Cách Tính Nguyên Hàm Tanx Và Bài Tập Áp Dụng

Nguyên hàm lượng giác là một chủ đề quan trọng trong Toán Giải tích lớp 12. Các hàm lượng giác cơ bản sẽ có công thức tính nguyên hàm cụ thể, với một số hàm hợp phức tạp cần phải sử dụng phương pháp biến đổi thì các em mới có thể áp dụng công thức vào giải bài. Qua bài viết dưới đây, Marathon Education sẽ chia sẻ đến các em cách tính nguyên hàm tanx và phương pháp giải một số các bài tập áp dụng, giúp các em củng cố kiến thức này một cách hiệu quả hơn.

>>> Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Một Số Bài Tập Ví Dụ

>>> Xem thêm: Các Dạng Toán Tích Phân Hàm Ẩn Và Phương Pháp Giải Chi Tiết

>>> Xem thêm: Dạng Bài Tập Và Cách Giải Bất Phương Trình Toán Lớp 10

Công thức tính nguyên hàm của hàm số lượng giác cơ bản

Để tính nguyên hàm tanx, các em cần ghi nhớ bảng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác cơ bản dưới đây:

Tính nguyên hàm tanx

Hàm tanx sẽ không có công thức tính nguyên hàm cụ thể. Dựa theo bảng công thức nguyên hàm cơ bản bên trên chúng ta sẽ biến đổi để tính nguyên hàm tanx như sau:

\int tanxdx=\int \frac{sinx}{cosx}dx=-\int\frac{1}{cosx}d(cosx)=-ln|cosx|+C

Cách giải bài tập nguyên hàm tanx

Đối với dạng bài tập nguyên hàm tanx, các em phải biến đổi đưa về dạng nguyên hàm lượng giác cơ bản. Sau đó, các em sẽ áp dụng công thức sẵn có để tìm ra kết quả. Ngoài ra, các em có thể áp dụng thêm 2 phương pháp biến đổi hàm hợp nâng cao dưới đây để xử lý các dạng bài phức tạp:

Dạng 1: Tính nguyên hàm tanx bằng phương pháp đổi biến t = u(x)

• Bước 1: Đặt t = u(x)
• Bước 2: Tính vi phân 2 vế dt = u'(x)dx.
• Bước 3: Biến đổi hàm số f(x)dx = g(t)dt.
• Bước 4: Tính ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C = G(u(x)) + C.

Dạng 2: Tính nguyên hàm tanx bằng phương pháp đổi biến x = u(t)

• Bước 1: Đặt x = u(t)
• Bước 2: Tính vi phân 2 vế dx = u'(t)dt.
• Bước 3: Biến đổi hàm số f(x)dx = f(u(t)).u'(t).dt = g(t)dt
• Bước 4: Tính ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C

Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của hàm số

f(x)=\frac{1}{tanx}

Cách giải: Đây là dạng bài tập biến đổi cơ bản để áp dụng công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản.

\begin{aligned}
&f(x)=\frac{1}{tanx}=cotx\\
&\int f(x)=\int cotxdx=\int \frac{cosx}{sinx}dx=\int\frac{1}{sinx}d(sinx)=ln|sinx|+C
\end{aligned}

Như vậy, nguyên hàm của hàm số f(x) sẽ là ln|sinx| + C

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm của hàm số:

f(x) = tan^3x

Cách giải:

Ta tiến hành biến đổi và tính toán như sau:

\begin{aligned}
\int tan^3xdx&=\int \frac{sin^3x}{cos^3x}dx\\
&=-\int \frac{sin^2xd(cosx)}{cos^3x}\\
&=\int \frac{(cos^2x-1)^2d(cosx)}{cos^3x}\\
&=\int\frac{d(cosx)}{cosx}-\int \frac{d(cosx)}{cos^3x}\\
&=ln|cosx|+\frac{1}{2cos^2x}+C\\
&=ln|cosx|+\frac{tan^2x}{2}+C
\end{aligned}

Bài tập 3: Tìm nguyên hàm của hàm số:

f(x)=tan^5x

Cách giải:

Hàm số này được giải theo cách áp dụng phương pháp nâng cao mà Marathon Education đã chia sẻ.

\begin{aligned}
&\text{Đặt: }tanx=t\Rightarrow\frac{dx}{cos^2x}=dt\\
&\Rightarrow(tan^2x+1)dx=dt\Rightarrow dx=\frac{dt}{t^2+1}\\
&\text{Khi đó: }\\
I&=\int t^5\frac{dt}{t^2+1}\\
&=\int\left(t^3-t+\frac{t}{t^2+1}\right)dt\\
&=\int t^3dt-\int tdt+\int\frac{t}{t^2+1}dt\\
&=\frac{1}{4}t^4-\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{2}\int\frac{d(t^2+1)}{t^2+1}\\
&=\frac{1}{4}t^4-\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{2}ln|t^2+1|+C\\
&=\frac{1}{4}tan^4x-\frac{1}{2}tan^2x+\frac{1}{2}ln|tan^2x+1|+C\\
&=\frac{1}{4}tan^4x-\frac{1}{2}tan^2x+\frac{1}{2}ln\left|\frac{1}{cos^2x}\right|+C\\
&=\frac{1}{4}tan^4x-\frac{1}{2}tan^2x-ln|cosx|+C
\end{aligned}

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Các công thức nguyên hàm lượng giác thực sự không quá khó nếu như các em chăm chỉ luyện tập. Hy vọng với những kiến thức về nguyên hàm tanx và các bài tập vận dụng mà Marathon Education chia sẻ trên đây có thể giúp các em nắm vững kiến thức này đạt được thành tích cao hơn trong những bài kiểm tra toán sắp tới.

Các em đừng quên đăng ký học livestream Marathon Education ngay hôm nay để được nhận ưu đãi và trải nghiệm lớp học trực tuyến online thú vị. Chúc các em học tập hiệu quả và bứt phá điểm số thành công!