Các Dạng Toán Tìm Phần Thực Và Phần Ảo Của Số Phức

Số phức và các dạng toán về số phức là một trong những nội dung Toán 12 quan trọng, thường xuất hiện trong các bài thi đại học. Do vậy, trong bài viết này, Marathon Education đã hệ thống lại một số dạng toán cơ bản về tìm phần thực và phần ảo của số phức, đồng thời hướng dẫn phương pháp giải các dạng bài tập này. Các em hãy theo dõi ngay nội dung bài viết dưới đây.

>>> Dạng Bài Tập Và Cách Giải Bất Phương Trình Toán Lớp 10

Xác định phần thực và phần ảo của số phức

Phương pháp giải

Số phức có dạng: z = a + bi (a, b ∈ ℝ) có a là phần thực và b là phần ảo.

Ví dụ: Xác định phần thực và phần ảo của số phức sau:

1. z = 4 + 3i
2. z = 4i – 6
3. z = 5
4. z = 18i

Hướng dẫn giải

1. Số phức z = 4 + 3i có phần thực a = 4 và phần ảo b = 3.
2. Số phức z = 4i – 6 có phần thực a = -6 và phần ảo b = 4.
3. Số phức z = 5 có phần thực a = 5 và phần ảo b = 0.
4. Số phức z = 18i có phần thực a = 0 và phần ảo b = 18.

Tìm phần thực và phần ảo của số phức

Phương pháp giải

Để tìm được phần thực và phần ảo của số phức z, các em cần đưa z về dạng chung đó là z = x + iy (x, y ∈ ℝ). Lúc này phần thực của z là x và phần ảo là y. Để thực hiện được các em cần nắm vững một số kiến thức cơ bản đã học như:

\begin{aligned}
&\bull\  \frac{\overline{z_1}}{z_2}=\frac{z_1.\overline{z_2}}{|z_2|^2}\text{ với }z_1,z_2\in\Complex.\\
&\bull\ (1+i)^2=2i \text{ và }(1-i)^2=-2i\text{ với i là đơn vị ảo.}\\
&\bull\ \text{Công thức nhị thức Newton:}\\
&\text{Cho z = a + bi ⋲ C (Với a, b ∈ ℝ và n ∈ ℕ). Khi đó ta có:}\\
&z^n=(a+bi)^n=\sum^n_{k=0}C^k_na^{n-k}(bi)^k=\sum^n_{k=0}C_n^ka^{n-k}b^ki^k
\end{aligned}

Sau đó, để viết được kết quả dưới dạng đại số thì các em phải áp dụng các công thức: i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1. Từ đó, ta có công thức tổng quát như sau:

i^n=\begin{cases}
1\text{ nếu }n=4k\\
i\text{ nếu }n=4k+1\\
-1\text{ nếu }n=4k+2\\
-i\text{ nếu }n=4k+3\\
\end{cases}
\ \ \ (k\in\N)

Ví dụ: Cho số phức z = -i(7i + 6). Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.

Hướng dẫn giải

Ta có: 

z = -i(7i + 6) = -7i² – 6i = 7 – 6i

Vậy phần thực là 7 và phần ảo của số phức là -6.

Bài tập nâng cao tìm phần thực và phần ảo của số phức

Bài tập 1: Tìm phần thực và phần ảo của số phức

z=\frac{\sqrt3-i}{1+i}-\frac{\sqrt2-1}{i}

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{aligned}
&z=\frac{\sqrt3-i}{1+i}-\frac{\sqrt2-1}{i}\\
&=\frac{(\sqrt3-1)(1-i)}{(1+i)(1-i)}-\frac{(\sqrt2-i)2i}{2i^2}\\
&=\frac{\sqrt3-i\sqrt3-i+i^2}{2}+\frac{2+2i\sqrt2}{2}\\
&=\frac{\sqrt3+1+i(2\sqrt2-\sqrt3-1)}{2}\\
&=\frac{\sqrt3+1}{2}+\frac{2\sqrt2-\sqrt3-1}{2}i\\
&\text{Vậy số phức z cần tìm có phần thức là }\frac{\sqrt3+1}{2}\text{ và phần ảo là }\frac{2\sqrt2-\sqrt3-1}{2}
\end{aligned}

Bài tập 2: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z nếu:

(1 + i)^2. (2 - i)z = 8 + i + (1 + 2i)z

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{aligned}
&(1 + i)^2.(2 - i)z = 8 + i + (1 + 2i)z\\
&⇔ 2i(2 - i)z = 8 + i + (1 + 2i)z\\
&⇔ 2(1 + 2i)z = 8 + i + (1 + 2i)z\\
&⇔ (1 + 2i)z = 8 + i\\
&⇔z = \frac{8+i}{1+2}i = \frac{(8 + i)(1 - 2i)}{(1 + 2 i)(1 - 2i)} = \frac{10 - 15i}{5} = 2 - 3i
\end{aligned}

Vậy số phức cần tìm có phần thực là 2 và phần ảo bằng -3.

Bài tập 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:

z = \left(\frac{1 + i\sqrt3}{1 + i}\right)^3

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\begin{aligned}
&z = \left(\frac{1 + i\sqrt3}{1 + i}\right)^3\\
&\ \ =\frac{1+3\sqrt3i+3(\sqrt3i)^2+(\sqrt3i)^3}{2i(1+i)}\\
&\ \ =\frac{1+3\sqrt3i-9-3\sqrt3i}{-2+2i}\\
&\ \ =\frac{-8}{-2+2i}=\frac{-8(-2-2i)}{8}=2+2i
\end{aligned}

Vậy số phức có phần thực 2 và phần ảo 2.

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Hy vọng với những kiến thức về các dạng bài tập tìm phần thực và phần ảo của số phức Marathon đã chia sẻ trong bài viết trên sẽ giúp các em có thể giải bài tập tốt hơn. Ngoài ra, để học trực tuyến thêm nhiều kiến thức bổ ích khác thì các em có thể truy cập vào website Marathon Education. Chúc các em luôn đạt điểm tốt và học tập hiệu quả!