Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết, Công Thức Và Các Dạng Bài Tập

Marathon Team - 21/01/2022

Toán 12 nguyên hàm là nội dung quan trọng trong phần Đại số Giải tích lớp 12 và ôn thi đại học. Để giúp các em nắm vững kiến thức và ôn tập hiệu quả, Marathon Education đã tổng hợp những lý thuyết nguyên hàm toán 12 bao gồm định nghĩa, định lý, công thức nguyên hàm lớp 12 và các dạng bài tập nguyên hàm cơ bản với lời giải chi tiết trong bài viết dưới đây. Các em hãy cùng theo dõi và học tập nhé!

Lý thuyết Toán 12 nguyên hàm

Toán 12 nguyên hàm lý thuyết
Toán 12 lý thuyết về nguyên hàm (Nguồn: Internet)

Phần nội dung này sẽ tập trung vào phần lý thuyết để các em nắm rõ bản chất, từ đó vận dụng linh hoạt trong việc giải bài tập.

Định nghĩa nguyên hàm

  • Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng).
  • Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Định lý nguyên hàm

Nguyên hàm có 2 định lý cơ bản mà các em cần nhớ là:

  • Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
  • Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số. Do đó F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C.

Tính chất nguyên hàm

Dưới đây là 3 tính chất phổ biến của nguyên hàm Toán 12:

  • Tính chất 1:
(\smallint f(x)dx)'= f(x) \small{\text{ và }} \smallint f'(x)dx = f(x) + C
  • Tính chất 2:
\smallint kf(x)dx = k\smallint{f(x)dx} \small{\text{ với k là hằng số khác 0}}
  • Tính chất 3:
\smallint [f(x) \pm g(x)]dx = \smallint f(x)dx \pm \smallint g(x)dx

Bảng tổng hợp các công thức toán 12 nguyên hàm thường gặp

Bảng công thức Toán 12 nguyên hàm thường gặp

>>> Xem thêm: Bảng Công Thức Nguyên Hàm Và Cách Giải Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết

Video học toán 12, lý thuyết và giải đề bài tập

Kiến thức toán 12, giải bài tập toán 12

> Xem thêm: Toán đạo hàm

Giải bài tập SGK Toán 12 nguyên hàm 

Đây là phần giải bài tập nguyên hàm SGK Toán 12 và ứng dụng cho phần lý thuyết phía trên, các em tham khảo để hiểu rõ hơn về phần kiến thức nguyên hàm toán 12.

Bài 1 Giải bài tập Toán 12: Nguyên hàm Trang 100 SGK

Đề bài

Trong các cặp hàm số sau, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?

\begin{aligned}
&a.\ e^{-x} \text{ và } -e^{-x}\\
&b.\ sin2x \text{ và }sin^2x\\
&c. \left( 1-\frac2x \right)^2e^x \text{ và } \left( 1-\frac4x \right) e^x
\end{aligned}

Lời giải

\begin{aligned}
&a. \text{ Ta có: }\ [e^{-x}]'= -e^{-x}\\
&\text{Vậy }e^{-x} \text{ là nguyên hàm của }-e^{-x}\\
&b.\text{ Ta có: }\ [sin^2x]'= 2xinxcosx=sin2x\\
&\text{Vậy }sin^2x \text{ là nguyên hàm của }sin2x\\
&c.\text{ Ta có: }\\
& \left[\left( 1-\frac4x\right)e^x\right]'\\
&=\left( 1-\frac4x\right)'e^x+\left( 1-\frac4x\right)(e^x)'\\
&=e^x\left[ 1-\frac4x+\frac{4}{x^2}\right]=\left( 1-\frac2x\right)^2e^x\\
&\text{Vậy }\left( 1-\frac4x\right)e^x \text{ là nguyên hàm của }\left( 1-\frac2x\right)^2e^x\\
\end{aligned}

Bài 2 Giải bài tập Toán 12: Nguyên hàm Trang 100 SGK

Đề bài:

\begin{aligned}
& \small \bold{\text{Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:}}
\\
& \small \text{a. } f(x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}
\\
& \small \text{b. } f(x) = \frac{2^x - 1}{e^x}
\\
& \small \text{c. } f(x) = \frac{1}{sin^2x.cos^2x}
\\
& \small \text{d. } f(x) = sin5x.cos3x
\\
& \small \text{e. } f(x) = tan^2x
\\
& \small \text{g. } f(x) = e^{3-2x}
\\
& \small \text{h. } f(x) = \frac{1}{(1+x)(1-2x)}
\\
& \small \bold{\text{Lời giải:}}
\\
& \small \text{a. } \int \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}
\\
& \small = \int \left( x + x^{\frac12} + 1 \right). x^{\frac{-1}{3}}dx
\\
& \small = \int \left( x^{\frac23} + x^{\frac16} + x^{\frac{-1}{3}} \right)dx
\\
& \small = \int x^{\frac23}dx + \int x^{\frac16}dx + \int x^{\frac{-1}{3}}dx
\\
& \small = \frac35x^{\frac53} + \frac67x^{\frac76} + \frac32x^{\frac23} + C
\\
& \small = \frac35.x\sqrt[3]{x^2} + \frac67.x\sqrt[6]{x} + \frac32.\sqrt[3]{x^2} + C
\\
& \small \text{b. } \int \frac{2^x - 1}{e^x}
\\
& \small = \int \left[ \left( \frac2e \right)^x - \left( \frac1e \right)^x \right]
\\
& \small = \int \left( \frac2e \right)^xdx - \int e^{-x}dx
\\
& \small = \frac{\left( \frac2e \right)^x}{ln\left( \frac2e \right)} + e^{-x} + C
\\
& \small = \frac{2^x}{e^x.(ln2 - 1)} + e^{-x} + C
\\
& \small \text{c. } \int \frac{1}{sin^2x.cos^2x}dx
\\
& \small = \int \frac{sin^2x + sin^2x}{sin^2x.cos^2x}dx
\\
& \small = \int \left( \frac{1}{cos^2x} + \frac{1}{sin^2x} \right)dx
\\
& \small = \int \frac{1}{cos^2x}dx+ \int \frac{1}{sin^2x}dx
\\
& \small = tanx - cotx + C
\\
& \small \text{d. } \int sin5x.cos3xdx
\\
& \small = \int \frac12(sin8x + sin2x)dx
\\
& \small = \int \frac12sin8xdx + \int \frac12sin2xdx
\\
& \small = -\frac{1}{16}cos8x - \frac14cos2x + C
\\
& \small \text{e. } \int tan^2xdx
\\
& \small = \int \left( \frac{1}{cos^2x - 1}\right)dx
\\
& \small = \int \frac{1}{cos^2x - 1}dx - \int dx
\\
& \small = tanx - x + C
\\
& \small \text{g. } \int e^{3-2x}dx
\\
& \small \text{Đặt t = 3-2x}
\\
& \small \implies dt = -2dx
\\
& \small \iff dx = -\frac{dt}{2}
\\
& \small \int e^{3-2x}dx
\\
& \small = \int e^t.-\frac{dt}{2}
\\
& \small = -\frac12 \int e^t dt
\\
& \small = -\frac12e^t + C
\\
& \small = -\frac12e^{3-2x} + C
\\
& \small \text{h. } \int \frac{1}{(1+x)(1-2x)}dx
\\
& \small = \int \left[ \frac{1}{3(1+x)} + \frac{2}{3(1-2x)} \right]dx
\\
& \small = \frac13 \int \frac{1}{1+x}dx + \frac23 \int \frac{1}{1-2x}dx (*)
\\
& \small \text{Xét } \int \frac{1}{1+x}dx
\\
& \small \text{Đặt } t = 1+x
\\
& \small \implies dt = dx
\\
& \small \int \frac{1}{1+x}dx
\\
& \small = \int \frac{1}{t}dt
\\
& \small = ln|t| + C_1 = ln|1+x| + C_1 (1)
\\
& \small \text{Xét } \int \frac{1}{1-2x}dx
\\
& \small \text{Đặt } t = 1-2x
\\
& \small \implies dt = -2dx
\\
& \small \iff dx = -\frac{dt}{2}
\\
& \small \int \frac{1}{1-2x}dx
\\
& \small = -\frac12 \int \frac{1}{t}dt
\\
& \small = -\frac12ln|t| + C_2 = -\frac12ln|1-2x| + C_2 (2)
\\
& \small \text{Từ (1) và (2)}
\\
& \small (*) = \frac13 ln|1+x| - \frac13ln|1-2x| + C
\\
& \small =  \frac13 ln|\frac{1+x}{1-2x}| + C
\end{aligned}

Bài 3 Trang 101 SGK Toán 12

Đề bài:

\begin{aligned}
& \small \text{Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính các nguyên hàm dưới đây:}
\\
& \small \text{a. } \int (1-x)^9dx \text{ (đặt } u = 1 - x)
\\
& \small \text{b. } \int x(1+x^2)^{\frac32}dx \text{ (đặt } u = 1 + x^2)
\\
& \small \text{c. } \int cos^3x.sinxdx \text{ (đặt } t = cosx)
\\
& \small \text{d. } \int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2} \text{ (đặt } u = e^x + 1)
\\
& \small \text{Lời giải:}
\\
& \small \text{a. Đặt } u = 1 - x \implies du = -dx \iff dx = - du
\\
& \small \int (1-x)^9dx = -\int u^9du = -\frac{u^{10}}{10} + C = -\frac{(1-x)^{10}}{10} + C
\\
& \small \text{b. Đặt } u = 1 + x^2 \implies du = 2xdx \iff xdx = \frac{du}{2}
\\
& \small \int x(1+x^2)^{\frac32}dx = \frac12 \int u^{\frac32}du = \frac15u^{\frac52} + C = \frac15(1 + x^2)^{\frac52} + C
\\
& \small \text{c. Đặt } t = cosx \implies dt = -sinxdx \iff sinxdx = -dt
\\
& \small \int cos^3x.sinxdx = -\int t^3dt = -\frac{t^4}{4} + C = -\frac{cos^4x}{4} + C
\\
& \small \text{d. Đặt } u = e^x + 1 \implies du = e^xdx
\\
& \small \int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2} = \int \frac{e^x}{e^{2x} + 1 + 2e^x}dx = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}dx = \int \frac{1}{u^2}du = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{e^x + 1} + C
\end{aligned}

Bài 4 Trang 101 SGK Toán 12

Đề bài:

\begin{aligned}
& \small \text{Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tính các nguyên hàm dưới đây:}
\\
& \small \text{a. } \int xln(1+x)dx
\\
& \small \text{b. } \int (x^2+2x-1)e^xdx
\\
& \small \text{c. } \int xsin(2x+1)dx
\\
& \small \text{d. } \int (1-x)cosxdx
\\
& \small \text{Phương pháp nguyên hàm từng phần:}
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = u(x)
\\
dv = v'(x)dx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = u'(x)dx
\\
v = v(x)
\end{cases}
\\
& \small \implies \int f(x)dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)dx
\\
& \small \text{Lời giải:}
\\
& \small \text{a. } \int xln(1+x)dx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = ln(1+x)
\\
dv = xdx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = \frac{1}{x+1}dx
\\
v = \frac{x^2}{2}
\end{cases}
\\
& \small \int xln(1+x)dx
\\
& \small = \frac{x^2}{2}ln(1+x) - \int \frac{x^2}{2(x+1)}dx
\\
& \small = \frac{x^2}{2}ln(1+x) - \frac12 \int \left( x-1+\frac{1}{x+1} \right)dx
\\
& \small = \frac{x^2}{2}ln(1+x) - \frac12 \left[ \frac{x^2}{2} - x + ln(1+x) \right]+ C
\\
& \small = \frac12(x^2-1)ln(1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + C
\\
& \small \text{b. } \int (x^2+2x-1)e^xdx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x^2+2x-1
\\
dv = e^xdx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = (2x+2)dx
\\
v = e^x
\end{cases}
\\
& \small \int (x^2+2x-1)e^xdx
\\
& \small = (x^2+2x-1)e^x - 2\int (x+1)e^xdx \ (*)
\\
& \small \text{Xét } \int (x+1)e^xdx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x+1
\\
dv = e^xdx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = dx
\\
v = e^x
\end{cases}
\\
& \small \int (x+1)e^xdx = (x+1)e^x - \int e^xdx = (x+1)e^x - e^x + C = xe^x + C
\\
& \small (*) = (x^2+2x-1)e^x - 2xe^xdx + C
\\
& \small = (x^2-1)e^x + C
\\
& \small \text{c. } \int xsin(2x+1)dx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x
\\
dv = sin(2x+1)dx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = dx
\\
v = -\frac12cos(2x+1)
\end{cases}
\\
& \small \int xsin(2x+1)dx
\\
& \small = -\frac12xcos(2x+1) + \frac12 \int cos(2x+1)dx
\\
& \small = -\frac12xcos(2x+1) + \frac14sin(2x+1)dx + C
\\
& \small \text{d. } \int (1-x)cosxdx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = 1-x
\\
dv = cosdx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = - dx
\\
v = sinx
\end{cases}
\\
& \small \int (1-x)cosxdx
\\
& \small = (1-x)sinx + \int sinxdx
\\
& \small = (1-x)sinx - cosx + C
\end{aligned}

>>> Xem thêm: Nguyên Hàm Từng Phần – Công Thức Và Phương Pháp Giải

Câu Hỏi 6 Trang 99 SGK Toán 12

Đề bài:

\begin{aligned}
& \small \text{a. Cho } \int (x-1)^{10}dx. \text{ Đặt u=x-1, hãy viết } (x-1)^{10}dx \text{ theo u và du}
\\
& \small \text{b. Cho } \int \frac{lnx}{x}dx. \text{ Đặt } x=e^t, \text{ hãy viết } \int \frac{lnx}{x}dx \text{ theo t và dt}
\\
& \small \text{Lời giải}
\\
& \small \text{a. Theo đề bài, ta đặt } u=x-1 \implies x=u+1 \implies dx = du \implies (x-1)^{10}dx = u^{10}du
\\
& \small \text{b. Theo đề bài, ta đặt } x=e^t \implies dx = e^tdt \implies \frac{lnx}{x}dx = \frac{ln(e^t)}{e^t}e^tdt = tdt
\\
\end{aligned}

Câu Hỏi 7 Trang 99 SGK Toán 12

Đề bài:

Ta có: (xcosx)′ = cosx − xsinx hay −xsinx = (xcosx)′ − cosx. Hãy tính ∫(xcosx)′dx và ∫cosxdx. Từ đó tính ∫xsinxdx

Lời giải:

Ta có ∫(xcosx)′dx = xcosx + C1 và ∫cos⁡xdx = sin⁡x + C2

Dựa vào công thức ở đề bài, ta có

∫xsinxdx = −∫(−xsinx)dx = −∫[(xcosx)′ − cosx]dx = −∫(xcosx)dx + ∫cosxdx = −xcos⁡x − C1 + sin⁡x + C2 = −xcosx + sinx + C

Câu Hỏi 8 Trang 99 SGK Toán 12

Đề bài:

Cho P(x) là đa thức của x. Từ ví dụ 9, hãy lập bảng theo mẫu dưới đây rồi điền u và dv thích hợp vào chỗ trống theo phương pháp nguyên phân hàm từng phần.

 ∫P(x)exdx∫P(x)cosxdx∫P(x)lnxdx
uP(x)
dvexdx

Lời giải:

 ∫P(x)exdx∫P(x)cosxdx∫P(x)lnxdx
uP(x) P(x)lnx
dvexdx cosxdxP(x)dx

Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education

Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Các khóa học online tại Marathon Education

Trong bài viết trên, Team Marathon Education đã tổng hợp và chia sẻ đến các em nội dung Toán 12 nguyên hàm lý thuyết cùng lời giải bài tập SGK nguyên hàm một cách đầy đủ, chi tiết. Hy vọng các em sẽ nắm vững mảng kiến thức này, từ đó học tốt môn Toán hơn. Các em hãy theo dõi Marathon Education hằng ngày để tìm hiểu thêm những kiến thức bổ ích các nhé! Chúc các em luôn học tập tốt!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM