Lý Thuyết Toán 10 Dấu Của Tam Thức Bậc Hai Và Cách Xét Dấu

Toán 10 dấu của tam thức bậc hai là nội dung trọng tâm trong chương trình học. Để học tốt nội dung này và dành được điểm cao thì các em cần nắm chắc lý thuyết và vận dụng thành thạo để giải nhiều dạng bài tập. Marathon Education đã tổng hợp lý thuyết về Toán 10 dấu của tam thức bậc hai và cách xét dấu trong bài viết dưới đây.

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Toán 10 Dấu Của Nhị Thức Bậc Nhất Và Bài Tập Vận Dụng

Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là gì?

Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng như sau:

f(x) = ax² + bx + c với a, b, c là những hệ số và a ≠ 0.

>>> Xem thêm: Tổng Hợp Các Kí Hiệu Trong Toán Học Phổ Biến Đầy Đủ Và Chi Tiết

Dấu của tam thức bậc hai

Toán 10 dấu của tam thức bậc hai đã được chứng minh qua định lý sau đây:

Cho biểu thức f(x) = ax² + bx + c (với a ≠ 0)

Δ = b² – 4ac.

\begin{aligned}
&\bull \text{Nếu Δ < 0 thì biểu thức f(x) sẽ luôn cùng dấu với hệ số a (với mọi x ∈ R).}\\
&\bull \text{Nếu Δ > 0 thì biểu thức f(x) cùng dấu với hệ số a khi }x < x_1 \text{ hoặc } x > x_2 \text{ và trái dấu}\\
&\text{với hệ số a khi }x_1 < x < x_2. \text{ Trong đó, }x_1 \text{ và } x_2 \text{ là hai nghiệm của f(x) }(x_1 < x_2).\\
&\bull\text{Nếu Δ = 0 thì biểu thức f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi } x = -\frac{b}{2a}
\end{aligned}

Các em chú ý, ở định lý trên có thể thay Δ = b² – 4ac bằng biệt thức thu gọn là Δ’ = (b’)² – ac

Bất phương trình bậc hai một ẩn

Bất phương trình bậc hai là gì?

Bất phương trình bậc hai một ẩn x là bất phương trình có dạng:

• ax² + bx + c < 0
• ax² + bx + c ≤ 0
• ax² + bx + c > 0
• ax² + bx + c ≥ 0

Trong đó, a, b, c là những số thực và a ≠ 0.

Cách giải bất phương trình bậc hai

Để giải bất phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c < 0, các em cần phải tìm các khoảng mà trong đó:

• f(x) = ax² + bx + c cùng dấu với hệ số a (a < 0)
• f(x) = ax² + bx + c trái dấu với hệ số a (trường hợp a > 0)

>>> Xem thêm: Dạng Bài Tập Và Cách Giải Bất Phương Trình Toán Lớp 10

Bài tập minh họa cho Toán 10 dấu của tam thức bậc hai

Bài tập 1: Xét dấu tam thức bậc hai: -2x² + 3x + 5

\begin{aligned}
&\text{Tam thức }-2x^2 + 3x + 5 \text{ có } Δ = 9 + 40 = 49 > 0\\
&\text{Tam thức có hai nghiệm phân biệt là }x_1 = –1 \text{ và } x_2 = \frac{5}{2}, \text{ hệ số a }= –2 < 0
\end{aligned}

Các em lập bảng xét dấu như sau:

\begin{aligned}
\text{Vậy }&f(x) > 0\text{ khi }x ∈ (–1; 5/2)\\
&f(x) = 0\text{ khi }x = –1\text{ và } x = \frac{5}{2}\\
&f(x) < 0 \text{ khi } x ∈ (–∞; –1) ∪ \left(\frac{5}{2}; +∞\right)
\end{aligned}

Bài tập 2: Giải bất phương trình bậc hai: 4x² – x + 1 < 0

Bất phương trình này các em có thể giải theo 2 cách như sau:

Cách 1:

Xét tam thức f(x) = 4x² – x + 1 có Δ = -15 < 0; a = 4 > 0 nên f(x) > 0 ∀x ∈ R

Vậy bất phương trình 4x² – x + 1 < 0 vô nghiệm.

Cách 2:

\begin{aligned}
&4x^3-x+1\\
&=4x^2-2.2x.\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{15}{16}\\
&=\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{15}{16}\geq \frac{15}{16}>0\text{ với } ∀x ∈ R.
\end{aligned}

Vậy bất phương trình 4x² – x + 1 < 0 vô nghiệm.

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Trên đây là những kiến thức quan trọng và ví dụ minh họa về Toán 10 dấu của tam thức bậc hai mà các anh chị Team Marathon Education đã tổng hợp. Đừng quên theo dõi Marathon Education mỗi ngày để học online thêm nhiều bài học thú vị về Toán học. Chúc các em thành công!