Công Thức Nguyên Hàm Từng Phần Và Cách Giải Bài Tập Chi Tiết
Phương pháp nguyên hàm từng phần được biết đến là một trong những phương pháp để giải các bài toán nguyên hàm nâng cao. Đây cũng là một phương pháp khá phức tạp nên trong quá trình áp dụng, các em rất dễ nhầm lẫn. Trong bài viết này, Team Marathon Education sẽ giúp các em hiểu chính xác về phương pháp này cũng như các dạng nguyên hàm thường gặp và phương pháp giải hiệu quả.
>>> Xem thêm:
- Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Một Số Bài Tập Ví Dụ
- Bảng Công Thức Nguyên Hàm Và Cách Giải Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết
Nguyên hàm từng phần là gì?
Nguyên hàm từng phần là phương pháp phổ biến để tìm tích phân bất định của một hàm số phức tạp. Hàm số này thường sẽ chứa đồng thời hai trong số 4 hàm số sau: hàm số lượng giác, hàm số logarit, hàm số đa thức hay hàm số mũ.
Công thức tính nguyên hàm từng phần
Với hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm và liên tục trên tập K thì ta có công thức tổng quát như sau:
\int udv=uv-\int vdu
Khi sử dụng phương pháp này các em cần lưu ý:
- Thứ tự ưu tiên đặt u là “nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”. Phần còn lại đặt là dv.
- Với những nguyên hàm có chứa lượng giác và mũ thì các em có thể đặt u và dv dựa theo thứ tự lượng giác và mũ hoặc ngược lại. Tuy nhiên, các em phải sử dụng 2 lần tích phân từng phần và thống nhất theo đúng thứ tự.
- Số lần thực hiện tích phân từng phần sẽ phụ thuộc vào bậc của hàm logarit và đa thức. Cụ thể:
\begin{aligned}
&\footnotesize\circ\text{Biểu thức nguyên hàm }log_a^nf(x), ln^nf(x) \ \text{thì phải tính n lần tích phân}\\
&\footnotesize\text{từng phần.}\\
&\footnotesize\circ\text{Nếu biểu thức có chứa đa thức bậc n mà không chứa hàm logarit thì}\\
&\footnotesize\text{ các em cũng phải tính tích phân từng phần n lần.}
\end{aligned}
Các dạng nguyên hàm từng phần thường gặp
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số logarit
Tính nguyên hàm của hàm số logarit:
I=\int f(x)ln(ax+b)dx
Trong đó, f(x) là một hàm của đa thức
Phương pháp để giải dạng toán này được thực hiện qua các bước sau:
Bước 1: Tiến hành đặt:
\begin{cases}u=ln(ax+b)\\dv=f(x)dx\end{cases}
\implies \begin{cases}du=\frac{a}{ax+b}dx\\v=\int f(x)dx\end{cases}
Bước 2: Sau khi đặt ở bước 1, ta có thể suy ra được:
I=uv-\int vdu
Các em hãy xem ví dụ sau để hiểu rõ hơn về dạng toán này:
Ví dụ: Tính nguyên hàm của hàm số:
f(x)=x.lnx
Dựa theo phương pháp giải ở trên, các em sẽ thấy được:
F(x)=\int f(x)dx = \int x.lnx.dx
Các em tiến hành đặt biểu thức ở dạng:
\begin{cases}u=lnx\\dv=xdx\end{cases}
\implies \begin{cases}du=\frac{dx}{x}\\v=\frac{x^2}{2}\end{cases}
Theo phương pháp nguyên hàm từng phần sẽ có được:
F(x)=\frac{1}{2}x^2lnx-\frac{1}{2}\int xdx=\frac{1}{2}x^2lnx-\frac{1}{4}x^2+C
Dạng 2: Tìm nguyên hàm của hàm số mũ
Tính nguyên hàm của hàm số mũ:
A=\int f(x).e^{ax+b}dx
Trong đó, f(x) là một hàm đa thức.
Phương pháp giải như sau:
Bước 1: Các em tiến hành đặt:
\begin{cases}u=f(x)\\dv=e^{ax+b}dx\end{cases}
\implies \begin{cases}du=f'(x)dx\\v=\frac{1}{a}e^{ax+b}dx\end{cases}
Bước 2: Sau khi đặt ở bước 1, ta có được:
\int f(x)e^{ax+b}dx = uv-\int vdu
Các em tiếp tục theo dõi ví dụ sau:
Ví dụ: Tính nguyên hàm của biểu thức:
I=\int x.e^xdx
Cách giải:
Các em tiến hành đặt:
\begin{cases}u=x\\dv=e^xdx\end{cases}
\implies \begin{cases}du=dx\\v=e^x\end{cases}
Theo công thức tính nguyên hàm từng phần ta sẽ có được:
\begin{aligned}
I&=\int xe^xdx\\
&=xe^x-\int e^xdx\\
&=xe^x-\int d(e^x)\\
&=xe^x-e^x+C
\end{aligned}
Dạng 3: Tìm nguyên hàm của của hàm số lượng giác và hàm đa thức
Tính nguyên hàm của hàm số lượng giác:
\begin{aligned}
&A=\int f(x)sin(ax+b)dx\\
&\text{Hoặc}\\
&B=\int f(x)cos(ax+b)dx
\end{aligned}
Phương pháp giải:
Bước 1: Các em tiến hành đặt:
\begin{aligned}
&\begin{cases}u=f(x)\\dv=sin(ax+b)dx\end{cases}
\implies \begin{cases}du=f'(x)dx\\v=-\frac{1}{a}cos(ax+b)\end{cases}\\
&\text{Hoặc}\\
&\begin{cases}u=f(x)\\dv=cos(ax+b)dx\end{cases}
\implies \begin{cases}du=f'(x)dx\\v=\frac{1}{a}sin(ax+b)\end{cases}\\
\end{aligned}
Bước 2: Thực hiện biến đổi thành:
\begin{aligned}
&\int f(x)sin(ax+b)dx=uv-\int vdu\\
&\text{Hoặc}\\
&\int f(x)cos(ax+b)dx=uv-\int vdu\\
\end{aligned}
Các em có thể tham khảo bài tập sau để dễ hiểu hơn:
Ví dụ: Tính nguyên hàm của hàm lượng giác:
A=\int x.sinx.dx
Dựa vào phương pháp giải ở trên, các em đặt:
\begin{cases}u=x\\dv=sinxdx\end{cases}
\implies \begin{cases}du=dx\\v=-cosx\end{cases}\\
Áp dụng công thức, các em sẽ có được:
A=-xcosx+\int cosxdx=-xcosx+sinx+C
Dạng 4: Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ
Tính nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ:
\begin{aligned}
&\int e^{ax+b}sin(cx+d)dx\\
&\text{Hoặc}\\
&\int e^{ax+b}cos(cx+d)dx
\end{aligned}
Phương pháp giải được thực hiện như sau:
- Bước 1: Các em tiến hành đặt:
\begin{cases}u=sin(cx+d)\\dv=e^{ax+b}dx\end{cases}
\text{Hoặc} \begin{cases}u=cos(cx+d)\\dv=e^{ax+b}dx\end{cases}
- Bước 2: Dựa vào công thức tổng quát uv – ∫vdu để tính nguyên hàm.
Các em cũng cần lưu ý, ở dạng tính nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ này thì các em nên lấy nguyên hàm từng phần 2 lần. Ngoài ra, ở bước 1, các em cũng có thể đặt theo cách sau:
\begin{cases}u=e^{ax+b}\\dv=sin(cx+d)dx\end{cases}
\text{Hoặc} \begin{cases}u=e^{ax+b}\\dv=cos(cx+d)dx\end{cases}
Sau đây là một bài tập để các em dễ hình dung hơn:
Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hàm số sau:
I=\int sinx.e^xdx
Ta tiến hành đặt:
\begin{cases}u=sinx\\dv=e^xdx\end{cases}
\implies \begin{cases}du=cosxdx\\v=e^x\end{cases}\\
Lúc này, các em có thể suy ra được:
I=e^xsinx-\int cosxe^xdx=e^xsinx-J
Và:
J=\int cosx.e^xdx
Để tính J, các em cần phải lấy nguyên hàm từng phần lần 2 như sau:
Đặt:
\begin{cases}u=cosx\\dv=e^xdx\end{cases}
\implies \begin{cases}du=-sinxdx\\v=e^x\end{cases}\\
Ta có:
\begin{alignat*}{2}
&J=e^xcosx+\int sinx.e^xdx\\
&=e^xcosx+I\\
&\small\text{Lúc này biểu thức nguyên hàm sẽ trở thành:}\\
&=e^xsinx-J\\
&=e^xsinx-(e^xcosx+I)\\
&\Leftrightarrow 2I=e^xsinx-e^xcosx\\
&\text{Vậy }I=\frac{1}{2}(e^xsinx-e^xcosx)+C
\end{alignat*}
Bài tập nguyên hàm từng phần có đáp án
Dưới đây là một số bài tập nguyên hàm từng phần có lời giải cho các em học sinh tham khảo:
\begin{aligned}
& \small \text{1)Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: }
\\
& \small \text{a. } f(x) = \int xsinxdx
\\
& \small \text{b. } f(x) = \int xe^{3x}dx
\\
& \small \text{c. } f(x) = \int x^2cosxdx
\\
& \small \text{Lời giải: }
\\
& \small \text{a. }
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x
\\
sinxdx = dv
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = dx
\\
v = -cosx
\end{cases}
\\
& \small \implies f(x) = \int xsinxdx = -xcosx + \int cosxdx = -xcosx + sinx + C
\\
& \small \text{b. }
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x
\\
e^{3x}dx = dv
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = dx
\\
v = \frac{1}{3}e^{3x}
\end{cases}
\\
& \small \implies f(x) = \int xe^{3x}dx = \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{3} \int e^{3x}dx = \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{9} \int e^{3x}d(3x)
\\
& \small = \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C
\\
& \small \text{c. }
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x^2
\\
coxdx = dv
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = 2xdx
\\
v = sinx
\end{cases}
\\
& \small \implies f(x) = \int x^2cosxdx = x^2sinx - \int 2xsinxdx = x^2sinx - 2\int xsinxdx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x
\\
sinxdx = dv
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = dx
\\
v = -cosx
\end{cases}
\\
& \small \implies f(x) = x^2sinx + 2xcosx - 2\int cosxdx = x^2sinx + 2xcosx - 2sinx + C
\end{aligned}
\begin{aligned}
&2) \text{Tìm nguyên hàm của hàm số } I=sinx.e^xdx\\
&Đặt\space \begin{cases} &u=sinx\\&dv=e^xdx \end{cases}\\ &\Rightarrow \begin{cases} &du=cosxdx\\&v=e^x \end{cases}\\
&\text{Khi đó nguyên hàm I trở thành}\\
&I=e^x.sinx-\int cosxe^xdx\\
&=e^xsinx-J\\
&J=\int cosxe^xdx\\
&=e^xsinx-J\\
&Đặt\space \begin{cases} &u=cosx\\ &dv=e^xdx \end{cases}\\
&\Rightarrow \begin{cases}&du=-sinxdx\\&v=e^x \end{cases}\\
&J=e^xcosx+\int sinxe^xdx\\
&=e^xcosx+I\\
&I=e^xsinx-J\\
&=e^xsinx-e^xcosx\\
&Vậy\space I=\frac{1}{2}(e^xsinx-e^xcosx)+C
\end{aligned}
\begin{aligned}
3)\text{Tìm nguyên hàm }
&D=\int x^2lnxdx\\
&Đặt:\\
&\begin{cases} u=lnx\\x^2dx=dv \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} du=\frac{dx}{x}\\v=\frac{x^3}{3} \end{cases}\\
&\rightarrow I= \int x^2lnxdx=\frac{x^3}{3}ln-\int \frac{x^3}{3}.\frac{dx}{x}= \frac{x^3}{3}-\frac{x}{9}+C \end{aligned}
\begin{aligned}
&4)\int(2-x).sinxdx\\
&Đặt \begin{cases}u=2-x\\dv=sinxdx \end{cases}
&\Rightarrow &\begin{cases} &du=-dx\\&v=-cosx \end{cases}\\
&\text{Theo công thức tích phân từng phần}\\
& \int(2-x).sinxdx\\&=(2-x).(-cosx)-\int cosxdx\\
&=(x-2).cosx-sinx+C
\end{aligned}
\begin{aligned}
&5) \int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\
&=\int \frac{1}{[\sqrt{2}.cos(x-\frac{\pi}{4})]^2}dx\\
&= \int \frac{1}{2cos^2(x-\frac{\pi}{4})}dx\\
&=\frac{1}{2}tan(x-\frac{\pi}{4})+C
\end{aligned}
\begin{aligned}
&6) \text{Tìm nguyên hàm của hàm số sau:} \int \frac{1}{(1+x)(2-x)}dx\\
&=\int\frac{1+x+2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\
&=\int \frac{1+x}{3(1+x)(2-x)}dx+\int\frac{2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\
&=\frac{1}{3}\int \frac{1}{2-x}dx+\frac{1}{3}\int\frac{1}{1+x}dx\\
&=\frac{-1}{3}.ln|2-x|+\frac{1}{3}ln|1+x|+C\\
&=\frac{1}{3}ln|\frac{1+x}{2-x}|+C
\end{aligned}
\begin{aligned}
& 7) \text{Tìm nguyên hàm}
\int \frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx\\
&=\int \frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}\sqrt{x}}dx\\
&=\int \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}dx\\
&=\int(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})dx\\
&=\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}.x^{\frac{3}{2}}+C\\
&=\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C
\end{aligned}
\begin{aligned}
&8) \text{Tìm nguyên hàm của} \int \frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\
&=\int \frac{(e^x+1)(e^{2x}-e^x+1)}{e^x+1}dx\\
&=\int(e^{2x}-e^x+1)dx\\
&=\int(e^{2x}-e^{x}+1)dx\\
&=\frac{1}{2}e^{2x}-e^{x}+x+C
\end{aligned}
\begin{aligned}
& 9)\text{Cho nguyên hàm }\int xcos^2xdx=mx^2+xsin2x+pcos2x+C\space \text{trong đó m,n,p} \in R.\space \\&\text{Tính giá trị của P=m+n+p}\\
& \text{Ta có }: I=\int x\frac{1+cos2x}{2}dx=\frac{1}{2}\int xdx+\frac{1}{2}\int xcos2xdx\\
&Đặt\\
&\begin{cases}u=x\\dv=cos2xdx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du=dx\\v=\frac{sin2x}{2} \end{cases}\\
&xcos2xdx=\frac{xsin2x}{2}-\int \frac{sin2xdx}{2}=\frac{xsin2x}{2}+\frac{cos2x}{4}+C\\
&\Rightarrow I=\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}xsin2x+\frac{1}{8}cos2x+C\Rightarrow m+n+p=\frac{5}{8}
\end{aligned}
\begin{aligned}
&10)\space Cho\space F(x)=x^2+1\text{là một nguyên hàm của hàm số }\frac{f(x)}{x}.\text{Tìm nguyên hàm của }f'(x)lnx\\
&Đặt \begin{cases} u=lnx\\dv=f'(x)dx \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} du=\frac{dx}{x}\\v=f(x) \end{cases}\\
&Suy \space ra \int f'(x).lnxdx=lnx.f(x)-\int\frac{f(x)}{x}dx\\
&Ta\space có\space F'(x)=\frac{f(x)}{x} \Leftrightarrow2x=\frac{f(x)}{x}\Leftrightarrow f(x)=2x^2\\
&Do\space đó\int f'(x).lnxdx=2x^2.lnx-x^2-1+C=x^2(2lnx-10)+C
\end{aligned}
Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education
Hy vọng những thông tin mà Team Marathon Education đã chia sẻ ở trên có thể giúp các em hiểu rõ hơn về công thức tính nguyên hàm từng phần. Bên cạnh đó, các em cũng làm quen được với các dạng toán thường gặp và cách giải nhanh, chính xác nhất. Các em hãy chú ý học bài và đừng quên ôn tập để áp dụng giải các bài tập khi cần nhé. Chúc các em học tốt!
