Lý Thuyết Đầy Đủ Về Số Phức. Cách Giải Bài Tập Số Phức Bằng Máy Tính Cầm Tay

Marathon Team - 23/02/2022

Số phức là phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán Đại số cấp 3. Có thể nhận thấy, các dạng bài tập về số phức thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra hay đề thi. Để hiểu rõ hơn về số phức cũng như biết cách giải bài toán số phức bằng máy tính cầm tay, các em hãy đọc ngay bài viết bên dưới đây từ Team Marathon Education.

>>> Xem thêm: Dạng Bài Tập Và Cách Giải Bất Phương Trình Toán Lớp 10

Khái niệm số phức

Số phức là gì
Số phức là gì (Nguồn: Internet)
  • Số phức sẽ được biểu diễn dưới dạng z=a+bi. Trong đó, a và b là các số nguyên. Số a sẽ được gọi là phần thực của số phức, số b được gọi là phần ảo của số phức. Còn giá trị i thì được xem là đơn vị ảo, quy ước i2 = – 1.
  • Tập hợp số phức sẽ được ký hiệu là C.
  • Nếu z là số thực thì phần ảo b sẽ có giá trị bằng 0. Ngược lại, nếu z là số thuần ảo thì giá trị a – phần thực của z sẽ bằng 0. 
  • Xét hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Điều kiện để hai số phức này bằng nhau khi và chỉ khi a=a’; b=b’.

Biểu diễn hình học của số phức

Biểu diễn hình học của số phức
Biểu diễn hình học của số phức (Nguồn: Internet)

Cho một số phức xác định z = a+bi (với a, b là các số thực). Xét trong mặt phẳng phức Oxy, z sẽ được biểu diễn dưới dạng điểm M (a;b) hoặc bởi vectơ u = (a;b). Một điểm cần lưu ý ở đây đó chính là ở mặt phẳng phức, Ox sẽ được gọi là trục thực và Oy sẽ được gọi là trục ảo. 

Môđun số phức

Khái niệm về môđun số phức z = a+bi có thể được hiểu là độ dài của vectơ u (a;b) biểu diễn số phức được đề cập.

\begin{aligned}
&\text{Kí hiệu: }|z|=\sqrt{a^2+b^2}\\
&\bull |z_1z_2|=|z_1|.|z_2|\\
&\bull ||z_1|-|z_2||\le |z_1+z_2| \le |z_1|+|z_2|\\
&\bull \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}
\end{aligned}

Số phức liên hợp

\begin{aligned}
&\text{Số phức liên hợp của số phức z = a+bi là }\overline{z}=a-bi\\
&\bull|z|=|\overline{z}|; \ \overline{z\mp z}'=\overline{z}\pm \overline{z'} \\&\ \ \ \ \ \overline{z.z'}=\overline{z}.\overline{z'};\  \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}; \ z.\overline{z}=a^2+b^2\\
&\bull\text{Nếu z là số thực thì }z=\overline{z}\\
&\bull\text{Còn nếu z là số ảo thì }z=-\overline{z}
\end{aligned}

Các phép tính với số phức

Dưới đây là một số phép tính giữa 2 số phức z1=a1+b1i và số phức z2=a2+b2i mà các em cần ghi nhớ:

Phép cộng và trừ

  • z1+z2=a1+a2+(b1+b2)i
  • z1-z2=a1-a2+(b1-b2)i

Phép nhân

  • z1.z2=(a1.a2-b1.b2)+(a1b2+a2.b1)i
  • kz1=ka1+kb1i, với k là số nguyên khác 0

Phép chia

\begin{aligned}
&\bull z^{-1}=\frac{1}{z^2}.\overline{z} \text{ với } z\not=0\\
&\bull \frac{z'}{z}=z'.z^{-1}=\frac{z'.z}{|z|^2}=\frac{z'.z}{z.\overline{z}}\\
&\bull \frac{z'}{z}=2 \Leftrightarrow z'=wz
\end{aligned}

Phép khai căn bậc 2

z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi ⇔ z2 = w ⇔ x2 – y2 = a và 2xy = b.

  • w = 0 có đúng một giá trị căn bậc 2 là z= 0.
  • w ≠ 0 có đúng hai căn bậc 2 đối nhau. 

Số phức dưới dạng lượng giác

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Đặt }r=\sqrt{a^2+b^2},\ cos\varphi=\frac{a}{r},\ sni\varphi=\frac{b}{r} \text{ thì số phức }z=a+bi \text{ sẽ được biểu diễn}\\
&\footnotesize\text{dưới dạng: }z=r(cos\varphi+isin\varphi). \text{ Trong đó:}\\
&\footnotesize\ \ \ \bull \varphi\text{ là acgumen của số phức z}\\
&\footnotesize\ \ \ \bull z^n=r^n(cos(n\varphi)+isin(n\varphi))
\end{aligned}

Cách giải bài tập số phức bằng máy tính cầm tay

Máy tính cầm tay sẽ là “trợ thủ đắc lực” giúp các em giải quyết các bài toán liên quan về số phức đơn giản hơn. Dưới đây là cách giải bài toán số phức bằng máy tính bỏ túi mới nhất mà các em cần biết.

  • Bước 1: Các em thiết lập môi trường tính toán số phức bằng cách bấm phím MODE + 2.
  • Bước 2: Khi trên màn hình máy tính hiện dòng chữ CMPLX thì có nghĩa là môi trường đã được thiết lập xong. Lúc này, các em sẽ tiến hành thao tác bấm máy như thông thường. 

Ngoài ra, Marathon Education cũng sẽ giới thiệu đến các em một số cách bấm phím với số phức qua bảng như sau:

Tính năngCách bấm
Phần ảo (i)Bấm phím ENG
Lấy Modun số phức (|z|)Bấm Shift+hyp
Số phức liên hợp (z)Bấm Shift+2+2
ArgumentBấm Shift+2+1
Lấy phần thực của số phứcBấm Shift+2+3
Lấy phần ảo của số phứcBấm Shift+2+4
Đổi sang dạng lượng giácBấm Shift+ mũi tên dưới +1
Đổi sang dạng sốBấm Shift+ mũi tên dưới +2

Để giúp các em hình dung cách bấm tốt hơn, Marathon Education có chia sẻ một số ví dụ sau:

Ví dụ 1: Tính z = (1 + 2i)3 + (3 – i)2

  • Bấm MODE 2.
  • Bấm (1 + 2i)3 + (3 – i)2 sẽ cho kết quả bằng -3 – 8i.

Ví dụ 2: Tìm modun của số phức

\begin{aligned}
&z = \left(\frac{3i+1}{2+i}\right)^2\\
&\bull\text{Bấm MODE 2.}\\
&\bull\text{Bấm }\left(\frac{3i+1}{2+i}\right)^2 \text{ thì sẽ được giá trị bằng 2.}
\end{aligned}

Ví dụ 3:

\text{Tìm }\overline{z}\text{ biết }z=\frac{3i-2}{i+1} 

Ở bài này ta sẽ có 2 cách bấm máy, cụ thể như sau:

  • Cách 1: Rút gọn z rồi đảo dấu phần ảo
\footnotesize \text{Sau khi bấm MODE 2, ta tiếp tục bấm }\frac{3i-2}{i+1} \text{ sẽ được kết quả }\frac12+\frac52i.\text{ Vậy, giá trị }\overline{z}=\frac12-\frac52i.
  • Cách 2: Bấm máy trực tiếp (nhấn shift 2 2)
\footnotesize \text{Nhập phép toán vào máy tính thì màn hình sẽ hiện là Conjg}\left(\frac{3i-2}{1+1}\right), \text{  được kết quả bằng }\frac12-\frac52i.

Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education

Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Các khóa học online tại Marathon Education

Kiến thức về số phức không phải là quá khó. Chỉ cần dành nhiều thời gian rèn luyện, các em sẽ sớm “công phá” được dạng toán này từ A đến Z. Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm nhiều kiến thức Toán – Lý – Hóa hữu ích khác trên website Marathon. Chúc các em luôn học tập tốt và đạt điểm cao trong các kì thi. 

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM