Tích Phân Suy Rộng Là Gì? Cách Tính Tích Phân Suy Rộng
Tích phân suy rộng là một trong những kiến thức Toán nâng cao trong của chương trình Toán 12. Đây là lý thuyết quan trọng đối với những học sinh có định hướng theo chuyên ngành Toán khi lên đại học. Để hiểu hơn về những khái niệm và cách tính tích phân suy rộng, các em hãy theo dõi bài viết tổng hợp được biên soạn từ Marathon Education dưới đây.
>>> Xem thêm:
- Các Dạng Toán Tích Phân Hàm Ẩn Và Phương Pháp Giải Chi Tiết
- Tích Phân Từng Phần Là Gì? Công Thức Và Cách Giải Các Dạng Bài Tập
Định nghĩa tích phân suy rộng
Tích phân suy rộng là giới hạn của một tích phân xác định khi cho cận tích phân tiến dần tới vô cùng. Tích phân suy rộng bao gồm 2 loại: tích phân với cận vô hạn (gọi là tích phân suy rộng loại 1) và tích phân của hàm số không bị chặn (tích phân suy rộng loại 2).
Tính chất của tích phân suy rộng
1. f khả tích trên [a; b] ∀b ≥ a. Khi đó, ∀α ≥ a.
\footnotesize \intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ và } \intop_α^{+\infin}f(x)dx \text{ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (Cùng bản chất)}
2. f khả tích trên [a; b], ∀b ≥ a. Khi đó, ∀α ≠ 0.
\footnotesize \intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ và } \intop_a^{+\infin}αf(x)dx \text{ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (Cùng bản chất)}\\
3. f, g khả tích trên [a; b], ∀b ≥ a.
\begin{aligned}
&\footnotesize \intop_a^{+\infin}f(x)dx\text{ và }\intop_a^{+\infin}g(x)f(x)dx \text{ hội tụ}\Rightarrow \intop_a^{+\infin}(f+g)dx \text{ hội tụ}\\
&\footnotesize \intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ hội tụ và }\intop_a^{+\infin}g(x)f(x)dx \text{ phân kỳ} \Rightarrow \intop_a^{+\infin}(f+g)dx \text{ phân kỳ}
\end{aligned}
Điều kiện để tích phân suy rộng hội tụ
Mỗi loại tích phân suy rộng sẽ có những điều kiện hội tụ riêng, cụ thể như sau:
Định lý so sánh 1
Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 1 được thể hiện như sau:
Định nghĩa:
Giả sử f(x) xác định trên tập [a;+∞) và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b < +∞
- Nếu tồn tại giới hạn (có thể là hữu hạn hoặc vô cùng) thì giới hạn này gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên [a;+∞).
\lim\limits_{b\to +\infin}\intop_a^bf(x)dx:=\intop_a^{+\infin}f(x)dx
\begin{aligned}
&\footnotesize\bull \text{Nếu giới hạn này là hữu hạn, ta suy ra} \textbf{ tích phân suy rộng}\intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ là hội tụ.}\\
&\footnotesize\bull \text{Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại, ta suy ra}\textbf{ tích phân suy rộng}\intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ là phân kỳ.}
\end{aligned}
Tương tự, định nghĩa tích phân suy rộng của hàm số f(x) không bị chặn trên khoảng (a,b] và (a, b) sẽ lần lượt nhận x = a và x = b làm điểm bất thường.
\begin{aligned}
&\intop_a^bf(x)dx=\lim\limits_{t\to a^+}\intop^b_tf(x)dx \text{ và }\intop_a^bf(x)dx=\lim\limits_{t\to a^+,\ t'\to b^-}\intop_t^{t'}f(x)dx
\end{aligned}
Đối với tích phân có hai điểm bất thường x = a, x = b thì ta có thể viết như sau khi hai trong ba tích phân nói trên hội tụ:
\intop_a^bf(x)dx=\intop_a^cf(x)dx+\intop_c^bf(x)dx
Định lý (tiêu chuẩn so sánh):
Cho hai hàm số g(x) và f(x) không âm và khả tích trên [a,t] với mọi t>a. Giả sử tồn tại số M sao cho f(x) ≤ g(x) với mọi x > M. Khi đó:
\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Nếu }\intop_a^{-\infin}g(x)dx \text{ hội tụ thì }\intop_a^{+\infin}f(x)\text{ hội tụ.}\\
&\footnotesize \text{Nếu }\intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ phân kỳ thì }\intop_a^{-\infin}g(x)\text{ phân kỳ.}
\end{aligned}
Hệ quả:
Cho f(x) và g(x) là hai hàm số dương khả tích trên [a,t] với mọi t>a. Giả sử:
\lim\limits_{x\to +\infin}\frac{f(x)}{g(x)}=k
\begin{aligned}
&\footnotesize \bull \text{Nếu } 0< k < +\infin \text{ thì }\intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ và} \intop_a^{-\infin}g(x)dx \text{ sẽ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.}\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu } k=0 \text{ thì tồn tại M sao cho }f(x) \le c.g(x), \forall x \ge M \text{ (giống với định lý)}.\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu } k=+\infin \text{ thì tồn tại M sao cho } f(x) \ge c.g(x), \forall x \ge M \text{ (ngược với định lý)}.
\end{aligned}
Định lý so sánh 2
Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 2:
Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng [a,b] và khả tích trên [a,t]. Giả sử hàm số f(x) là hàm số xác định trên khoảng [a,b] và khả tích trên [a,t] với mọi a < t < b, ta có:
\begin{aligned}
&\footnotesize \bull \text{Nếu tồn tại } \lim\limits_{t\to b^-}\intop_a^tf(x)dx \text{ thì giới hạn đó được gọi là}\textbf{ tích phân suy rộng } \text{của hàm số }f(x) \text{ trong khoảng }\\
&\footnotesize \text{[a, b] và có ký hiệu là}\intop_a^bf(x)dx.\\
&\footnotesize \bull \text{Khi đó, ta cũng nói rằng tích phân hội tụ: }\intop_a^bf(x)dx:=\lim\limits_{t\to b^-}\intop_a^tf(x)dx.\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu }f(a)=+\infin: \intop_a^bf(x)dx:=\lim\limits_{t\to a^+}\intop_t^bf(x)dx.\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu }f(c)=+\infin\text{ (với }c\in (a;b)): \intop_a^bf(x)dx= \intop_a^cf(x)dx+\intop_c^bf(x)dx
\end{aligned}
Định lý (tiêu chuẩn so sánh):
Cho f(x) và g(x) là hai hàm số không âm, khả tích trên [t; b] với mọi t ∈ (a; b] (a là điểm bất thường). Giả sử tồn tại c ∈ (a; b] sao cho f(x) ≤ k.g(x), ∀x ∈ (a; c]. Khi đó:
\begin{aligned}
&\footnotesize \bull \text{Nếu }\intop_a^bg(x)dx \text{ hội tụ thì }\intop_a^bf(x)dx \text{ hội tụ.}\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu }\intop_a^bf(x)dx \text{ phân kỳ thì }\intop_a^bg(x)dx \text{ phân kỳ.}\\
\end{aligned}
Hệ quả:
Với f(x) và g(x) là hai hàm số không âm và khả tích trên đoạn [t;b] với mọi t ∈ (a;b] (trong đó, a là điểm bất thường). Ta giả sử:
\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=k
\begin{aligned}
&\footnotesize \bull \text{Nếu } 0< k < +\infin \text{ thì }\intop_a^bf(x)dx \text{ và} \intop_a^bg(x)dx \text{ sẽ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.}\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu } k=0 \text{ thì tồn tại c ∈ (a;b] sao cho }f(x) \le k.g(x), \forall x ∈ (a;c]\text{ (giống với định lý)}.\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu } k=+\infin \text{ thì tồn tại c ∈ (a;b] sao cho } f(x) \ge k.g(x), \forall x ∈ (a;c]\text{ (ngược với định lý)}.
\end{aligned}
>>> Xem thêm: Lý Thuyết Toán 12 Cực Trị Của Hàm Số Và Phương Pháp Tìm Cực Trị
Cách tính tích phân suy rộng
Hiện nay có rất nhiều cách tính tích phân suy rộng khác nhau. Một trong những cách được sử dụng được sử dụng nhiều nhất chính là phép biến đổi Laplace và Fourier.
Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi Fourier
Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi Fourier được thể hiện qua ví dụ sau:
\text{Tính: }I(x)=\intop_0^{\infin}\frac{1-cosxt}{t^2}dt
Bài giải:
Để giải bài toán này, ta áp dụng phép biến đổi Laplace hoặc Fourier cho 2 vế và tìm hàm gốc của tích phân vừa tìm được.
\begin{aligned}
&\bull \ L|I(x)|=\intop_0^\infin e^{-px}\left( \intop_0^\infin\frac{1-cosxt}{t^2}dt\right)dx\\
&=\intop_0^\infin\frac{1}{t^2}\left[ \intop_0^\infin e^{-px}(1-cosxt)dx\right]dt\\
&=\intop_0^\infin\frac{1}{t^2}L(1-cosxt)dt\\
&=\intop_0^\infin\frac{1}{t^2}\Bigg(\frac1p-\frac{p}{p^2+t^2}\Bigg)dt\\
&=\left.\frac{1}{p}arctg\frac{t}{p}\right|_{t=0}^\infin=\frac{\pi}{2p^2}\\
&\bull L^{-1}\Bigg[ \frac{\pi}{2p^2} \Bigg]=\frac{\pi}{2}x\\
&\text{Vậy }I(x)=\frac{\pi}{2}x
\end{aligned}
Khai triển tích phân thành chuỗi
Khai triển tích phân thành chuỗi thường được ứng dụng nhiều trong các bài toán tích phân phức tạp. Việc lựa chọn hàm để triển khai sẽ quyết định đến việc bài giải có được tối ưu hay không. Do đó, khi triển khai và hoán vị tích phân của tổng tích phân, ta cần chú ý đến các đối tượng thu được có đảm bảo tính hội tụ của tích phân hay không. Các em có thể thấy rõ điều này trong ví dụ dưới đây:
\text{Tính }I=\intop_0^\infin e^{-x}\left(\intop_0^x\frac{e^{-t}-1}{t}dt\right)lnxdx
Bài giải:
Để giải được bài toán phức tạp này, ta cần áp dụng kỹ thuật khai triển chuỗi Taylor như sau:
\begin{aligned}
&I=\intop_0^\infin e^{-x}\left(\intop_0^x\frac{e^{-t}-1}{t}dt\right)lnxdx\\
&=\intop_0^\infin e^{-x}\left(\intop_0^x\frac{\sum\limits_{n=0}^\infin \frac{(-t)^n}{n!}-1}{t}dt\right)lnxdx\\
&=\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n}{n!n}\intop_0^\infin e^{-x}\left( \intop_0^xt^{n-1}dt\right)lnxdx\\
&=\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n}{n!n}\intop_0^\infin e^{-x}x^nlnxdx\\
&=\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n \Gamma'(n+1)}{n!n}\\
&=\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n \Psi(n+1)}{n}\\
&\text{Trong đó: } \Gamma(x) \text{ và } \Psi(x) \text{ là các hàm Gamma và PolyGamma.}\\
&\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n \Psi(n+1)}{n}=\gamma ln2+\intop_0^1\frac{-ln2+ln(1+t)}{1-t}dt=\frac{1}{12}(-\pi^2+12\gamma ln2+6ln^22)\\
&\text{Trong đó: } \gamma \text{ là hằng số Euler - Mascheroni.}
\end{aligned}
>>> Xem thêm: Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số: Lý Thuyết Và Cách Tìm Đường Tiệm Cận
Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education
Trên đây là những kiến thức liên quan đến tích phân suy rộng – một trong những kiến thức nâng cao nên biết trong chương trình Toán THPT. Ngoài ra, các em đừng quên theo dõi website Marathon Education để học trực tuyến nhiều kiến thức Toán – Lý – Hóa hữu ích khác. Chúc các em học tập thật tốt và luôn đạt điểm cao.
