Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết, Công Thức Và Các Dạng Bài Tập
Warning: mysqli_query(): (HY000/1): Can't create/write to file '/tmp/#sql-temptable-b851-b3c7e-b323.MAI' (Errcode: 28 "No space left on device") in /opt/bitnami/wordpress/wp-includes/wp-db.php on line 2162
Toán 12 nguyên hàm là nội dung quan trọng trong phần Đại số Giải tích lớp 12 và ôn thi đại học. Để giúp các em nắm vững kiến thức và ôn tập hiệu quả, Marathon Education đã tổng hợp những lý thuyết nguyên hàm toán 12 bao gồm định nghĩa, định lý, công thức nguyên hàm lớp 12 và các dạng bài tập nguyên hàm cơ bản với lời giải chi tiết trong bài viết dưới đây. Các em hãy cùng theo dõi và học tập nhé!
Lý thuyết Toán 12 nguyên hàm
Phần nội dung này sẽ tập trung vào phần lý thuyết để các em nắm rõ bản chất, từ đó vận dụng linh hoạt trong việc giải bài tập.
Định nghĩa nguyên hàm
- Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng).
- Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.
Định lý nguyên hàm
Nguyên hàm có 2 định lý cơ bản mà các em cần nhớ là:
- Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
- Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số. Do đó F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C.
Tính chất nguyên hàm
Dưới đây là 3 tính chất phổ biến của nguyên hàm Toán 12:
- Tính chất 1:
(\smallint f(x)dx)'= f(x) \small{\text{ và }} \smallint f'(x)dx = f(x) + C
- Tính chất 2:
\smallint kf(x)dx = k\smallint{f(x)dx} \small{\text{ với k là hằng số khác 0}}
- Tính chất 3:
\smallint [f(x) \pm g(x)]dx = \smallint f(x)dx \pm \smallint g(x)dx
Bảng tổng hợp các công thức toán 12 nguyên hàm thường gặp
>>> Xem thêm: Bảng Công Thức Nguyên Hàm Và Cách Giải Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết
Video học toán 12, lý thuyết và giải đề bài tập
> Xem thêm: Toán đạo hàm
Giải bài tập SGK Toán 12 nguyên hàm
Đây là phần giải bài tập nguyên hàm SGK Toán 12 và ứng dụng cho phần lý thuyết phía trên, các em tham khảo để hiểu rõ hơn về phần kiến thức nguyên hàm toán 12.
Bài 1 Giải bài tập Toán 12: Nguyên hàm Trang 100 SGK
Đề bài
Trong các cặp hàm số sau, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?
\begin{aligned}
&a.\ e^{-x} \text{ và } -e^{-x}\\
&b.\ sin2x \text{ và }sin^2x\\
&c. \left( 1-\frac2x \right)^2e^x \text{ và } \left( 1-\frac4x \right) e^x
\end{aligned}
Lời giải
\begin{aligned}
&a. \text{ Ta có: }\ [e^{-x}]'= -e^{-x}\\
&\text{Vậy }e^{-x} \text{ là nguyên hàm của }-e^{-x}\\
&b.\text{ Ta có: }\ [sin^2x]'= 2xinxcosx=sin2x\\
&\text{Vậy }sin^2x \text{ là nguyên hàm của }sin2x\\
&c.\text{ Ta có: }\\
& \left[\left( 1-\frac4x\right)e^x\right]'\\
&=\left( 1-\frac4x\right)'e^x+\left( 1-\frac4x\right)(e^x)'\\
&=e^x\left[ 1-\frac4x+\frac{4}{x^2}\right]=\left( 1-\frac2x\right)^2e^x\\
&\text{Vậy }\left( 1-\frac4x\right)e^x \text{ là nguyên hàm của }\left( 1-\frac2x\right)^2e^x\\
\end{aligned}
Bài 2 Giải bài tập Toán 12: Nguyên hàm Trang 100 SGK
Đề bài:
\begin{aligned}
& \small \bold{\text{Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:}}
\\
& \small \text{a. } f(x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}
\\
& \small \text{b. } f(x) = \frac{2^x - 1}{e^x}
\\
& \small \text{c. } f(x) = \frac{1}{sin^2x.cos^2x}
\\
& \small \text{d. } f(x) = sin5x.cos3x
\\
& \small \text{e. } f(x) = tan^2x
\\
& \small \text{g. } f(x) = e^{3-2x}
\\
& \small \text{h. } f(x) = \frac{1}{(1+x)(1-2x)}
\\
& \small \bold{\text{Lời giải:}}
\\
& \small \text{a. } \int \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}
\\
& \small = \int \left( x + x^{\frac12} + 1 \right). x^{\frac{-1}{3}}dx
\\
& \small = \int \left( x^{\frac23} + x^{\frac16} + x^{\frac{-1}{3}} \right)dx
\\
& \small = \int x^{\frac23}dx + \int x^{\frac16}dx + \int x^{\frac{-1}{3}}dx
\\
& \small = \frac35x^{\frac53} + \frac67x^{\frac76} + \frac32x^{\frac23} + C
\\
& \small = \frac35.x\sqrt[3]{x^2} + \frac67.x\sqrt[6]{x} + \frac32.\sqrt[3]{x^2} + C
\\
& \small \text{b. } \int \frac{2^x - 1}{e^x}
\\
& \small = \int \left[ \left( \frac2e \right)^x - \left( \frac1e \right)^x \right]
\\
& \small = \int \left( \frac2e \right)^xdx - \int e^{-x}dx
\\
& \small = \frac{\left( \frac2e \right)^x}{ln\left( \frac2e \right)} + e^{-x} + C
\\
& \small = \frac{2^x}{e^x.(ln2 - 1)} + e^{-x} + C
\\
& \small \text{c. } \int \frac{1}{sin^2x.cos^2x}dx
\\
& \small = \int \frac{sin^2x + sin^2x}{sin^2x.cos^2x}dx
\\
& \small = \int \left( \frac{1}{cos^2x} + \frac{1}{sin^2x} \right)dx
\\
& \small = \int \frac{1}{cos^2x}dx+ \int \frac{1}{sin^2x}dx
\\
& \small = tanx - cotx + C
\\
& \small \text{d. } \int sin5x.cos3xdx
\\
& \small = \int \frac12(sin8x + sin2x)dx
\\
& \small = \int \frac12sin8xdx + \int \frac12sin2xdx
\\
& \small = -\frac{1}{16}cos8x - \frac14cos2x + C
\\
& \small \text{e. } \int tan^2xdx
\\
& \small = \int \left( \frac{1}{cos^2x - 1}\right)dx
\\
& \small = \int \frac{1}{cos^2x - 1}dx - \int dx
\\
& \small = tanx - x + C
\\
& \small \text{g. } \int e^{3-2x}dx
\\
& \small \text{Đặt t = 3-2x}
\\
& \small \implies dt = -2dx
\\
& \small \iff dx = -\frac{dt}{2}
\\
& \small \int e^{3-2x}dx
\\
& \small = \int e^t.-\frac{dt}{2}
\\
& \small = -\frac12 \int e^t dt
\\
& \small = -\frac12e^t + C
\\
& \small = -\frac12e^{3-2x} + C
\\
& \small \text{h. } \int \frac{1}{(1+x)(1-2x)}dx
\\
& \small = \int \left[ \frac{1}{3(1+x)} + \frac{2}{3(1-2x)} \right]dx
\\
& \small = \frac13 \int \frac{1}{1+x}dx + \frac23 \int \frac{1}{1-2x}dx (*)
\\
& \small \text{Xét } \int \frac{1}{1+x}dx
\\
& \small \text{Đặt } t = 1+x
\\
& \small \implies dt = dx
\\
& \small \int \frac{1}{1+x}dx
\\
& \small = \int \frac{1}{t}dt
\\
& \small = ln|t| + C_1 = ln|1+x| + C_1 (1)
\\
& \small \text{Xét } \int \frac{1}{1-2x}dx
\\
& \small \text{Đặt } t = 1-2x
\\
& \small \implies dt = -2dx
\\
& \small \iff dx = -\frac{dt}{2}
\\
& \small \int \frac{1}{1-2x}dx
\\
& \small = -\frac12 \int \frac{1}{t}dt
\\
& \small = -\frac12ln|t| + C_2 = -\frac12ln|1-2x| + C_2 (2)
\\
& \small \text{Từ (1) và (2)}
\\
& \small (*) = \frac13 ln|1+x| - \frac13ln|1-2x| + C
\\
& \small = \frac13 ln|\frac{1+x}{1-2x}| + C
\end{aligned}
Bài 3 Trang 101 SGK Toán 12
Đề bài:
\begin{aligned}
& \small \text{Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính các nguyên hàm dưới đây:}
\\
& \small \text{a. } \int (1-x)^9dx \text{ (đặt } u = 1 - x)
\\
& \small \text{b. } \int x(1+x^2)^{\frac32}dx \text{ (đặt } u = 1 + x^2)
\\
& \small \text{c. } \int cos^3x.sinxdx \text{ (đặt } t = cosx)
\\
& \small \text{d. } \int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2} \text{ (đặt } u = e^x + 1)
\\
& \small \text{Lời giải:}
\\
& \small \text{a. Đặt } u = 1 - x \implies du = -dx \iff dx = - du
\\
& \small \int (1-x)^9dx = -\int u^9du = -\frac{u^{10}}{10} + C = -\frac{(1-x)^{10}}{10} + C
\\
& \small \text{b. Đặt } u = 1 + x^2 \implies du = 2xdx \iff xdx = \frac{du}{2}
\\
& \small \int x(1+x^2)^{\frac32}dx = \frac12 \int u^{\frac32}du = \frac15u^{\frac52} + C = \frac15(1 + x^2)^{\frac52} + C
\\
& \small \text{c. Đặt } t = cosx \implies dt = -sinxdx \iff sinxdx = -dt
\\
& \small \int cos^3x.sinxdx = -\int t^3dt = -\frac{t^4}{4} + C = -\frac{cos^4x}{4} + C
\\
& \small \text{d. Đặt } u = e^x + 1 \implies du = e^xdx
\\
& \small \int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2} = \int \frac{e^x}{e^{2x} + 1 + 2e^x}dx = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}dx = \int \frac{1}{u^2}du = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{e^x + 1} + C
\end{aligned}
Bài 4 Trang 101 SGK Toán 12
Đề bài:
\begin{aligned}
& \small \text{Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tính các nguyên hàm dưới đây:}
\\
& \small \text{a. } \int xln(1+x)dx
\\
& \small \text{b. } \int (x^2+2x-1)e^xdx
\\
& \small \text{c. } \int xsin(2x+1)dx
\\
& \small \text{d. } \int (1-x)cosxdx
\\
& \small \text{Phương pháp nguyên hàm từng phần:}
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = u(x)
\\
dv = v'(x)dx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = u'(x)dx
\\
v = v(x)
\end{cases}
\\
& \small \implies \int f(x)dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)dx
\\
& \small \text{Lời giải:}
\\
& \small \text{a. } \int xln(1+x)dx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = ln(1+x)
\\
dv = xdx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = \frac{1}{x+1}dx
\\
v = \frac{x^2}{2}
\end{cases}
\\
& \small \int xln(1+x)dx
\\
& \small = \frac{x^2}{2}ln(1+x) - \int \frac{x^2}{2(x+1)}dx
\\
& \small = \frac{x^2}{2}ln(1+x) - \frac12 \int \left( x-1+\frac{1}{x+1} \right)dx
\\
& \small = \frac{x^2}{2}ln(1+x) - \frac12 \left[ \frac{x^2}{2} - x + ln(1+x) \right]+ C
\\
& \small = \frac12(x^2-1)ln(1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + C
\\
& \small \text{b. } \int (x^2+2x-1)e^xdx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x^2+2x-1
\\
dv = e^xdx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = (2x+2)dx
\\
v = e^x
\end{cases}
\\
& \small \int (x^2+2x-1)e^xdx
\\
& \small = (x^2+2x-1)e^x - 2\int (x+1)e^xdx \ (*)
\\
& \small \text{Xét } \int (x+1)e^xdx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x+1
\\
dv = e^xdx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = dx
\\
v = e^x
\end{cases}
\\
& \small \int (x+1)e^xdx = (x+1)e^x - \int e^xdx = (x+1)e^x - e^x + C = xe^x + C
\\
& \small (*) = (x^2+2x-1)e^x - 2xe^xdx + C
\\
& \small = (x^2-1)e^x + C
\\
& \small \text{c. } \int xsin(2x+1)dx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x
\\
dv = sin(2x+1)dx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = dx
\\
v = -\frac12cos(2x+1)
\end{cases}
\\
& \small \int xsin(2x+1)dx
\\
& \small = -\frac12xcos(2x+1) + \frac12 \int cos(2x+1)dx
\\
& \small = -\frac12xcos(2x+1) + \frac14sin(2x+1)dx + C
\\
& \small \text{d. } \int (1-x)cosxdx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = 1-x
\\
dv = cosdx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = - dx
\\
v = sinx
\end{cases}
\\
& \small \int (1-x)cosxdx
\\
& \small = (1-x)sinx + \int sinxdx
\\
& \small = (1-x)sinx - cosx + C
\end{aligned}
>>> Xem thêm: Nguyên Hàm Từng Phần – Công Thức Và Phương Pháp Giải
Câu Hỏi 6 Trang 99 SGK Toán 12
Đề bài:
\begin{aligned}
& \small \text{a. Cho } \int (x-1)^{10}dx. \text{ Đặt u=x-1, hãy viết } (x-1)^{10}dx \text{ theo u và du}
\\
& \small \text{b. Cho } \int \frac{lnx}{x}dx. \text{ Đặt } x=e^t, \text{ hãy viết } \int \frac{lnx}{x}dx \text{ theo t và dt}
\\
& \small \text{Lời giải}
\\
& \small \text{a. Theo đề bài, ta đặt } u=x-1 \implies x=u+1 \implies dx = du \implies (x-1)^{10}dx = u^{10}du
\\
& \small \text{b. Theo đề bài, ta đặt } x=e^t \implies dx = e^tdt \implies \frac{lnx}{x}dx = \frac{ln(e^t)}{e^t}e^tdt = tdt
\\
\end{aligned}
Câu Hỏi 7 Trang 99 SGK Toán 12
Đề bài:
Ta có: (xcosx)′ = cosx − xsinx hay −xsinx = (xcosx)′ − cosx. Hãy tính ∫(xcosx)′dx và ∫cosxdx. Từ đó tính ∫xsinxdx
Lời giải:
Ta có ∫(xcosx)′dx = xcosx + C1 và ∫cosxdx = sinx + C2
Dựa vào công thức ở đề bài, ta có
∫xsinxdx = −∫(−xsinx)dx = −∫[(xcosx)′ − cosx]dx = −∫(xcosx)dx + ∫cosxdx = −xcosx − C1 + sinx + C2 = −xcosx + sinx + C
Câu Hỏi 8 Trang 99 SGK Toán 12
Đề bài:
Cho P(x) là đa thức của x. Từ ví dụ 9, hãy lập bảng theo mẫu dưới đây rồi điền u và dv thích hợp vào chỗ trống theo phương pháp nguyên phân hàm từng phần.
| ∫P(x)exdx | ∫P(x)cosxdx | ∫P(x)lnxdx | |
| u | P(x) | ||
| dv | exdx |
Lời giải:
| ∫P(x)exdx | ∫P(x)cosxdx | ∫P(x)lnxdx | |
| u | P(x) | P(x) | lnx |
| dv | exdx | cosxdx | P(x)dx |
Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education
Trong bài viết trên, Team Marathon Education đã tổng hợp và chia sẻ đến các em nội dung Toán 12 nguyên hàm lý thuyết cùng lời giải bài tập SGK nguyên hàm một cách đầy đủ, chi tiết. Hy vọng các em sẽ nắm vững mảng kiến thức này, từ đó học tốt môn Toán hơn. Các em hãy theo dõi Marathon Education hằng ngày để học trực tuyến những kiến thức bổ ích các nhé! Chúc các em luôn học tập tốt!
Fatal error: Uncaught wfWAFStorageFileException: Unable to save temporary file for atomic writing. in /opt/bitnami/wordpress/wp-content/plugins/wordfence/vendor/wordfence/wf-waf/src/lib/storage/file.php:34 Stack trace: #0 /opt/bitnami/wordpress/wp-content/plugins/wordfence/vendor/wordfence/wf-waf/src/lib/storage/file.php(658): wfWAFStorageFile::atomicFilePutContents() #1 [internal function]: wfWAFStorageFile->saveConfig() #2 {main} thrown in /opt/bitnami/wordpress/wp-content/plugins/wordfence/vendor/wordfence/wf-waf/src/lib/storage/file.php on line 34