u=sinx\space ta\space được:\\
& I=\lmoustache sin^3x.cosxdx=\lmoustache sin^3d(sinx)\\
& u^3du=\frac{u^4}{4}+c=\frac{sin^4x}{4}+C
\end{aligned}

2. Tính nguyên hàm

\intop \frac{cos^5x}{sinx}dx
\begin{aligned}
& \intop \frac{cos^5x}{sinx}dx=\intop \frac{(1-sin^2x)^2dsinx}{sinx}=\intop \bigg( \frac{1}{sinx}-2sinx+sin^3x \bigg)dsinx\\
&ln|sinx|-sin^2x+\frac{sin^4x}{4}+C

\end{aligned}

3. Tính nguyên hàm D

 D=\intop \frac{dx}{3cosx+5sinx+3}
\begin{aligned}
&Đặt\space tan\frac{x}{2}=t\\
&\rArr \begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\
cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}
\end{cases}\\
& Từ\space đó\space, D=\intop \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{3.\frac{1-t^2}{1+t^2}+5\frac{2t}{1+t^2}+3}
=\frac{2dt}{3-3t^2+10+3t+2t^2}=\intop\frac{2dt}{10t+6}\\
&=\frac{1}{5}\intop \frac{d(5t+3)}{5t+3}=\frac{1}{5}ln|5t+3|+C=\frac{1}{5}ln|5tan\frac{x}{2}=3|+C\\

\end{aligned}

Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education

Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Các khóa học online tại Marathon Education

Trên đây là những công thức nguyên hàm lượng giác và các dạng toán thường gặp. Các em có thể lưu về để có thể hoàn thành bài tập về chủ đề này nhanh chóng và hiệu quả hơn. Chúc các em học tốt và đạt được điểm cao trong các kì thi!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM