Phương Pháp Giải Bất Phương Trình Chứa Căn Chi Tiết

Phương trình hay bất phương trình chứa căn là dạng toán phổ biến, thường gặp trong chương trình Toán cấp 3. Team Marathon Education sẽ hướng dẫn chi tiết phương pháp giải bất phương trình chứa ẩn trong căn thức để giúp các em giải nhanh và chính xác các bài tập trong bài viết sau.

>>> Xem thêm: 3 Cách Giải Bất Phương Trình Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối Đơn Giản

Kiến thức và 6 dạng bất phương trình chứa căn cơ bản

Bất phương trình chứa căn là một dạng toán khó và phức tạp. Để giải bài tập liên quan đến dạng toán này, các em cần sử dụng một số định nghĩa phương trình và bất phương trình cơ bản sau đây:

\begin{aligned}
&* \sqrt{f(x)} = g(x)
⇔
\begin{cases}
f(x) ≥ 0\\
g(x) ≥ 0\\
f(x) = g^2(x)\\
\end{cases}
⇔
\begin{cases}
g(x) ≥ 0\\
f(x) = g^2(x)\\
\end{cases}\\
&* \sqrt{f(x)} < g(x)
⇔
\begin{cases}
f(x) ≥ 0\\
g(x) ≥ 0\\
f(x) < g^2(x)\\
\end{cases}\\
&
* \sqrt{f(x)} > g(x) ⇔
\left[
\begin{array}{c}
\begin{cases}
f(x) ≥ 0\\
g(x) < 0\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
g(x) ≥ 0\\
f(x) ≥ g^2(x)\\
\end{cases}\\
\end{array}
\right.
\end{aligned}

Có 6 dạng bất phương trình chứa căn cơ bản thường gặp gồm:

• Dạng 1: Bất phương trình chứa căn cơ bản.
• Dạng 2: Quy bất phương trình căn thức về hệ bất phương trình không chứa căn.
• Dạng 3: Sử bất phương trình tương đương hoặc hệ quả để giải bất phương trình có ẩn trong dấu căn.
• Dạng 4: Hệ bất phương trình có căn thức.
• Dạng 5: Áp dụng phương pháp chiều biến thiên hàm số để giải bất phương trình chứa căn.
• Dạng 6: Áp dụng phương pháp đánh giá 2 vế để giải phương trình và bất phương trình căn thức.

Nguyên tắc chung để giải dạng bất phương trình chứa căn

6 dạng cơ bản này còn được ứng dụng trong một số bài toán bất phương trình khác. Tuy nhiên, với các bài toán bất phương trình chứa dấu căn thức, nếu sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để bỏ căn thì bậc của các biến sẽ rất lớn.

Nguyên tắc chung để khử dấu căn thức là bình phương 2 vế của một phương trình, bất phương trình. Tuy nhiên, để đảm bảo việc bình phương này cho chúng ta một phương trình, bất phương trình mới tương đương thì cần phải có điều kiện cả 2 vế pt, bpt đều không âm.

Phương pháp giải bất phương trình chứa căn chi tiết

Phương pháp 1: Dùng định nghĩa để khử căn

Khử căn bằng định nghĩa cũng là phương pháp thường được sử dụng nhất để giải bất phương trình căn thức.

Tùy vào trường hợp, các em có thể áp dụng phương pháp này để giải cả 6 dạng bất phương trình đã nêu trên.

\small
\sqrt{A} ≥ \sqrt{B}
⇔
\begin{cases}
A ≥ 0 \space (B ≥ 0)\\
A = B\\
\end{cases}

\small
\sqrt{A} = B
⇔
\begin{cases}
B ≥ 0\\
A = B^2\\
\end{cases}

\small
\sqrt{A} < \sqrt{B}
⇔
\begin{cases}
A ≥ 0\\
A < B\\
\end{cases}

\small
\sqrt{A} < B
⇔
\begin{cases}
A ≥ 0\\
B > 0\\
A < B^2\\
\end{cases}

\small
\sqrt{A} > B
⇔
\begin{cases}
B < 0\\
A ≥ 0\\
\end{cases}
\space
\vee
\space
\begin{cases}
B ≥ 0\\
A > B^2\\
\end{cases}

Với điều kiện A và B không âm để bất phương trình xác định, từ đó các em thực hiện bình phương 2 vế. 

Ví dụ minh họa:

Giải bất phương trình sau:

\small
\sqrt{x+5} ≥ \sqrt{3-4x}
\\
⇔
\begin{cases}
x+5 ≥ 0\\
3-4x ≥ 0\\
x+5 ≥ 3-4x\\
\end{cases}
\\
⇔
\begin{cases}
x∈[-∞;\frac{3}{4}]\\
x∈[\frac{-2}{5};+∞]\\
\end{cases}
\\
⇔
x∈[\frac{-2}{5};\frac{3}{4}]

Phương pháp 2: Biến đổi tương đương

Các em có thể áp dụng phương pháp biến đổi tương đương bằng cách bình phương 2 vế của bất phương trình.

Dạng 1:

\small
\sqrt{f(x)} < g(x)
⇔
\begin{cases}
g(x) ≥ 0\\
0 ≤ f(x) < g^2(x)\\
\end{cases}

Dạng 2:

\sqrt{f(x)} > g(x) ⇔
\left[
\begin{array}{c}
\begin{cases}
f(x) ≥ 0\\
g(x) < 0\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
g(x) ≥ 0\\
f(x) ≥ g^2(x)\\
\end{cases}\\
\end{array}
\right.

Khi giải toán dạng này, các em cần thực hiện các bước như sau:

• Tìm điều kiện xác định.
• Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để chuyển bất phương trình căn thức về hệ bất phương trình đại số.
• Xác định nghiệm x và đối chiếu với điều kiện để đưa ra kết luận.

Ví dụ:

Giải bất phương trình:

\small
\sqrt{2(x^2-1)} ≤ x+1

Điều kiện xác định:

\small
x^2-1≥0 ⇔ x ∈ ℝ \backslash (-1;1)

Bất phương trình trên tương đương với:

\small
\begin{cases}
x+1≥0\\
2(x^2-1)< (x+1)^2\\
\end{cases}
⇔
\begin{cases}
x≥-1\\
x∈(-1;3)\\
\end{cases} 

Kết hợp với điều kiện trên, các em sẽ tìm được tập nghiệm: x ∈ (-1;3)

Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ

Để đơn giản hóa bất phương trình căn thức, các em có thể tiến hành đặt ẩn phụ để chuyển về bất phương trình đại số không chứa căn. Ẩn phụ ở đây được đặt cho biểu thức chứa căn.

Ví dụ minh họa:

Giải bất phương trình:

\small
(x-1)\sqrt{2x-1}≤3(x-1)

Điều kiện xác định:

\small
2x-1≥0⇔x≥\frac{1}{2}

Đặt:

\small
t=\sqrt{2x-1}, \space t≥0⟹x=\frac{t^2+1}{2}

Bất phương trình sẽ trở thành:

\begin{aligned}
&\small
\frac{t^2-1}{2}.t≤3(\frac{t^2+1}{2}-1)\\
&⇔t^3-3t^2-t+3≤0
\\
&⇔(t-3)(t-1)(t+1)≤0\\
&⟹t∈[1,3]⟹1≤\sqrt{2x-1}≤3
\\
&⇔1 ≤ x ≤ 5
\end{aligned}

Vậy, phương trình sẽ có nghiệm là: 1 ≤ x ≤ 5

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Qua bài viết này, Team Marathon đã chia sẻ cho các em học sinh những phương pháp giải bất phương trình chứa căn chi tiết. Để giải thành thạo các dạng toán, các em cần ôn tập kiến thức và làm bài tập thường xuyên. Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!